I IV

coso cos i3o = - (cos lî'-^ -H cos 120) = (cos 3'^ -+- cos 5 '-2) = — -,

on voit que cosç sera la racine positive de cette quatrième équation du

second degré

.<• cos- o — u cos o =0,

dont la racine négative représente cosi3o. On a donc finalement

COSO =:

et, par des constructions géométriques convenablement enchaînées, on peut déterminer l'arc o, c'est-à-dire effectuer, à l'aide de la règle et du compas, la division de la demi-circonférence en dix-sept parties égales ou de la circonférence entière en trente-quatre parties égales. Le polygone régulier de trente-quatre côtés étant inscrit, le polygone régulier de dix-sept côtés s'en déduira immédiatement (i).

Résolution des équations trinômes.

1435. Soit l'équation trinôme, où les coefficients p et g sont donnés et oij les exposants de a; sont doubles l'un de l'autre {Alg: élém., 269),

Jc-'" -^ px'" + ^ = o.

En prenant x"'- pour inconnue, on en déduit

fVf

et la résolution de l'équation trinôme est ramenée à celle de deux équations binômes générales (1410, 1411).

(') Pour plus de détails sur cette solution, consulter l'Ouvrage de Gauss, ainsi que V Essai sur la théorie des nombres, de Legendre (deuxième édition ).

De C. — Cours. IV'. 4i

14-36. Considérons le cas où, p el 7 élanl des nombres réels, on a

Les valeurs de œ'" devenant des imaginaires conjuguées, on peut alors poser

— P-Y-i/^ 7 = /-(eosa + isinal.

— £-— 1/4 q =■ /'(cosa — tsina),

et l'on a, en ajoutant et en multipliant,

/» = — 2/'cosa, cj^^f-.

L'équation trinôme prend donc la forme

(i) x^'" — 2/-jr'" cosa -h /•-=: o,

el l'on a, en même temps,

(2) ^"'z= /'(cosa ±: f sina).

Les racines de la double équation (2) sont d'ailleurs données (1411) par la formule

oîi il suffira d'attribuer à /. les m valeurs o, i , 2, 3, . . . , /« — i , ou, pins généralement, m valeurs entières consécutives, pour obtenir les 2/« racines distinctes de l'équation (i).

1437. On voit (1017) que les diviseurs du premier degré du premier membre de l'équation (i) [1436] sont delà forme

œ — /•'" cos 1- i sui -— —

\^ m ni

■}-/ cc-i-7.kr. . . y.^ikr.\

X — /• cos i sin •

\ m JH /

Si l'on donne dans ces deux expressions la même valeur à l'entier indéterminé A, le produit des deux diviseurs du premier degré correspondants représente un diviseur réel du se-i

ALGEBRE SUPERIEURE.

cond degré du premier membre de l'équation (i), et ce diviseur réel du second de^rré revêt à son tour la forme

X — /•'" cos c'est-à-dire

ikT:\

sin'

ikv:

x^ — 'îr"x cos

Le produit de tous les diviseurs réels du second degré obtenus en donnant à l'entier /.les /«valeurs o, i, 2, 3, . . ., ;?i — i, reproduira (1017) le premier membre de l'équation (i).

On a ainsi l'identité

4) X-'"— 2rx"^ co-èa-^- r'^=^ | | \ x- — 2r"'j:cos

Théorème de Moivre et de Côtes.

1438. Les théorèmes de Moivre et de Côtes permettent de représenter géométriquement les diviseurs réels du second degré du premier membre d'une équation trinôme ou ce premier membre lui-même, ainsi que le premier membre d'une équation binôme.

Soit {Jig. 71) un polygone régulier de m côtés, inscrit dans

un cercle de centre 0 et de rayon /'", et dont les sommets

Fig. 71.

soient Ao, Ai, A,, . . ., A;„i. A partir de Ao, portons sur la cir-

conférence un arc AqB égal à /•'" — (répondant , par consé-

uuent, à l'arc — clans le cercle de ravon i )• Si a est positif, ' /« " J

AoB sera porté dans le sens AoA,„i et, si a est négatif, dans

le sens contraire AqA,. Prenons sur le rayon OB une lon-

1,'ueiir OM représentant x, et joignons M à tous les sommets

du polygone régulier inscrit. On formera ainsi des triangles

successifs MOAo, MOA», MOA^, . . ., MOA,„,.

