AU DELA DU QUATRIÈME DEGRÉ

Observations préliminaires.

1391. Le premier savant qui ail essayé de prouver cette impossibilité est le géomètre Ruffim ('); mais c'est Abel qui donna, de ce fait important, la première démonstration rigoureuse (-). Wamzel (^) simplifia depuis celte démonstration en quelques poinls. A l'exemple de J.-A. Skrret ('•), nous réunirons et nous fondrons dans une exposition continue les deux Mémoires si remarquables d'Abelelde Wantzel.

Nous croyons devoir reproduire d'abord . textuellement les réflexions qui ouvrent une nouvelle étude posthume d'ABEL (^) sur cette question délicate, et qui la posent sur son véritable terrain.

« Un des problèmes les plus intéressants de l'Algèbre est celui de la résolution algébrique des équations. Aussi, on trouve que presque tous les géomètres d'un rang distingué ont traité ce sujet. On parvint sans difficulté à l'expression

(') RuFFiNi, médecin et matliématicien italien (1765-1822).

( = ) Journal de Crelle, t. I, 1826. — Œuvres complètes de Niels Henrik Abel, nouvelle édition publiée aux frais de l'État norvégien par MM. L. Syiow et S. Lie. CluisLianiu, m dccclxxm. [Abel est mort à vingtsept ans (1802-1829).]

(') Démonstration de l'impossibilité de résoudre toutes les équations algébriques avec des radicaux, par L. AYantzel. — Nouvelles Annales de Mathématiques, i" série, t. IV, iS^î.

(') J.-A. Serret, Cours d'Algèbre supérieure, troisième édition. Gauthicr-Villars, 1866.

(') Œuvres complètes, nouvelle édition, t. II.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. OQQ

générale des racines des équations des quatre premiers degrés. On découvrit, pour résoudre ces équations, une méthode uniforme (1370) et qu'on croyait pouvoir appliquer à une équation d'un degré quelconque; mais, malgré tous les efforts d'un Lagrange et d'autres géomètres distingués, on ne put parvenir au but proposé. Cela fit présumer que la résolution des équations générales était impossible algébriquement; mais c'est ce qu'on ne pouvait pas décider, attendu que la méthode adoptée n'aurait pu conduire à des conclusions certaines que dans le cas où les équations étaient résolubles. En effet, on se proposait de résoudre les équations sans savoir si cela était possible. Dans ce cas, on pourrait bien parvenir à la résolution, quoique cela ne fût nullement certain; mais si, par malheur, la résolution était impossible, on aurait pu la chercher une éternité, sans la trouver. Pour parvenir infailliblement à quelque chose dans cette matière, il faut donc prendre une autre route. On doit donner au problème une forme telle , qu'il soit toujours possible de le résoudre, ce qu'on peut toujours faire d'un problème quelconque. Au lieu de demander une relation dont on ne sait pas si elle existe ou non, il faut demander si une telle relation est en effet possible...- »

1392. Comme le remarque Abel, il faut, avant tout, définir ce qu'on entend par résoudre algébriquement une équation algébrique.

Ainsi que nous l'avons déjà dit (997), la résolution d'une équation générale de degré m consiste à trouver les expressions qui, composées algébriquement avec les coefficients de l'équation, satisfont à cette équation. En d'autres termes, il faut parvenir à exprimer ses racines par des fonctions algébriques de ses coefficients. Il y a donc lieu de chercher préalablement la forme la plus générale de pareilles fonctions; et, pour cela, de revenir sur leur nature même. Nous suivrons ici l'analyse d'ABEL.

Fonctions algébriques.

1393. Désignons par x^, x^, x^, ..., un nombre fini de quantités quelconques indépendantes, et par v une fonction de ces quantités.

6oo

ALGÈBRE SUPr';uiEURE.

(' est une fonction algébrique des quantités considérées, lorsqu'on peut exprimer v par ces quantités à l'aide des six opérations arithmétiques (535), effectuées ou répétées dans un ordre quelconque : addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances entières et extraction des racines. L'addition comprend d'ailleurs la soustraction, la multiplication comprend l'élévation aux puissances entières, et l'extraction des racines d'indices composés dépend immédiatement de l'extraction des racines d'indices premiers (137), de sorte que les six opérations indifjuées se réduisent en réalité à quatre.

139i. Lorsque les deux premières opérations (addition et multiplication) interviennent seules, la fonction v formée avec les quantités considérées est dite rationnelle et entière ou, simplement, entière.

Soit le terme

où A est une constante, et les exposants /«j, m., m^, . . ., des entiers positifs; toute fonction

constituée par la somme d'un nombre fini de termes analogues est une fonction entière.

Soient Cj, ('2, ('3, ..., plusieurs fonctions entières des mêmes quantités x,, ^,, 0^3, .... Il est clair que, si on les soumet aux mêmes opérations queces quantités elles-mêmes, la fonction

conservera la même forme que la fonction/(.ri, .r., ^3, . . .). Les mêmes opérations (addition et multiplication) répétées un nombre quelconque de fois, pourvu que ce nombre soit fini, conduiront donc toujours, comme résultat, à une somme de termes de la forme indiquée ci-dessus, ou à une fonction entière.

