CHAPITRE IV

THÉORIE DES ÉQUATIONS BINOMES

Forme générale des équations binômes.

1410. Nous avons déjà dit un mot des équations binômes {Alg. élém., 267). Toute équation binôme est de la forme

a étant une racine ([uelconque de celte équation (8i-6), posons X = ay. Nous aurons

Mais, a étant une racine de l'équation (i), on doit avoir a'"= A et, si l'on divise les deux membres de l'équation précédente para'", elle devient

(2) J-'"— irrro.

Ayant calculé les racines de Téqualion (■2), on trouvera toutes celles de l'équation (i) par la relation jc^ay. La question est ainsi ramenée à la recherche des m racines nv^"""^ de l'unité, déjà exposée (8V7, 8'i-8).

1411. Autrement, m étant un entier quelcon(|ue, et A une quantité quelconque, réelle ou imaginaire, on peut poser

( I ) .r'" := A r:= /' ( COS a -7- / si II iC ).

On en déduit iuîmédiatement, d'après la formule de Moivre,

, , ,„, a -t- ■>. A- 7: . . a + 'ikr^ (2) .r = /-" cos r < sin ]■,

ALGÈBRE SUPÉRIEUliE. 62 I

el il suffit, comme on l'a démontré (8i6), de donner m valeurs consécutives à l'entier /.■ pour obtenir les ni racines distinctes (1091) de l'équation (i) [On peut donner à /., par exemple, les ?n valeurs o, i, 2, 3, . . ., /« — i].

k étant un entier indéterminé, on peut encore écrire (841), /. el Al étant deux entiers quelconques,

(2 bis) •

f X cos h i sm —

\ | m ui J

Comme on a, à la fois (846, 847),

"(/A :z. ,- fcos =i^tii^ ^ i sin fiZLl^ \ m m

et

V I = cos i- i sm ,

on retrouve ainsi cette proposition fondamentale (850) :

On obtient toutes les racines de l'équation (i), en multipliant l'une quelconque d'entre elles par les jn racines /n"^'"*-'^ de l'unité.

L'étude de l'équation binôme générale jc"^=-.A est donc ramenée à l'étude de l'équation binôme particulière iv'" — i, ou à celle des racines imaginaires de l'unité (847, 848).

Propriétés des racines de l'équation binôme ./'"^i.

1412. Considérons l'équation (i) x"'=i.

On a (847), d'une manière générale,

(2) a:=:cos --isin j

et l'on obtient toutes les racines de l'équation (i) en affectant à l'entier A, dans l'expression (2), les m valeurs consécutives .0,1, 2, 3, ...,ni — i. Nous désignerons les racines corres-

622 ALGhBUF, SUPÉRIEURE.

pondant à ces valeurs par

•^0» '^"l» '^"2» '^St '"«I — Il

en donnant comme indice à x la valeur attrihiiée à /..

Si m est pair, on sait (jno l'équation (i) admet deux racine-

'11 • - 1 - # , , ni

réelles, -r- 1 et — i , qui renonflont a A' — : o et a /.■ ~ — ; toutes

les autres racines sont imaginaires, conjuguées deux à deux et, par conséquent, réciproques (8i7).

Si m est impair, on sait que l'équation (i) n'a qu'une seule racine réelle, -hi, qui répond à A-=io; toutes les autres racines sont imaginaires, conjuguées deux à deux et réciproques.

On peut représenter facilement les racines de l'équation (0 à l'aide de la constructio-i indiquée au n° 88i.

On peut ajouter à ces résultats déjà connus la remarque suivante : Pour que deux racines imaginaires soient conjuguées, il faut et il sujjit que leurs indices soient complémentaires à m. Les deux racines xi^ et x,n-i; ne diffèrent, en effet, que par le signe de i, et leur produit, carré de leur module commun, est égal à l'unité.

Iil3. Le produit ou le quotient de deux racines de l'équation x"^ "=1, ou toute puissance entière d'une racine de cette équation, représente ou reproduit une de ses racines.

1° Soient les deux racines

xi, = cos -7- i sin 5

j-,. =: cos n l Sin

' ni m

Il en résulte (8V1)

.r;,.x^. — cos ■ h i sin = x^+kr

' m ni

2° On trouve de même (8'i-2)

JCk

=Xk-k,.

3° Élevons la racine ^^ à ^'^ puissance entière et positive/^.

Nous aurons (1°)

Si p est négatif et égal à — 7, on a

c'est-à-dire (2")

Xr,

Des racines primitives de l'équation .v" —- 1 et de leur nombre.

1414. I. Si r indice k est premier avec l'exposant ni, la racine Xk, par ses puissances successives, reproduit indéfiniment ei périodiquement, dans un certain ordre, les m racines de l'équation binôme.

On sait {Arithm.. 159, 160) que, lorsqu'on divise par /n les multiples successifs d'un nombre k premier avec m, on obtient seulement m restes différents

qui se reproduisent indéfmiment et périodiquement, dans un certain ordre.

D'après cela, élevons d'abord la racine xj, aux puissances

o, 1 , 2, 3, . . . , m — I . Nous obtiendrons, comme résultats, les racines (1413, 3")

(0 ^^o/,, Xi/„ .Ï-2A-, X-i/,, ..., ^•(,,,-1)/,

ou, da/is un certain ordre, les racines

En effet, soit x^/^ une des racines de la suite (i). Pour réduire la valeur de l'argument de celte racine à être comprise

entre o et 27:, il faut, de l'arc correspondant ^— — -y retran-

cher 2 71 autant de fois que possible, ou diviser 2nkr. par imr.

et remplacer le dividende par le reste correspondant. Si l'on

624 ALGÈBRE SLPKUIKUKE.

a, par exemple,

nA=z mq -{- r ou 2 /i/iT. =^ i/nr/r. -{- 2 r-,

il en résulte

o.nh'T. If T.

ni " j '• ' ^^

L'arffumenl de la racine devenant ainsi ? son indice est

égal au reste /• obtenu en divisant le multiple nk par /«, c'està-dire qu'elle se confond, d'après la propriété arithmétique rappelée ci-dessus, avec l'une des racines de la suite (2).

Si l'on prolonge la suite (i) en élevant jo/, aux puissances successives /??, /?< 4- i, /« + 2, . . . , on obtient les racines

dont les arguments diffèrent de ceux des racines de la suite (i) d'un nombre exact de circonférences. On reproduit donc indéfiniment et périodiquement les racines de la suite (i), ou celles de la suite (2) dans un certain ordre. Ainsi imkr. divisé par 2 «i 7- donne un quotient A- et un restée; donc j?,„A-^cro/.. De même, 2(m-î-i)A-7ï divisé par imr, donne le même reste que 2 A- divisé par ^mr.-, donc JCyii+v)!; = -«?u-, etc.

1415. II. Si l'indice k n'est pas premier arec l'exposant ni et a avec lui un plus grand commun diviseur d, la racine a-^., par ses puissances successives, ne reproduit indéjiniment et périodiquement, dans un certain ordre, parmi les racines de l'équation binôme .r'" r=z i, que celles de l'équation binôme de

degré inférieur x'' = i .

Désignons par jn' et k' les quotients respectifs de m et de k par leur plus grand commun diviseur d, d'où

m ^dm' et k = dk'.

La racine x^ considérée appartenant à l'équation (I) x"'=^^,

nous aurons

2 A- . . 2 A- 2dk'- . . 2dk'-

Xi-= COS 1- i Sin := COS — -, — ; h- l SHl —) — —

m m dm dm

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ÔsS

ik'r. . . 9.k'r, xi,^= cos — T- + i sin — y- ■=.x,\

Xk est donc aussi racine de l'équation binôme

(2) x"'' = i ou x'^ — i.

D'ailleurs, comme m' et k' sont premiers entre eux{Arit/im., 117), les puissances successives de la racine x^.'=x^. reproduiront indéfiniment et périodiquement, dans un certain

ordre, les racines de l'équation x'"' = j ou x'^ = i (lil4), et n'en reproduiront pas d'autres. Toutes les racines de l'équation (2) appartenant évidemment à l'équation (1), la proposition est établie.

