ALGÈBRE SL' PltuirU IlE

Résolution de l'équation binôme, lorsque son degré est un nombre

impair.

1426. Soil l'équation (i) j7'" = I ou x"^ — i=o,

où m est un nombre impair. Celte équation admet alors une racine égale à i et m — i racines imaginaires, conjuguées deux à deux et réciproques (8i7, 1412). Si l'on supprime la racine i, en divisant le premier membre x'" — i par x — i, on obtient une équation de degré pair

qui est réciproque ( 1070) et qu'on peut, par conséquent (1073), abaisser au degré en posant

— ^z ou

Mais les racines de l'équation en :; sont alors les

doubles des parties /'celles des racines imaginaires de l'équation (i), conjuguées deux à deux et réciproques. La forme de ces racines conjuguées étant (lil2) x^ et x^-k, c'està-dire

2kv: , . . aA-

cos ±: i sin >

on aura donc, d'une manière générale,

I ikr.

Xi, ^ X,n i,^^ X -\ = :; = 2 COS ,

et il suffira de donner à k, dans celle formule, les valeurs i,

2, 3, . . , , , pour obtenir toutes les valeurs de z. On aura

ensuite toutes les valeurs de x, autres que l'unité, à l'aide de la relation

z±sj^^.

1427. Ce (|u'on vient de dire s'applique au cas où le degré de l'équation binôme est un nombre premier, puisque tout nombre premier est impair. Mais, dans ce cas, on peut résoudre algébriquement l'équation binôme, qui est alors de la classe des équations dites Abéilcnnes, et, par suite, résoluble algébriquement par radicaux (li08). Nous renverrons sur ce point à la Note XIV du Traité de la résolution des équations numériques.

Application de la théorie des équations binômes à la division de la circonférence en parties égales.

14-28. Supposons {Géom., 203) la circonférence divisée en m parties égales à a. En joignant les points de division dans leur ordre naturel, on obtient un polygone régulier ordinaire de m côtés.

Admettons maintenant qu'on joigne ces points de division de k en k, à partir de l'un d'eux.

Si k est premier avec m, la circonférence représentée par ma et l'arc ka sous-tendu par chacune des cordes successives ont mka pour plus petit multiple commun {Arithm., 131), et l'on revient nécessairement au point de départ après avoir parcouru m fois l'arc ka ou k fois la circonférence ma. On forme donc ainsi un nouveau polygone régulier de m côtés. Seulement ses côtés s'entre-coupent, et on lui donne le nom de polygone régulier étoile.

Si m et k ont un plus grand commun diviseur d, le plus

petit multiple commun de la circonférence ma et de l'arc ka

mka ,, . . , , - ^ •

est —T— 5 et 1 on revient au point de départ après avoir par-

couru -r fois l'arc ka ou , fois la circonférence ma. On forme d d

donc ainsi un polygone régulier de -y côtés et non plus de

m côtés.

Il résulte de ce qui précède que le nombre des polygones réguliers, convexes ou étoiles, de m côtés, est égal au nombre des entiers premiers et inférieurs à m, c'est-à-dire au nombre des entiers premiers à m renfermés dans la suite x, 2, 3, . . ., m — i. Mais, si l'on remarque {Aritkm., 168) que les nombres premiers et inférieurs à m se répondent deux à deux, à égale

634 ALGÈBRR SUl'ÉRIEURr- .

distance du plus pelil cl ilu [)lus grand de ces nombres qui sont I cl nt — I, en étant coniplcmcntaires à m, il est clair qu'on obtient le même polygone étoile de tu cotes en joignant les points de division de k en k {k étant premier à m) ou de m — A- en m — k. En réalité, le nombre des polygones réguliers de m côtés est donc égal au nombre des entiers premier-

a fil renlermes dans la suite i, •?,, o, . . .,

D'après cela, si l'on donne à /n les valeurs entières consécutives depuis 3 jusqu'à 17 par exemple, on a les résultats i suivants. 11 y a un seul triangle équilatéral, un seul carré et un seul bexagone régulier répondant à k=:i. Il y a deux pentagones réguliers, pour A = i et A := 2 ; trois heptagoneréguliers, pour A = i, A =2, A— 3; deux octogones réguliers, pour A =: I et A=:3; trois ennéagones réguliers, pour A =:^ I, k = 2, A := 4; deux décagones réguliers, pour A = i et A = 3; cinq hendécagones réguliers, pour A=:i, 2, 3, 4> 5; : deux dodécagones réguliers, pour A = i et A- = 5; six polygones réguliers de treize côtés, pour A = i, 2, 3, 4, 5,6; trois polygones réguliers de quatorze côtés, pour A=:i, A =: 3, A = 5; quatre penlédécagones réguliers, pour A = i, k=z2, A ==4, A ^ 7 ; quatre polygones réguliers de seize côtés, pour A- =: I , A = 3, A: =: 5, A = 7 ; enfin, huit polygones réguliers de dix-sept côtés, pour A=:: i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Tout revient, pour obtenir les polygones réguliers de chaque espèce, à trouver le côté du premier d'entre eux.

Ii29. Il est facile de s'assurer que chaque racine primitive \ de l'équation binôme .z-'"=i (1414, 1416) correspond précisément à un polygone régulier de m côtés, de sorte que le problème de la division de la circonférence en parties égales revient à la résolution de l'équation hinôme ^'"^i ou à la détermination de ses racines primitives.

Prenons le rayon de la circonférence pour unité, et désignons par «'/j' la longueur du côté du polygone régulier de tn côtés, obtenu en joignant les /71 points de division de la circonférence de A en A, l'entier A étant premier et inférieur

à /)>. Ce côté u„\\ étant la corde de l'arc A — , équivaut au

double du sinus de l'arc moitié k- — On a ainsi cette formule

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 63c

générale {Trigon., 66)

ikr.

/ I — cos • r

,,., . ikT, 4 / m ^ ; ikv:

i\,,' = 1 sin = 21/ =z 4 / 2 — 2 cos

Or, en se reportant au n° li26, on voit que, quel que soit m,

'. cos^^ — - est toujours le double {z) de la partie réelle de la

racine primitive xj^ de l'équation j;"'=zi. La détermination des racines primitives entraîne donc celle des côtés des polygones réguliers.

Nous allons pai'courir quelques exemples.

Polygones réguliers, convexes et étoiles.

1 i30. Triangle équilate'ral (m = 3, k = i). — Il faut partir de Téquation .r-* — I = o. En supprimant la racine i, il vient .r- -h j: -i- 1 = o et.

en posant .r - — =3, on a 3 = — i. Par suite.