1393. Lorsque les trois premières opérations (addition, multiplication, division) interviennent seules, la fonction v formée avec les quantités j-,, a-^, x^, . . ., est dite rationnelle et fractionnaire ou, simplement, rationnelle.

ALGÈBRE SUPÉllIEUTlE. 6o I

Si l'on a deux fonctions entières, telles que

f{.r^,x,,x■,. . . .\ F(,r,,.r2,.r;;, . . .), eur quotient

est un cas particulier des fonctions rationnelles, et toute fonction rationnelle sera le résultat de la répétition de l'opération indiquée pour obtenir c. Si l'on a plusieurs fonctions <'i> <'2, <'3, ■•• de la forme ci-dessus, il est évident que la

fonction

Fli'i, t'o, l'y. • • •)

peut être ramenée à cette même forme, qui est, par conséquent, la forme générale des fonctions rationnelles.

139G. Supposons, enfin, que les quatre opérations réellement fondamentales (addition, multiplication, division, extraction des racines d'indices premiers) interviennent dans la composition de la fonction v formée avec les quantités ^i, ^2, -^3, • • •• Cette fonction deviendra, par opposition aux précédentes, une fonction algébrique irrationnelle ou une fonction algébrique générale.

Pour avoir cette fonction, il faudra combiner la fonction rationnelle quelconque

p —f{Xi,X.„JC3, ...),

ou l'opération désignée par/, avec l'opération indiquée par le signe '\J , m étant supposé u/i nombre premier.

Désignons alors par /?,, p2, Ps, ■■■, des fonctions rationnelles de ^1, J?2» "^3> •••; psf" fh> '*2> 'h, •■■■> des nombres premiers, et posons

p' sera la forme générale des fonctions algébriques de a^i, x^, ^3, ..., OU 1 opération représentée par le signe y ne porte que sur des fonctions rationnelles, et les fonctions telles que p' seront dites fondions algébriques du premier ordre (ou fonctions irrationnelles du premier ordre).

Désignons par p\, p'.^, //.j, ..., des fonctions algébrif|ues du premier ordre; par«',, n'.,, n'.^, . . .,des nombres premiers, et posons

p" — /\.ri, JTi, . . . , V/^i, "v//^2, . . . , "\/]7^, "{'p'.^, . . .).

p" sera la forme générale des fonctions algébriques de x^, J72> ^z, • • •' où l'opération représentée par le signe \/ peut porter à la fois, mais seulement, sur des fonctions rationnelles et sur des fonctions algébriques du premier ordre; et les fonctions telles que p" seront ûW.d'S, fonctions algébriques du deuxième ordre (ou fonctions irrationnelles du deuxième ordre).

En continuant par voie d'extension, on obtiendra des fonctions algébriques du troisième, du quatrième, ..., du n'^'"'= ordre (ou des fonctions irrationnelles du troisième, du quatrième, ..., du «'^■"''= ordre), dont les notations seront /?'", jo'\ . . .,/>"; et il est clair que l'expression des fonctions du ^jièine ordre se confondra avec l'expression des fonctions algébriques générales. Dans une pareille expression, l'opération représentée par le signe y peut porter a la lois, mais seulement, sur des fonctions rationnelles et sur des fonctions algébriques du premier, du deuxième, du troisième, ..., du (« —i)'"^''"'= ordre.

On aura donc, pour une fonction algébrique d'ordre /jl, désignée par t', l'expression

dans laquelle / représente toujours une fonction rationnelle des quantités entre parenthèses; p[~^\ P'f~^'^ • • •» f'es fonctions algébriques de l'ordre y-—i; n^, n,, . . ., des nombres premiers; et /'i, r,, ... (pour l'instant et au point de vue de la définition donnée), des fonctions algébriques d'un ordre égal ou inférieur à |i. — i.

1397. Si, dans la formule (i) [1396], on pouvait exprimer les radicaux qui portent sur les fonctions algébriques de l'ordre le plus élevé ["vA^ ' J ^n fonction rationnelle des autres quantités, on pourrait les éliminer successivement. La fonction v conserverait la même forme, mais son ordre deviendrait égal à [JL — I.

Par conséquent, si la fonction v est en réalité de l'ordre p., on pourra chercher à réduire dans son expression les radicaux qui portent sur les fondions d'ordre supérieur, au plus petit nombre possible; mais tous ne disparaîtront pas, et l'un d'entre eux au moins ne sera pas exprimable en fonction rationnelle des autres quantités d'ordre inférieur. Si, après toute simplification, le nombre des radicaux difTérents affectant des fonctions algébriques de l'ordre le plus élevé {[j. — i) est égal à m, on dit que la fonction r est d'ordre [j. et de degré m.

D'après cela, une fonction d'ordre \j. et de degré o, ne contenant dans son expression aucun radical recouvrant une fonction algébrique d'ordre a — i, est la même chose qu'une fonction d'ordre ]j. ^ i. De même, une fonction rationnelle ne contenant aucun radical peut être considérée comme une fonction algébrique d'ordre o.

1398. Finalement, et en généralisant, V étant une fonction algébrique générale, d'ordre fz et de degré m, on peut écrire simplement

(2) v=/(/-,,/-, yp).

