COS

et tout revient à la détermination géométrique de l'ar^

Une formule comme (Trigon., 90) donne, pour la somme des cosinus des multiples impairs de o depuis i jusqu'à i5 [on a ?ti = 8, le premier arc a est o, et la raison // est 2'^].

( cos o -+- ces 3 cf -1- cos 5 cp -i- . . . -h cos 1 3 o h- cos i 5 o (2) / __ sin8cpcos8cp siniGcp s'm(-K — o) i

( ~~ sino 2sin'^ a sin o 2

Séparons alors en deux parties la somme des termes qui composent

(') Disquisitiones arithmeticœ, Lipsiœ, 1801. Ce remarquable Ouvrage a été traduit en français par Poullet-Delisle. Courcier, 1807.

64o ALGÉBaE SUPltRlEUUE.

le premier membre de la relation (2), et posons

X = ces 3 O -H COS 3 'f -1- cos 7 'f -+- COS I I '^,

y = ces '^ -I- COS9 'f -i- co.'? 1 3 'f -f- cos 1 5 o.

On aura d'abord, d'après (2),

Si l'on multiplie maintenant r par j et si l'on change les produits de cosinus obtenus en cosinus d'arcs simples (Trigon., 81) [en réduisant ensuite et en tenant compte de la relation

cos(i7 — /i)o = cos(- — /,o) = — cosA-ç.].

il vient (Trigon., 90)

.rj=2(cos2'i-j-cos4o -^cos6ç-^-cos8o-t-cosIoo-î- cos 120 -h cosi^'o -i-cos sin8cp cosQcp sin8ocos(- — 80) sin8'iC058o

sinç. sino ~ siuo

sini6-f sinf- — 'Ç-)

sina ~ sinç) ^ ■

On a donc la seconde équation

(?) .rj- = -i.

Les relations (a) et (^) donnent alors, par une première équation du second de^ré,

[.rest positif et j' est négatif.] Séparons de nouveau les sommes ,r et j en deux parties, et posons

s = cos 3 '-i -h- cos 5 Ci.

t = COS 7^3 -f- cos II 'y; u = cos o -^ COS i3-^.

t' = cos 9 'f -^ COS 1 3 cp.

[v est positif et / négatif: u est positif et c négatif.]

On trouve, en multipliant respectivement s et t, u et v, et en opérant comme pour le produit xr,

St =— -, «(' = — -

/)e?/,r nnmelles équations du second degré détermineront donc les nombres s et t (puisqu'on connaît x = s -^ t) Qi les nombres u et c (puisqu'on connaît j- = « -i- c).

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 64 l

Enfin, en remarquant qu'on a, d'une part, coso -I- cos i3o = u et, de l'autre (Trigon., 81),