Tr /r
Z = -2 cos — - = — I et uv ' = i / 2 — 2 cos -^ = V 3 •
ce qui est bien le côté du triangle équilatéral inscrit dans la circonférence de rayon i {Géoin., 20o).
Les deux racines primitives de l'équation .r^— i — o sont d'ailleurs
1 • in- • •. — I — / /3
les racines de l équation x- — x -f- i = o ou
Hexagone régulier (w = 6, /• = i). — On a ( 1429)
:7 .1 ' = 2 sin — = I .
ce qui est bien le côté de Fhexagone régulier {Géom., 203 ).
1431. Pentagone re'gulier {m = 5, k = i ou /c = 2). — 11 faut partir
de l'équation x'^ — [ = 0. En supprimant la racine i, on a l'équation
réciproque
qui, en posant x - — ~ z. devient (1073)
d'où
636 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Les valeurs do z sont celles de acos-r- et de % cos-^- D'après les signes des cosinus, on a donc
•1- /5 — 1 . &7Z v^ -!- I 2 cos -^ = el 2 cos ^- = —
11 vient alors (1429)
Ce sonl bien les valeurs des côtés du pentagone régulier ordinaire et du pentagone régulier étoile {Géom., 207).
Décagone régulier. — (m = lo, A- = i ou /i = 3). — Il faut partir de l'équation x^'^= i et trouver ses racines primitives. Pour cela, on peut chercher les racines primitives des deux équations x- = i et
L'équation a:-= i n'a qu'une racine primitive qui est — i.
L'équation x^= i a quatre racines primitives imaginaires, conjuguées deux à deux et réciproques. Leurs sommes respectives ou les doubles de leurs parties réelles sont précisément les valeurs trouvées pour z dans la question précédente. En posant
on les obtiendra donc par les deux équations du second degré .r- — z'x-{-\=^o, X- — z"x-\-\^=o.
La première a pour racines
La seconde a pour racines
.r = i:^'d=i/^^^J-i=-l[v/5+izp.V.o-2/5].
4 V ib -4
En multipliant ces résultats par — i, on aura les quatre racines primitives do l'équation x^^=\. Les doubles des parties réelles de ces
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ÔSy
racines conjuguées deux à deux ou leurs sommes ont pour valeurs
'-v/^ el i±^^.
il en résulte, en raison des signes,
et
2 ces =2 CCS 7 = —
2 COS =2 COS ■ r
La formule générale du n° 1429 donne ensuite
Ce sont bien les valeurs des côtés du décagone régulier ordinaire et du décagone régulier étoile (Géoi??., 206).
1432. Peiitédécagoiw régulier (/?? = i5, /l = i, 2, 4, /)■ — Il faut partir de l'équation .ri5=i, et trouver ses racines primitives. On les obtient (1421) en multipliant deux à deux les quatre racines primitives de l'équation .c'" = i et les deux racines primitives de l'équation x^ = i. On a ainsi les huit racines primitives de l'équation .r'^^ i, qui sont, d'après les calculs précédents (1430, 1431),
- f I — /o — \' 3o -f- 6 v/5 ) ii= - ( y/ 1 5 — \/ 6 — \' i o -h 2 \/5 ) ,
-(i—v/3-i-V 30-1-6/5) ± ô(/3 — v/i5— v/io-f-2/5),
i ( I -^ /I-v/so - 6/5) = ^ (v/T5 - /§ +v^o — 2/5),
- (1 -t-v/5h-V'3o — 6v/5)iiz-(v/i5-i-v/3 — \/io — 2/5).
On aura les quatre valeurs de 3 = 2Cos (1426, 1429), en dou-
blant les quatre parties réelles de ces huit racines imaginaires, conjuguées deux à deux. Ces valeurs de z représentent, dans un certain ordre
(pour k = \, 2, 4i 7), 2 COS— TJ 2 COS -^ j 2 cos -^, 2 cos — î— , etl on ^ 7 , -t, / /, j^ j^ j^ j^
(J38 ALGÈBHK SUrÉUIKURE.
il évidemment, d'après les signes des cosinus et les relations do grandeur des arcs,
- ( 1 — v/5 — V 3o -t- G /s ) = '2 cos -^ j t(i— v^5 H- y/So -1-61/5) = -icos^,
- ( I -4- 1/3 — V 3o — 6 /ô ) — 2 cos -4" ) 4 1 j
- ( I -t- /ô +- y/So — 6/5) = 2 cos —l •
On obtient ainsi, pour les côtés des quatre pentédécagones réguliers et par ordre, les valeurs suivantes :
^y ^ i-/5 + v/3o-6v/5 ^ i v/7-v/5-v/3T3l7l, y/.. - ^-v/5-i-v/3o + 6v/5 ^ ^i ^/^-rTiTTTÎÏ^^
VI — v/â — V^3o -i- 6 v/â 1 ./ /- ./o c /k
Ces valeurs sont indiquées en Géométrie sous une autre forme. Nou.avons trouvé {Géom.^ 208)
«1-5 = 7 (v/i5 -^ /J— sfîô^^ô^ô),
«'jt.) = 1 {\Uo-^-i\/l + v/75 — v/3 ) ,
z/<,-) = 1 ( /Ts -^ v/3 -h \/io — 2 v/5) .
11 est facile de passer des valeurs précédentes à celles-ci par la transformation connue {^Ig- éléni., 26i et suiv.), exprimée par la relation
1433. On a cru pendant longtemps que les polygones réguliers dont nous venons de nous occuper étaient les seuls qu'on pût inscrire dans
la circonférence par les procédés de la Géométrie élémentaire, c'està-dire à l'aide do la règle et du compas, ou, ce qui revient au même, en s'appuyaat sur la résolution des équations du premier et du second degré. La considération des équations binômes a complètement généralisé le problème, puisque tout revient (1129) à la résolution de l'équation x>" = 1 .
G.vuss, le premier, a prouvé dans ses Becfierches arithmétiques {^)^ qu'on pouvait inscrire par de semblables moyens tout polygone ayant un nomibre de côtés exprimé par un nombre premier de la forme ■X" -^ I .
Plus généralement, Gauss, le premier, a montré qu'on pouvait réduire la résolution de l'équation xV- — i, on ]x est un nombre premier, à la résolution des équations plus simples, qui ont pour degrés respectifs les facteurs premiers, égaux ou inégaux, du nombre \3. — i .
Ainsi, l'équation x^^ = i ne demandera que la résolution de deux équations du second degré et d"une équation du troisième, puisqu'on a i3 — I = 2. 2. 3. L'équation x^'^ = i n'exigera que la résolution de quatre équations du second degré, puisqu'on a 17 — i = 2. 2. 2.2.
Pour terminer ces exemples, nous allons indiquer, d'après Gauss, comment on peut, de cette manière, inscrire le polygone régulier de dix-sept côtés.
Polygone régulier de dix-sept côtés.
Ii3i. On a ici, d'après la relation générale (1429),