J)ans cette dernière formule, / désigne une fonction rationnelle des quantités entre parenthèses; /?, une fonction algébrique d'ordre [x — i ; n, un nombre premier; r^, /•,, . . ., des fonctions algébriques qui peuvent être, en raison du signe/, du même ordre /j. que V, mais dont le degré est alors, dans leur ensemble, au plus égal k m — \ (1397).

Autre forme générale des fonctions algébriques.

1399. Dans l'expression (■.?) de V (1398), / désigne une fonction rationnelle des quantités entre parenthèses. Par suite, en désignant par <p et 4^ deux fonctions entières de ces mêmes quantités, on peut écrire (1395)

'^(r^,r.2,...,yp)

D'ailleurs, toute fonction entière, en vertu de sa composition (1394), peut être ordonnée par rapport aux puissances entières de l'une des quantités dont elle dépend. Nous pourrons

6o4 ALGi-BIlE SUl'lhUKLKE.

ainsi ordonner les fonctions o et ^ par rapport aux puissances i

de \/p ou de/?", et nous aurons

Les coefficients (s) et (0 sont des fonctions entières des autres quantités /■,, /•,, ....

Considérons l'équation binôme a" = i, et désignons par a l'une de ses racines imaginaires (8i7). En multipliant l'une quelconque des racines de celte équation par toutes les racines elles-mêmes, on les reproduit toutes dans un autre ordre (851). Il en résulte évidemment qu'on peut représenter ses n racines par a, a-, ce', . . ., a"-*, «"tmi. «, nombre premier, est un nombre impair. Par conséquent, l'équation x" = i an — I racines imaginaires conjuguées deux à deux et une seule racine réelle égale à i {8kl).

Cela posé, remplaçons successivement/)", dans le dénominateur T de la valeur (i bis) de V, par les « — i expressions

ï prendra, à son tour, les n — i valeurs

Si l'on multiplie alors les deux termes de la valeur de V par le produit TiT2Ta . . - T„,, il vient

y ST, ToTa . ■ -T,,-,

^ ^ ~TT/r/r3...ï;,,'

On a d'ailleurs nécessairement (1036), pour la somme des racines de Téquation 3<'^ = i,

Il en résulte que, dans le produit TTjToTj. . .T„,, les puissances fractionnaires de p disparaissent toutes (comme on peut le vérifier pour une valeur quelconque de n), et que le dénominateur de la valeur (2) de V est une fonction entière de p et des quantités i\, r.,, . . . , dont les coefficients {() sont des

ALGEBRE SUPERIEURE.

6oJ

fonctions entières. Ce dénominateur est d'ordre /j. et de degré m — 1, comme l'ensemble des quantités /i, /'a, • • • , dont il dépend.

La même simplification ne peut se produire au numérateur de la valeur (2) de V, puisque S y est substitué à T. Ce numérateur restera donc une fonction entière de '\/p et des

quantités /\, r.^, .... et, en l'ordonnant par rapport à p", on pourra représenter sa valeur par

"0 + ''i P" -^ l'iP" + l'zP" 4- . . . -T- UkP"-

Si, en même temps, le dénominateur est représenté par u, on aura simplement

( 3 ) V = r/„ ^ r/i p" + V, /y + çTj /j" -^ . . . -i- ^/, iy\

en posant

Il u a II ^

Ço, q\, qi^ ■ ■ -, qk seront ainsi des fonctions rationnelles de/j, /i, /-j, . . ., c'est-à-dire des fonctions algébriques d'ordre fx et

de degré m — 1 au plus; et il sera toujours impossible d'ex-

primer rationnellement p" en fonction des quantités dont elles dépendent.

liOO. Admettons que l'équation (3) [1399] renferme des )

puissances de /?" supérieures à la (« — i)'^'"''. On pourra les supprimer de la manière suivante.

Supposons une de ces puissances p". En divisant i par n, on auraunquotientaet un restée moindre que «[« = «;« -1-6], d'où

pn __ ^y, ^^,7

On pourra donc, dans le terme correspondant, faire entrer ou fondre la puissance entière p" dans le coefficient qi. On parviendra ainsi à mettre la valeur de V sous la forme

(4) V nr r/,j + q^p'^ -\- q,p" -\- q.^p'' -\- . . . -^ q,,-^ p " ,

OÙ les quotients qo, q^, 7,» •••) qn~\ conserveront la même définition ou le même caractère que précédemment.

C)oG ALGÈBRE SUPÉUIEURE.

UOl. On peul aller plus loin.

Si fji n'est pas nul, on peul toujours supposer 7, r= i.

En effet, posons

On en déduit

P = ^4 et />" = ^ .

Si l'on substitue cette valeur dans l'expression (4) [l'+OO], il

vient

expression de même forme que l'expression (4), et qui se confondra avec elle en remplaçant pi par p, et les quotients

^î A' • • •' %^' par '/oj <7:ii ■■ ■■> 7rt-n sauf la substitution de

I à la place de 71.

Si q^ est nul dans l'expression (4) [1400], désignons par 7i

le premier des coefficients q,, q^, . . ., q„-i, qui ne soit pas

(■ nul. Le premier terme après 70 sera alors (jip"- On posera

donc

P'I = ^>P" '■> d'où P\ ~~ ^'iP'^ .

et le second terme de l'expression de V sera^ encore/?^ avec le coefficient i.

