JI
ai
la
Si l'on donne, au contraire, le nombre 10 et les six différences successives 4, 3, 2, — 1 1, 32, — 83, et qu'on veuille retrouver la première colonne verticale, on opérera par addition sur la première ligne horizontale, en disant : —83 + 32^= — 5i,
32 — 11 = 21, —11+2=: — 9, 2H-3=:5, 3 + 4 = 7, 4 + IO = l4,
et l'on reformera ainsi la seconde ligne horizontale du Tableau. Pour reconstituer la troisième ligne horizontale, on opérera de la même manière sur la seconde ligne horizontale, etc. Toutes les lignes horizontales étant connues, il en est de même de la première colonne verticale.
J445. Si l'on a à considérer, au point de vue des différences, des suites qui soient illimitées dans les deux sens, telles que la suite
rien n'est changé aux définitions précédentes, et l'on a toujours, d'une manière générale, quel que soit n (positif, né gatif ou nul),
A>-„ =/„+! - r„, A"+'/„ = A/'/„+, - ^py„.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. DOl
Formules symboliques.
ikh'G. I. On donne les m -\- i nombres U(,, u^, ii-i, Uz, ■ • -, ii,n [c'est-à-dire la première colonne verticale du Tableau indiqué au n" Hii],ef L'on demande de troia-er l'expression générale d'une différence d'ordre quelconque relative à Uq, telle que A" </o [c'est-à-dire d'un terme quelconque de la première ligne horizontale du même Tableau].
On a, par définiiion et par substitution,
A;/o='/i— "o, lu^^z a,— Ui, lu.,=. U3— Uo, ..-.,
A- «„ = A»i — A»„ = «2 — 2 ?/i 4- Uq,
A- Ui =r A//o — A//i = U-^ — 2 f/j -r- Ui, . . . ,
Dans les seconds membres des égalités obtenues, on reconnaît les coefficients du développement de la puissance (qui correspond à l'indice de A) d'un binôme x — a. Pour A-«o, on a les coefficients d'un carré; pour A^«o» les coefficients d'un cube. Les indices de u sont les exposants de x dans les mêmes développements. Pour prouver que cette loi est générale, il suffit de vérifier que, si elle est vraie pour A^;/o, elle l'est encore pour 1''^^ Uq.
D'après l'iiypolbèse, on a (261)
^p uo — »/, — c; Up 1 ^ C;, ^/p 0 - - . . . = c;',- ' «;;-„4-i ± c;: ?/,,„ — ...=;= «o •
Cette relation étant ac^wwe pour les yj -h i nombres quelconques //q, Ui, u.j, . . ., u,,, est également applicable à la suite Ui,u.,Uz, ...,?//,+!. On a donc, en forçant tous les indices de u d'une unité,
(2) ^i>u^ — Ui,^, — C'pUp-T-Clup, — ...±C'l,Up^„+i — ...±Uy. Mais, par définition,
En retranchant membre à membre les égalités (i) et (2), on a donc
A'^^ '</o =«/>+! — Cj, ap-\-Cl\ u,,, — . . .±zC'l, \u,,„^^zç...z^Uq'
"^^ ALGÈBRE SUPÉRIEUKE.
On a, d'ailleurs, d'une manière générale (2G7),
rn — C"^ s^ rn-1
^p+i — ^p ~t- y^p , et la relation (3) devient
A/^+' a, = u,,^, - C/U, u^ + C;,„ u„, - . . . d= C;:,, «^,^, q= . . . qi «„•
Ainsi, lorsque la loi indiquée existe pour A/'«o, elle existe encore nécessairement pour ^p+'ua. Comme elle a été vérifiée directement pour A^^, et ^^u„ elle est donc complètement générale.
On peut écrire la formule qu'on vient de démontrer, savoir
sous la forme symbolique
A"itQ = {a — i)",
en convenant de remplacer, dans le développement du second membre, les exposants de u par les indices correspondants et le dernier terme i par ;/o-
Si l'on donne, comme précédemment (UU), les sept nombres
«0=10, Ui=i^, u,—2i, ;^3 = 33, "i=4i, «5=5-, «G =63, on a directement
Amo — (« — i)3:z=57 — 541 + 10.33— 10.21+5.14—10=32.