Les deux théorèmes précédents (U14, 14.15) établissent une distinction bien tranchée entre les racines de l'équation binôme x"'= i. Selon que leur indice est ou non premier avec l'exposant m, elles peuvent ou non reproduire, par leurs puissances successives, toutes les racines de l'équation proposée.

1416. On appelle racine primitive de l'équation x'" = i toute racine dont l'indice k est premier avec m ou toute racine dont les puissances successives peuvent reproduire les racines de l'équation donnée (1V14).

D'après cette définition et d'après les substitutions qu'on peut adopter pour former toutes les racines de l'équation ^'"=1 (lill), le nombre des racines primitives de cette équation est précisément égal au nombre des entiers premiers et non supérieurs à m {Arithm., 164, 166).

Si m est premier, toutes les racines de l'équation x'" =z 1 sont primitives, sauf la première x^ (Arithm., 167).

Toute racine non primitive de l'équation J7'"=i est racine

primitive d'une autre équation binôme x'' = i, dont le degré

•^ est un sous-multiple ou un diviseur de m (1415), et dont

les racines appartiennent à l'équation x"'= i.

Toute racine primitive de l'équation x'" =^ i, et c'est là une propriété caractéristique, ne peut être racine (primitive ou non) d'aucune équation binôme de degré moindre que m. De C. — Cours. IV. 4o

lelle que xPr=}. En effet, s'il en était ainsi, les puissances successives de cette racine ne pourraient reproduire au plus ( li-lo) que les p racines de la seconde équation cl, par conséquent, ne reproduiraient pas les m racines de la première équation.

l'VlT. III. La somme des puissances semblables des racines de V équation binôme j7"'= i est, en général, égale à zéro.

Nous avons déjà indiqué ce résultat (li03), en nous appuyant sur la propriété fondamentale du n° 851.

Il est clair, en effet, que, lorsqu'on multiplie l'une des racines Cf. de l'équation ^'"nzi par ses m racines

on obtient a- comme l'une des racines de l'équation; cpie, lorsqu'on multiplie ,3 par toutes les racines, on obtient ^■comme l'une des racines de l'équation; etc. Il en résulte qu'on peut représenter encore ses m racines par la suite

I, y-', i^S 7% •••» ^•"; et, en poursuivant le même raisonnement, par la suite

puis, l'équation ^'"=1 étant privée de son second terme, en déduire (1036) le tbéorème énoncé.

On peut aussi, pour l'établir, avoir recours aux notions précédentes.

Xk étant une racine primitive de l'équation binôme x"^—- t, les puissances

•^ kl "^ kl "^» -^ kl ■ • ' > '■^V.-

sont les m racines de l'équation (141V). En élevant chacune d'elles à la puissance n, on forme une progression géométrique

dont la somme des termes est la somme des /j'^™*'^ puissances des racines. La raison de la progression étant x". , cette J somme a pour expression {Alg. élém., Sil)

Mais, a:/c étant racine, on a •z'l!^=z i ou

^mn — ( ^»i\n — , ^fc — \^k ) — ï>

aussi bien que x%"zzz{. On a donc S„=:o.

Il y a un cas évident d'exception. Comme toute racine élevée à la puissance m doit reproduire l'unité, si n est un multiple de m, on a S,j= m.

Propriétés des équations binômes de degrés différents.

1418. I. Lorsque les degrés ni et n << m de deux équations binâmes, ^'"=zi et x"=:.i, ne sont pas premiers entre eux et ont un plus grand commun dii'iseur d, les racines communes aux deux équations sont les racines de l'équation binôme

En effet, si l'on cherche le plus grand commun diviseur des binômes x"'~ i et x"^ — i, le terme — i persiste dans les différents dividendes jusqu'à la dernière division, tandis que les exposants de x dans les diviseurs successifs sont n et les restes obtenus en cherchant à part le plus grand commun diviseur de m et de ji. Si l'on a d'abord, par exemple,

m ■^=. nq + /•,

la première division effectuée se présente comme ci-dessous : x"^ — I j .r" — I

■.rn—n \ . n ..

jQm — nq^r

Si l'on a n^^rq^-\- r^^ le diviseur de la seconde division îsl a?'' — I, et le reste de celle division est x^\ — i; si l'on a

= '"i^2+/"2> le diviseur de la troisième division est cr'i — i, ît le reste de cette division est jt''^ — i; .... Lorsqu'on parient au plus grand commun diviseur /•/..+-i ou d de m et de n, ;e plus grand commun diviseur divise exactement le reste )récédent r^, de sorte qu'on a simplement /■a= rj^^^qi-^^^. Le 'este correspondant ;7-+2 étant nul, la dernière division a )Our diviseur ^^' — i et pour reste x^ — i = o.

g28 ALGÈBRE SUPÉRIEIIUE.

Le plus grand commun diviseur des binômes x"'—i et x"—i étant ^''— I, les racines communes aux deux équations x"'=i et x" = i sont les racines de l'éciuation a:''—i. Le théorème est donc démontré, et l'on voit qu'il concorde avec celui du n» 1415.

1419, Il résulte du théorème précédent que deux équations binômes dont les degrés m et n sont premiers entre eu.v (c'està-dire pour lesquels on a d—i) ne peuvent avoir d'autre racine commune que V unité.

Si l'équation x"'=i est de degré premier, elle ne peut donc avoir aucune racine commune autre que l'unité, avec toute équation binôme de même forme et de degré moindre.

1420. IL Lorsque les degrés m et n < m de deux équations binômes, x"'=i et x" — \, sont premiers entre eux, on obtient les mn racines de l'équation binôme x'""=i, en multipliant deux à deux les m racines de l'équation ^"'= i par les n racines de l'équation x"=i.

En effet, l'un quelconque de ces produits a pour argument une expression de la forme (841)

2A-7i 2/.iTT 2{kn-{- ki7n)r.

de sorte que ce produit est nécessairement racine de l'équa tion x""' = i. Il reste seulement à prouver que les mn pro duits ainsi obtenus sont tous différents.

Si deux de ces produits étaient égaux ou donnaient la mêmt racine de l'équation x""' = i, leurs arguments devraient différer d'un nombre exact de circonférences. On aurait ainsi par exemple,

2{kn ^ki>7i)r. 2{k' n -h k\77i)r. ^^^^ 7nn tnn

(A — k' )n + { Al - a; ) /n = /n/iq,

égalité impossible; car m, divisant son second membre et ut des deux termes du premier membre, devrait diviser l'auin terme. Or, 7n est premier avec n et ne peut diviser la diffé rence A- — A' dont les deux parties sont moindres que m pa hypothèse. Tous les produits obtenus sont donc bien différents

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 62g

1421. III. Lorsque les degrés m et a <; m de deux équations binômes, x^^=^ i et œ"^=n, sont premiers entre eux, on obtient les racines primitives de l'équation binôme x'""^^=i, en multipliant deux à deux les racines primitives de l'équation x"'::= I par les racines primitives de l'équation x"- ^zi.

En effet, l'un quelconque de ces produits est l'une des mn racines de l'équation ^'"" = i [li-20], et a pour argument une expression de la forme (8il)

ikr. 2 A, 7l 2 ( kn -{- k^ m ) t. m n mn

avec cette condition que /. et m. A-, et n, sont premiers entre eux (li!6).

Pour que la racine ainsi obtenue soit une racine primitive de l'équation x'"-"^ := i , il faut et il suffit que le nombre kn 4- k^în soit premier avec mn. C'est ce qui a lieu; car tout facteur premier de mn n'entrant que dans m ou dans n, puisque m et n sont premiers entre eux, ne peut diviser qu'une partie de la somme kn -\- k^m. Soit, par exemple, un facteur premier a de m : ce facteur premier divisera k^m, mais ne pourra pas diviser kn, puisque k et ?i sont tous deux premiers avec m.