Soit maintenant c un entier plus grand que i et moindre que n. On pourra toujours trouver deux entiers a et h satisfaisant à la relation

la — no r-z c, d ou — ■=^ h -\ j

puisque, n étant premier et i plus petit que n, les coefficients

i et n sont premiers entre eux (181).

On aura donc, d'après la valeur ci-dessus de p"^,

n ni II c

p'[ := q'I y? " OU />" = q']p''p" .

On en tire

et cette relation permet d'exprimer, dans la formule (4) [1400],

les puissances de p" en fonction des puissances de p". La

forme de V restera évidemment la même, sauf le coefficient

de Pi rendu égal à l'unité.

1402. Ce qui précède se résume dans cette proposition :

Toute fonction algébrique générale, d'ordre [i. et de degré m, peut être ramenée à la forme

(5 ) V = r/o + P" + 'i-iP" -^ (izP" + • • • -^ qn-^p " .

Dans cette expression , n est un nombre premier; q^,, q^, qz, •■-, qn-if des fonctions algébriques d'ordre p., /7iais de degré m — i au plus; et p, une fonction algébrique d'ordre p. — I, dont la racine /«'"«« ne peut être exprimée rationnellement à l'aide des quantités q^, q^, q^, ■ ■ -, q,i-\, ou de celles dont elles dépendent.

Ainsi, dans tous les ordres, il existe des radicaux d'indices premiers qui représentent des nombres incommensurables d'espèce distincte.

Propriétés des fonctions algébriques qui satisfont à une équation donnée.

Ii03. 11 s'agit d'établir celte proposition fondamentale :

Lorsqu'une équation est résoluble algébriquement (1392), on peut toujours donner à l'une quelconque de ses racines une forme telle, que toutes les fonctions algébriques dont elle est composée soient exprimées par des fonctions rationnelles des racines de l équation proposée.

Soit l'équation algébrique de degré m

(i) f{x) z=L x'"-h rti^''"-' -^ a.2x"'-- + . . .-h «,„i J? + «,«= o,

où les coefficients a^, «2, . . ., a„i sont des fonctions rationnelles de quantités connues et indépendantes. Supposons que cette équation soit résoluble algébriquement. Désignons par X une de ses racines, qui sera alors une certaine fonction algébrique d'ordre [j. des quantités connues. D'après ce qui pré-

6o8 AI.nkBRE SUPÉRIEURE.

cède (li02), on pouna poser (en conservant les mômes nolalions cl intcrprclations)

(2) ^ — qi>^p"-\-qiP" — ^jzP''-^..-^qn-iP" ■

Si l'on substitue cette valeur de ce dans l'équation (i) [Ifdeux premières opérations répétées conduisant toujour- (ISQi) à des résultats de même forme], on obtiendra une expression qu'on pourra représenter par

et où /'o, f'i, /o, . . . , r„i seront des fonctions rationnelles des quantités Ço, Çz, qz, ■ •■, Çn-i et/?.

Or, pour que l'équation (3) subsiste, il faut qu'on ait séparément

ro=o, ri = o, r,= o, ..., /•„, = o.

En effet, supposons qu'il n'en soit pas ainsi, et poson- /;" = ^. Les deux équations

auraient alors une ou plusieurs racines communes. Désignon> par A le nombre de ces racines communes, et formons l'équation qui les a pour racines,

( 5 ) 6-y — SiZ-i-S.Z--^...-i- S,^. Z'' = O.

Dans cette équation, les coefficients (s) seront des fonction.rationnelles de p et de 7o» Ç2> Va» • • •< Çn-i-

Soit alors un diviseur irréductible (1193) du premier membre de l'équation (5),

t„ — tiZ -i- t,z--^. . .^ tgZS,

où ^0, II, i.;,, .... t^ seront des fonctions rationnelles des mêmes quantités. Uéquation irréductible (1193)

(6) l^+t,Z + t.,Z--^-...-\-tgZl''—0

aura alors toutes ses racines communes avec la première équation z" — p = o du groupe (4). D'ailleurs, son degré ^xr est au moins égal à 2; sans quoi, on pourrait exprimer z on

p" en fonclion rationnelle des quantités Ço, q,, «73, . . ., (/„, et

ALGÈBRE SUPÉraEURE. 6oC)

p, ce qui est contre l'iiypothèse. Si l'on remarque à présent que l'équation binôme z'^ — pz^ o ayant une racine z en aura nécessairement une autre de la forme ccz, a étant une racine quelconque de l'équation a« = i (850), on voit qu'il en sera (le même pour l'équation (6); ce qui entraîne la nouvelle équation

(6 bis) t^^ ti y.z h- t^y.-z'-— . . . -h t^y.^z^^z o.

Les deux équations (6) et {6 bis) auraient ainsi une racine commune, et l'équation (6) en aurait une également avec l'équation obtenue en retranchant de l'équation (6 bis) l'équation (6) multipliée par sf^% c'est-à-dire avec l'équation

\ (l— «")/o^ (a— a*')^i- ' / ^{a.-—y.-)t.,z'--r-...^{oi--'—y.-)t^^iZ^'^-'=o.