IH7. II. On donne le nombre u^, ainsi que ses m différences successives Amo, A^Mo, A^«o, • • -, A'"«o (c'est-à-dire la première ligne horizontale du Tableau indiqué au n° ikkk), et Von demande de trouver l'expression générale de l'un quelconque des m -h 1 nombres correspondants, tel que u,^ (c'est-à-dire d'un terme quelconque de la première colonne verticale du même Tableau).
On a, par définition et par substitution,
M,= «o4-A«o, AUi = lUo+ \-Uo, A2«i = A-«o+ A^Mo, .
"2="i-^-^"i=«o4-2A«o+ A2«„, \u,= lui-h\-Ui, «3 = «2 4- A«2 = «û -^ 3 A«o + 3 A- «0 + A^ «0,
Dans les seconds membres des égalités obtenues, on reconnaît les coefficients du développement de la puissance (qui correspond ù l'indice de it) d'un binôme « -t- j7. Pour a.,, on a les coefficients d'un carré; pour u-i, les coefficients d'un cube. Les indices de A sont les exposants de a: dans les mêmes développements. Pour prouver que cette loi est générale, il suffit de vérifier que, si elle est vraie pour a^,, elle l'est encore pour «;j-i-i.
D'après l'hypothèse, on a
u], = «0 -H C; A«o 4- C;^ A' «0 + . . .+ C^r ' A«-' u, + C;^ A« «„ 4-. . . + A/' uo.
Cette relation étant admise pour u^ et les p différences successives A«o, ^^"o> A'«o> • • •> A''"o5 est également applicable à la suite A;/,„ A-Uq, A^ Uq, A^'Uq, . . ., Ap-^^ Kq. On a donc, en forçant d'une unité tous les indices du signe A,
) A«/, = Au, -\- q, A^ «0 + ciA^uo-\-...-h C';r' a« «,+... + a/^+' «o-
Mais, par définition.
En ajoutant membre à membre les égalités (i) et (2), on a donc
i/p+i = </„ -f- C* I A«o + Cf,
A2^o + -.- + c;î + cr
En tenant compte, comme précédemment (1446), de la relation générale
la relation (3) devient
//,+,— «o+C;,^iA«o + C;,^i A- f/„-T-. . .H-C;^+iA««o^-- .4- A/^+'«o-
Ainsi, lorsque la loi indiquée existe pour Up, elle existe encore nécessairement pour iip-^-i. Comme elle a été vérifiée directement pour 11.2 et i/^, elle est donc complètement générale.
On peut écrire la formule qu'on vient de démontrer, savoir
/ XT X fi . ni II — I ) . , .
( A ) «„ — u,^ - Ai/o -\ ^ A- «0 + • • • + A« u^,
654 ALGÈnnE SUrÉIUEURE.
sous la forme symbolique (')
en roiivenanl d'efTectucr le développemenl comme si le siprne A était une fuianlilé, et en regardant les exposants trouvés pour A comme les indices de ce signe par rapport à Wo-
Si l'on donne, par exemple, comme précédemment (liii), le nombre u<i=i\o et ses cinq différences successives
A//o=:4: A-»o^=3, \'^U^)^z1, A*?/j^ — II, A' «0^32,
on a directement
a5^=(i-t-A)Mo=:io — 5.4-H10.3 -f-io.2-T-o(^ — 1 1) -H 32 = 57.
Différences des fonctions.
Ii48. Soit une fonction quelconque de .r, ;<^F(.r). Désignons par X et par x -^ h deux des valeurs consécutives attribuées à X. L'expression
est la différence première de F(;r).
De même, si l'on change x en x ^ h dans A F( j:-), l'expression
A-^« = A2F(^)— AF(j: -f-/0— AF(\r)
est la différence seconde de F(j:); et ainsi de suite.
On aura, d'une manière générale, pour la différence d'ordre n + i (lUo),
Soit, par exemple, u^za^. >'ous aurons, d'après ce qui
précède,
La différence première s'obtient donc ici en multipliant la valeur initiale de la fonction par la constante a''— i relative à l'accroissement donné i\x.
(') Il est utile de remarquer ces curieuses analogies des puissances avec les différences (1446, 1447) et avec les différentielles (642 et suiv., 658 cl suiv.).
Il en résulte évidemment
Différences des fonctions entières.
1U9. Soit
(l) y ^-f{x) — koX"' + Al J7'«-l + A,^'"-2 4- . . . ^ k,n-yX + A,„
une fonction entière de x. Donnons à x des valeurs en progression arithmétique, telles que
l) ...XQ—2h, Xo — h, