NOTIOAS SUR LA THÉORIE DES DIFFÉRENCES
Définitions.
1442. Considérons une suite de nombres
(0 Jo, Ji, 7-2. /s, -.-, fm-i, y-m-
Si l'on retranche chacun d'eux de celui qui le suit, on obtient une nouvelle suite
7i— 7o, 72 — Ji, 73 — 72' •••' 7'"— 7'«-i-
Les termes de cette nouvelle suite s'appellent les diO^érences des termes de la première : t'i — Vq est la différence de 7o; y^ — Ji, la différence de /, ; . . .; j,„— j»',„-i, la différence de 7„j-i.
Pour indiquer les différences, on se sert du signe A : ainsi, \y,n-i indique la différence de j'm-i' Par conséquent, les différences des termes de la suite (i) forment la suite
(2) Ajo, A/i, A)%, ..., A7„,,.
Comme l'opération peut se renouveler, les termes de la suite (2) sont les différences premières ou du premier ordre des termes de la suite (i).
La suite (2) a un ternie de moins que la suite (i).
On peut faire, pour les termes de la suite (2), ce qu'on vient de faire pour les termes de la suite (i). On forme ainsi les différences des différences premières ou les différences secondes ou du second ordre des termes de la suite (i). Le< différences secondes sont
^fi — Aj'o , A }'2 — Aj, , . . . , A v,„ 1 — \y,„ 2 ;
on les désigne par le signe A-, et elles forment la suite
La suite (3) contient un ternie de moins que la suite (2).
En prenant les différences premières des différences secondes, on obtient les différences troisièmes ou du troisième ordre des termes de la première suite, et ces différences sont indiquées par le signe A^.
On peut continuer de même et former les différences quatrièmes ou du quatrième ordre, les différences cinquièmes ou du cinquième ordre, . . . , indiquées par les signes A*, A^, ....
A chaque nouvelle suite, le nombre des termes diminue nécessairement d'une unité, de sorte que, si la première suite renferme m -\- i quantités, la {m -{- 1)'*^""^ en renferme une seule et ne donne lieu à aucune différence.
Certains principes sont communs au Calcul des différences et au Calcul différentiel.
u, V, z, étant des quantités variables, on a
A(«o-l-^'o— -o) = ("i+ «'1 — -1) — («ûH- «'0— -0)
= («1— «0) ^-(('i— '"o) — (-1 — -0) = A«oH- A('o— A^o-
Par suite, la différence d'une somme algébrique est égale
à la somme algébrique des différences de ses parties (068).
La différence d'une constante a étant nulle, on a donc
a étant un facteur constant, on a
AauQ= aui — au^, = «(//, — Uq) = aA^o-
La différence du produit d'une fonction par une constante est donc égale au produit de cette même constante par la différence de la fonction, etc.
1443. On peut écrire les suites formées par les quantités proposées et leurs différences des divers ordres, en les disposant en colonnes verticales, comme dans le Tableau ci-dessous :
Jo
A.ro
A-Jo
Al)«
Ajl
A^Ji i
Jï
A^JKa
Pour l'obtenir, il faut, par définition, retrancher chaque nombre d'une colonne de celui qui le suit verticalement, et écrire le résultat trouvé à droite du nombre soustrait et sur la même ligne horizontale.
Réciproquement, chaque nombre du Tableau est égal à celui qui le précède verticalement, augmenté du nombre placé à la droite de ce dernier. Par exemple, la relation
Aj', — Aji = A-j'i donne Aj, =: \j\ + A- jj .
On a, pour la première colonne verticale, en particulier,
j2=/l +Vl»
c'est-à-dire, en ajoutant et en réduisant,
y m— Y, + A/o + A/i + Ar, + . . . + A/,„„
formule facile à traduire en langage ordinaire et qu'on peut appliquer à chaque colonne verticale.
G5o ALGÈBRE SUPÉRIEUIIE.
On peut dire encore que chaque nombre du Tableau est égal à celui qui le suit verticalement, dimin ué du nombre placé à la droite du nombre considéré. Par exemple, la relation
A/a — A y, = A- jo donn e Aj-., = Aj-^ — A^/a-
1444. Supposons qu'on veuille, d'après ce qui précède, indiquer le Tableau des différences des sept nombres
lo, i4, 21, 33, 4i, 07, 63 ; on aura
Afi.