Mais, l'équation (7) étant de degré moindre que l'équation (6), si ces deux équations avaient une racine commune, l'équation (6) ne serait plus irréductible.

Il faut donc bien (|u'on ait séparément

S'il en est ainsi, il est clair que l'équation donnée (i) sera

encore satisfaite par l'expression (2) de x, lorsqu'on mettra

successivement dans cette expression, à la place de p", les

valeurs

'il 1

y.p", ,3/>«, yp", ..., Ip",

OÙ a, [3, ■/,..., À représentent les n — i racines imaginaires de l'équation a":=i. On aura, de cette manière, n racines différentes de l'équation (i), qu'on peut désigner par x,, x.,, 0-3, . . ., .r„, et dont les expressions seront

■^r,= qo^?P"

JO,= q,+ yp"-^ ■f.ri..p'^^...^ -/"-•r/„,p "

qn-xP " ,

qn-xP " ,

De C. — Cours. iV.

(ilO ALGÈBRE SUPÉUIEUIIE.

Supposons qu'on ajoute d'abord les équations (8) membre ;i membre. 11 est clair (|iie le terme q^ sera répété n fois, et

(|ue p" sera multiplié par la somme des « racines /t'èmes jg l'unité, qui est égale à zéro (1036).

De mémo, p" sera multiplié par (i H-a'-i-|3"--f-y--T-. . .-^-a-j ; mais, en vertu de la propriété fondamentale des racines de l'unité (851), chacun de ces carrés représente aussi une racine /i'^""' imaginaire de l'unité, de sorte que le coefficient

de p", dans la somme des équations (8), est encore égal à

zéro. On obtiendra un résultat pareil pour les coefficients des

autres puissances de p". On déduira donc simplement di' l'équation résultante

q^= -(j-i-^.ro-h J"3-^.r.-)-. . .-x- x„).

Reprenons les équations (8) et ajoutons-les de nouveau, après les avoir multipliées respectivement j)ar

i , jf. > r* ? / » • • • '•

Les puissances semblables des n racines «'^mes ^jg l'unité les reproduisant dans un autre ordre (851, 1413), le terme ^o se trouvera cette fois multiplié par zéro, et il en sera de même des

termes qui renferment p", p", . . ., p " . Il ne restera donc,

dans le second membre, que la première puissance p" répétée n fois, puisque l'on a a" = !3" =: y" = . . . =:i À" = i . On déduira donc de la nouvelle équation résultante

p^= - (.rj-i- a"-ix2 — ;3"-'^3-^y"-'>r.-T-. . . -+- }."-'^„).

En continuant de la sorte, c'est-à-dire en ajoutant encore les équations (8) après les avoir multipliées respectivement par

I ryii—-2 ,'^«—2 ^.ti — i 'à II— 2, I «/i — 3 On— 3 .,n— 3 Vi — 3.

I, a, 3, y, . . . , }. ; on pourra isoler successivement les termes

rjiP", <]3P", ..., q„-iP " , et l'on obtiendra finalement les

ALGÈBaE SUPÉRIEURE. 6ll

n équations

Ces équations prouvent, les racines n'è^'^ de l'unité étant regardées comme connues, que les quantités P"^ 9o, </-2, q„ .... q„y

sont des fonctions rationnelles des racines de l'équation (i) donnée (car rien ne distingue spécialement les racines que nous avons considérées).

On a, en effet, d'une manière générale, d'après les équations (8 bis),

(.r, -i- a"-ix,-4- ;3«-ia-3-+- -/«-i^,-l-. . .+ >/<-i^.^)A' Cela posé, désignons par v l'une quelconque des quantités P"^ Vo- 72. q-i, ..., qn-i,

qui, d'après les équations (8) ou d'après l'équation (2), entrent dans l'expression des racines de l'équation (i) proposée. On aura alors, d'après les définitions et simplifications précédentes,

les lettres y, rn, v remplaçant les lettres q, p, n, avec des sens

identiques (li02).

I D'après ce qu'on vient de démontrer, on pourra écrire, en

(3i2 ALGÈBUE SUPÉRIEURE.

désignant par cp une fonction ralionnelle cl par j;,, a-.^, j-j, ..., a;,n les m racines de l'équalion (i),

y = o( J'i, jr.2, X-,, . . ., -r,;,)'

[Il est sous-entendu que les m racines de l'équalion (i) peuvent ne pas entrer toutes dans la fonction o].

Lorsqu'on permutera entre elles les racines jr,, x^,Xi, . . ., x,n de toutes les manières possibles, la fonction o prendra un certain nombre m' de valeurs /i, 72,73, • ■■,Jm; et l'on pourra former une équation de degré m' ayant ces valeurs pour racines. La valeur (9) de y devant satisfaire à cette équation, on en conclura, en raisonnant comme précédemment, que

les quantités

^» Zo, Z2' Z^i' •••' Zv-1

sont des fonctions rationnelles des racines ji, y., y^, ■ ■ -, y de la nouvelle équation et, par conséquent, des fonctions rationnelles des racines x^, x,, x„ . ..,x„, de l'équation (i) donnée (139o).