D'ailleurs, si les deux racines multipliées ou l'une d'elles, par exemple la première, n'étaient pas primitives, k aurait un facteur commun avec m, et ce facteur diviserait les deux parties du nombre kn + k^m. Ce nombre ne serait donc plus premier avec mn, et le produit obtenu ne serait pas une racine primitive de l'équation x'""- =: i. Ce qui achève d'établir le théorème.

1422. IV. En raisonnant de même de proche en proche, les deux théorèmes précédents sont applicables à un nombre quelconque d'équations binômes, pourvu que leurs degrés soient premiers entre eux deux à deux ou dans leur ensemble {Arithm., 120).

1423. V. Il résulte de ce qui précède (1421, 1422) que, si /n, n, p, r, . . . , sont des nombres entiers premiers entre eux dans leur ensemble, le nombre des racines primitives de V équation x"^"-P''--- ■=! I est égal au produit des nombres respectifs

63o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

de racines primitives des équalions x'" = i , ^« = i , jt^ = i , iT'" =: I , . . . .

Le nombre des racines primitives d'une équation binôme étant (1416) le nombre des entiers premiers et non supérieurs à son degré, on est ainsi ramené à un théorème connu {siritJim., 16'i-), et l'on peut poser l'expression suivante:

9 ( mnpr . . . ) =z o ( m ) 9 ( /«) ? ip) ?('")■ • ■

oi!i le symbole o{m) correspond, soit au nomi)rc des racines primitives de l'équation ^•"' = i, soit au nombre des entiers premiers et non supérieurs à ni.

Résolution de l'équation binôme, lorsque son degré est un nombre composé quelconque.

142i. Les théorèmes démontrés dans le dernier paragraphe sont d'une grande importance. Ils permettent de ramener la résolution d'une équation binôme de degré composé quelconque à la résolution de plusieurs équations binômes plus simples, dont les degrés, premiers entre eux dans leur ensemble, soient respectivement des puissances de nombres premiers.

Prenons l'équation

et supposons que l'exposant m décomposé en facteurs premiers ait pour expression

Les exposants a'-, b?, c(, . . . , /'■, étant premiers entre eux dans leur ensemble, on obtiendra les racines primitives de l'équation (i) en multipliant entre elles (1V21, 1V2-2) les racines primitives des équations

Il suffira donc de chercher une racine primitive de chacune des équations (2). En les multipliant entre elles, on aura une racine primitive de l'équation (i); et, en élevant cette racine primitive aux m puissances o, i, 2, 3, . . ., «? — i , on obtiendra toutes les racines de l'équation (i) [14-14-, 1416].

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 63 l

1125. Avant d'aller plus loin, cherchons directement l'expression cln nombre des racines primitives de l'équation

Il suffira pour cela (1123) de chercher d'abord cette expression pour l'une quelconque des équations (2), par exemple pour l'équation

où a est un nombre premier.

Toute racine non primitive de l'équation considérée appartient également à une équation ^^ = i, dont le degré B est un sous-multiple ou un diviseur de l'exposant «'-'[l'i-lo, lil6]. Or, en laissant de côté a'^ lui-même, 9 ne peut avoir pour valeurs que

rt', a-, câ, . . . , a^~'.

Les racines non primitives de l'équation jc'" =: i sont donc toutes celles des équations

D'ailleurs, toutes ces racines ne sont autres (1118) que les racines de la dernière équation

11 en résulte que le nombre des racines non primitives de réquation

est précisément a'^'K Et, comme cette équation a en tout a-'racines, le nombre de ses racines primitives est nécessairement (1*23)

En revenant à l'équation jc'"- r= i , pour laquelle on a m=za^b^c'f . . . i^y^on voit (H23) que le nombre de ses racines primitives a pour expression

C'est la formule connue {Aritlun,, IGV)

<p(m) = a'^-'/??-'cT-'.../^-'(a— i)(/^— i)(c~i)... (/ — t).