Soit l'un de ces triangles MOA/,. Il donne évidemment

{Trigoru, U8)

]\JA/- = x-— 2/"'^C0S

ikr.

L'identité (4) [li37] devient donc

(5) ^2'"— 2r^'«cosa — /-=MAo .MA, .MA. . . . MA,„, .

Le produit des diviseurs réels du second degré du trinôme j.ïm — ■2rx"^ cosa + /- est donc figuré géométriquement par le carré du produit des distances du point M aux différents sommets du polygone AqAi A, . . . A,„i.

H39. Changeons a. en t. -r- y. dans l'identité (4) [H37]. Elle deviendra

2 /a-'" cosa + /■'-

(4M, TT /' . ,77 „„„^ + (2^'+i)-

Jl (^^^-2r-^cos" + ^^;-^''^^/-j.

Considérons le même polygone AoAiA, . . . A,„i {Jig.-i); prenons les milieux A'^, A',, k\, . . ., A',„i des arcs sous-lendus par ses cotés, et joignons le point M à ces points milieux. On forme ainsi des triangles MOA^, MOA',, MOA'o, . . ., MOA',„,. L'un quelconque de ces triangles, MOA'x., donne évidemment

a-h(2Xw-n^ , J,

MA), ^= X- — 2 /•'" X cos ^-^ -i- /

et la relation (4 ^^5) devient

(5 bis) X-'" -+- 2 rx'" cos a -}-/•- = MA; . MA', . MA', . . . MA;

Le produit des diviseurs réels du second degré du trinôme x*'"-i- 2/-^'" cosa + /•- est donc /iguré géométriquement par

ALGÈBRE SUPiLRIEURE. 6^3

le carré du produit des distances du point M aux différents points milieux des arcs sous-tendus par les cotés du polygone

H40. On peut réunir les deux énoncés des numéros précédents (14-38, li39) en un seul.

Inscrivons dans la circonférence de centre 0 et de rayon r'" un polygone régulier de i ni cotés, Aq AJ, Aj A j A, A'j ... A„j iA'„j, , en déterminant toujours le point B et le point M comme il a été indiqué (1438). On peut dire alors que

Le trinôme x-'"^ — o.rx'"^ cosa + /•- est figuré géométriquement par le carré du produit des distances du point M aux sommets de rangs impairs du polygone, tandis que le trinôme ^27«| 2/-^'" cosa H- /'^ est figuré par le carré du produit des distances du point M aux sommets de rangs pairs.

C'est dans cette double proposition que consiste le théorème de Mo IVRE.

1441. Supposons a = o ou cosa ^ I. L'arc AqB = r'" — sera nul, et le point M sera {fig. 72) situé sur le rayon OAq.

Le premier membre de l'identité (5) [1438] devient en même temps un carré. On peut donc extraire la racine carrée des deux membres, et l'on a

(6) x"^— /• = ± MAo.MA, .MA2 . . . MA^,,

suivant que le point M est extérieur ou intérieur à la circonférence 0, c'est-à-dire suivant que x est plus grand ou plus \

petit que /'".

()^(3 ALGÈBUE SUPÉRIEtRE.

Le premier membre de l'identité (5 bis) [ li39] devient également un carré, on peut extraire la racine carrée des deux membres, et l'on a

{6 bis) ^'« + r = MA'o . ma; . M A ; . . . M A„, i .

C'est dans cette double proposition, facile à énoncer en langage ordinaire (li38, 1439), et qui s'applique alors aux équations binômes, que consiste le théorème de Côtes. La construction indiquée au n° 884, combinée avec la règle de la soustraction des quantités imaginaires (877), y conduit directement et immédiatement.