Or les quantités, dont l'une vient d'être désignée spéciale ment par r [équation (9)], sont celles qui entrent dans l'ex pression (2) de la racine x de l'équation (i). Cette racine, quelle qu'elle soit, est donc elle-même une fonction ration nelle des racines de l'équation (i).

On est ainsi ramené à la proposition fondamentale énoncée) au début de cette belle analyse :

Lorsqu'une équation est résoluble algébriquement, on peu toujours donner à l'expression générale de ses racines um forme telle, que toutes les fonctions algébriques dont cettt expression est composée soient des fonctions rationnelles de racines mêmes de l'équalion proposée.

Les fonctions rationnelles des racines qui représentent le divers radicaux figurant dans l'expression générale des ra cines de l'équalion donnée peuvent renfermer toutes ces ra cines ou seulement un certain nombre d'entre elles. Il es d'ailleurs permis de supposer que ces fonctions ralionnelle sont entières (1189).

ALGEBRE SUPERIEURE.

Impossibilité de résoudre algébriquement les équations générales au delà du quatrième degré.

liOi. Nous suivrons ici spécialement la démonstralion de Wamzel.

Soit l'équation (i) (li03) /(.r) = o, dont les coefficients sont indépendants et qui est résoluble algébriquement, c'està-dire dont les racines o-j, ^2, ^3. . ... x,n sont exprimables algébriquement en fonction de ses coefticients.

L'équation /(>r) =: 0 étant satisfaite par la valeur .r, donnée à X, quels que soient ses coefficients, si l'on substitue dans la valeur de j-j les fonctions rationnelles des racines qui correspondent à chacun des radicaux qui y entrent (li03), on devra reproduire identiquement x^, puisque les racines de l'équation sont alors entièrement arbitraires. Pour la même raison, toute relation entre les racines devra demeurer identique, lorsqu'on y permutera ces racines d'une manière quelconque.

liOo. Désignons par y le premier radical '{//>, qui entre dans la valeur de x^, en suivant l'ordre du calcul (c'est alors le dernier, en suivant l'ordre naturel de l'écriture). Nous aurons

L'équation donnée étant supposée résoluble algébriquement, p dépendra immédiatement des coefficients de cette équation (1392), et, d'après ce qui précède (li03) et ce qu'on vient de dire (HOi), s'exprimera par une fonction symétrique de ses racines, telle que Fi r,, x^, x^^, . . .),

y sera une fonction rationnelle o(Xi, x.,, .r,, ...) de ces mêmes racines.

Comme la fonction o ne peut pas être symétrique, sans quoi elle serait une fonction rationnelle des coefficients de l'équation f{x) = 0 (lOiG, lOoOj, et la racine «'^""^ de p s'extrairait exactement contre l'hypothèse, cette fonction 0 doit changer par la transposition des deux racines ^, et x^, par xemple, sans qu'on cesse d'avoir pour cela

6\ i ALGÈBRE SUI'ÉUIEURE.

Comme la transposition indiquée laisse d'ailleurs F invariable. les valeurs de 9 sont des racines de l'équation y"=- F. On .1 donc nécessairement (830), en désignant par y. une racine «'''" de l'unité,

0 ( .r,, a-, , a-,, . . . ) = a ? ( .r, , .1.., .rj, . . .).

Toute relation entre les racines devant continuer d'exister quand on y remplace ces racines les unes par les autres d'une manière quelconque (1404), on aura, en transposant de nouveau a^i et j?2,

En multipliant par ordre ces deux relations, il vient (8i7)

a-:= I ou n^^i.

Le premier radical qui entre dans la valeur de x^ (suivant , l'ordre du calcul à effectuer) doit donc être du second degré. C'est ce qu'on vérifie sur les équations générales du troisième et du quatrième degré. i

La fonction 9, à cause de n = 1, n'ayant que deux valeurs, i change pour une transposition quelconque; mais elle reste] invariable pour toute permutation circulaire de trois, de cinq lettres, . . ., ou d'un nombre premier quelconque, parce que chacune de ces permutations cij'culaires équivaut à un nom- j bre pair de transpositions (3'i-). Ainsi, en transposant x^ et 1 x^, la valeur 9(^2» «^i» -^s» • • •) 6st égale et de signe contraire I à la valeur (p(.x'i, ^2> ■^z^ • • •); <^6 même, en transposant x^ et x^, la valeur o{x2,Xi,x^, ...) est égale et de signe contraire: à (^{Xii,Xi,x^, ...), de sorte qu'elle reproduit 9 (^1, a;,, -Ts»---)' \ Il en sera de même pour les permutations circulaires de cinq lettres, etc.

140G. Revenons à la série des opérations qui peuvent se! trouver indiquées dans la valeur de x^. î

On peut avoir à combiner le premier radical \jp ou la fonc-{ tion 9 non symétrique avec des coefficients de l'équation donnée/(^) ==0, c'est-à-dire avec des fonctions symétriques des racines (1039), sans intervention dim nouveau radical. i On aura toujours ainsi une fonction des racines, seulement^ susceptible de deux valeurs, et que les permutations circu-|

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6l5

laires de trois lettres, etc., laisseront, par suite, invariable (liOo).

Les nouveaux radicaux rencontrés, s'ils sont du second degré, ne pourront donner que des fonctions du même genre.

Supposons donc qu'on parvienne à un radical (quelconque) pour lequel la fonction rationnelle équivalente ne demeure plus invariable par ces permutations de trois lettres ou d'un nombre premier de lettres, parce qu'elle a plus de deux valeurs, et représentons-le encore par .

y — 'sjp 1^ 9 (.r,, X,, j:'3, . . . ).

On aura encore

mais la fonction F, composée comme on vient de le dire, ne sera plus symétrique, et restera seulement invariable par les permutations de trois lettres, de cinq lettres, etc. (1405).

Si Ton effectue, par exemple, une permutation circulaire de trois lettres en remplaçant .r,, .i-., rg par r.,, x^, x^, la relation

-j" = V ou /■' = F

subsistera toujours, et, F étant invariable, 9 restera une racine de la dernière équation. En désignant par a une racine „ième (]g l'unité, on aura donc nécessairement, n étant toujours premier (850),

Cette relation devant persister lorsqu'on échange entre elles les racines d'une manière quelconque (HOV), et toute permutation circulaire de trois [lettres revenant à deux transpositions successives, on en déduira immédiatement, par deux nouvelles permutations opérées de part et d'autre, par rapport aux trois premières lettres,

o(xi, X., x-i, x.„ . . .) = y. 9(.r„ .r,, x,, x^, . . .).

En multipliant par ordre les trois relations précédentes, il vient {8kl)

a^^rr. I ou /i ^r 3.

Le nouveau radical renconlri', après ceux du second degré,

()l6 ALGÈBKE SUPÉRIEURE.

flans la valeur de Xy, doit donc être un radical cubique. C'est ce qu'on vérifie encore sur les équations irénérales du troisième et du quatrième degré. On a alors trois ou quatre racines, et Ton peut efl'ectuer sur les fonctions rationnelles des racines des permutations circulaires de trois lettres,. v^/*ç/>om- ^'oir en effectuer de cinq lettres.

1407. Allons plus loin. Supposons le nombre des racines .r,, x^, x^, ^4, . . ., supérieur à quatre, c'est-à-dire l'équation donnée, /(j:*) =o, d'un degré plus élevé que le quatrième.

Si l'on rencontre dans l'expression générale de ses racines un radical cubique, les notations précédentes restant les mêmes, la fonction F demeurera invariable par une permutation circulaire de cinq lettres (U06), et la valeur de la fonction rationnelle o passera seulement d'une racine de l'équation

9" = F ou )-"=iF

à une autre. On aura donc, cette fois (liOG),

©(.r,, x^, x,^, .rj, ./',, . . .) =^ a 9( J"i, x.^, .r.), .z'.,, Xj, . . .).

(]ette relation devant persister quand on échange entre elles les racines d'une manière quelconque (liOi, 1405), on pourra répéter quatre fois de part et d'autre la permutation circulaire de cinq lettres (qui revient à quatre transpositions successives), et l'on aura

(ù{xz. Xi, x-^, Xy,x.2, . . .) = y.o{x.2, X-i, Xi, X-^, Xi, . . .K o{Xi,x^,Xi,Xo,X3, . . .) = y.o(x3,Xi,X:,,Xi, .r,, ....

Cû{x^, Xi, X^, X-i, Xi, . . .) =^ X 0{Xi, X-^, Xi, X.2, X;i, . . . .

o (xi, X.,, x-;^. Xi, x-i, . . . ) =^ y. o{x:^, .r,, x.,, x-^, Xi,

En multipliant par ordre les cinq relations obtenues, il vient

Comme on a «^3 ou a'=i, c'est-à-dire a'^=^i, on déduit de la condition précédente a = i. La fonction o serait donc invariable par les permutations circulaires de cinq lettres, et il est facile de voir qu'elle le serait aussi, dans ce cas, par les permutations circulaires de trois lettres.

En effet, la fonction o, étant invariable par les permutations

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6 l "]

circulaires de cinq lettres, ne changera pas davantage si Ion remplace

^3, X,' -<".5» ^l, -^i PJÏ'' -^2» -^5» -^li '^V> -^3-

On aura alors, par un pareil échange,

^(.rS, J\j Xr,. ^î'i, -Tn. ...!:= 'Jl.r^, J";j, J^i, a-;, X - . . . . ).

Mais nous venons de trouver plus haut

0(.'-3. Xj, j;.5, J'i, a'.,, . . . i =: '->(•?•,. .i-j, ^3, ./"j, ^3, . . . ).

11 viendra donc

o ( .r.. .r,j, j--,. .r;. .r-. . . . ) ;;- of .r,, .r,. .rj. .?■. , .r-, . . . > ;

ce qui montre évidemment rpie la fonction 9 est aussi invariable par les permutations circulaires de trois lettres seulement [9 (^2, X;j, J'i, . . . ) = 0{-J-\, "t'o, J;-:j, . . . )].

On voit par là que, pour les équations de degré supérieur au quatrième {supposées résolubles algébriquement), les radicaux cubiques rencontrés dans l'expression générale des racines devraient être équivalents à des fonctions rationnelles des racines, invariables par des permutations circulaires de trois lettres; et, en poursuivant le même raisonnement, il en serait de même pour les radicaux d'indice premier supérieur à trois.

Or, en substituant alors toutes ces fonctions rationnelles dans l'expression de la racine a-,, on devrait parvenir (liOi) à une identité àe la forme

.r, :^ 'li{-i\^ .r.2, .r;.. jr,, jc-, ■ ■ ■ '•

Mais c'est ce qui ne peut avoir lieu d'après ce qui précède; car le second membre de cette expression doit demeurer invariable quand on remplace ccy, a,, œ-^ par x.,, x^, x^, tandis que le premier membre change nécessairement.

Cette contradiction manifeste prouve enfin qu'<7 est impossible de résoudre par radicaux l'équation générale du cinquième degré ou d'un degré plus élevé.

Scolie général.

14-08. Lorsqu'on cesse de considérer les équations générales d'un degré quelconque, la question change de face. Il y a une infinité d'équations particulières de tous les degrés, qui sont

(h 8 ALGÈBUE SUPÉRIEURE.

résolubles algébiiquement, en raison de leur rorme el de leurs propriétés.

On est ainsi conduit, comme le remarf|ue Aci-r. dans le ,Mi moire posthume déjà cité (1391), à deux problèmes intim ment liés entre eux, el dont la solution complète comprend, en réalité, toute la théorie de la résolution algébrique des équations :

I* Il faut poin'oir tvou\H:r toutes les équations d'un de^i r déterminé quelconque, qui soient résolubles algébriquement :

2° Il faut pouK'oir décider si une équation donnée est ou non résoluble algébriquement.

Dans son Mémoire, Tiliustre géomètre norvégien avait déjà porté assez loin ses recherches sur ce sujet, lorsque la mort vint le frapper. Dans ce travail inachevé, Abel annonce qu'il est parvenu à remplacer sa première démonstration sur l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales au delà du quatrième degré, par une démonstration reposant sur les mêmes principes, mais plus simple, et (ju'on peut regarder comme un corollaire de la règle obtenue pour reconnaître si une équation donnée, de degré premier, est on non résoluljle par radicaux; ce qui est en effet (•).

La méthode générale que Lacrange a essayé d'appliquer à la résolution algébrique des équations générales, et qui e>t fondée sur l'emploi d'une résoUanle on équation secondaire (1370), prend son point de départ dans la théorie des permutations ou des substitutions (-). Abel, dans sa première et célèbre démonstration, s'est aussi appuyé sur cette théorie.

Il était réservé à Galois (*) de faire faire à la question entii-

(') J.-A. Serret, Cours d'Algèbre supérieure, troisième édition, t. II, p. 647. Gauthier-Villars, 1Î566. —Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, p. 388. Gautliicr-Villars, 1870.

C) On sait ce quon entend par les permutations de n objets ou de « lettres (216), el nous avons vu que leur nombre totat a pour expression le produit i.3.3...n. Le mot substitution indique l'opération par laquelle on passe d'une permutation à une autre.

( ' ) ÉvARisTE Galois, ancien élève de l'École Normale, tué le 3i mai 1832, dans un duel mjstérieux et funeste, en pleine éclosion de ses grandes découvertes, à l'âge de vingt et un ans (iSii-i832). Son immortel Mémoire : Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, a été publié en 1846 par les soins pieux de Joseph Liouville, dans le t. M du Journal de Mathématiques pures et appliquées.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Oit)

niée par Laguange, poursuivie el mûrie par Abel, un pas décisif, en prouvant qu'à chaque équation correspond un certain groupe de substitutions relatif à ses racines, qui est en rapport intime avec ses propriétés caractéristiques et les conditions de sa résolution par d'autres équations secondaires.

La théorie des équations algébriques est venue ainsi se perdre dans Ja théorie des substitutions ou se confondre avec elle, et le problème de la résolution par radicaux, unique objet des anciennes spéculations, n'a plus été qu'un chapitre de l'étude approfondie des irrationnelles.

Nous sommes forcé d'indiquer seulement ces résultats et de renvoyer le lecteur aux écrits mêmes des savants illustres qui ont commencé à élucider ces questions si vastes et si difficiles. Lagrange et Gauss, Abel et Galois, Cauchy et J.-A. Serret, MM. Bertrand, Hermite, E. Mathieu, Camille Jordan ('), ainsi que d'autres célèbres géomètres étrangers, ont jeté les fondements de cette Algèbre transcendante, où V ordre a pris \a place prédominante que lui assignait Poinsot (-).

1409. Nous ne pouvons cependant laisser ici de côté, à cause de l'intérêt des applications qui s'3^ rattachent, une classe très importante d'équations, dont Gauss et Lagrange se sont occupés, et dont la résolution comporte une marche uniforme dans tous les degrés. Nous voulons parler des équations binômes, dont nous exposerons la théorie dans le Chapitre suivant, comme complément de l'étude de la résolution algébrique des équations générales.

( ') Dans son grand Traité des substitutions, M. C. Jordan a développe les méthodes de Galois et a exposé, en même temps que ses propres et remarquables recherches, les principaux résultats obtenus par les géomètres qui l'ont précédé dans cette voie.

(-) Réflexions sur les principes fondamentaux de la Théorie des Nombres. Bachelier, i845.

6iO ALGiiBllF, SUI'KUIF.UUE.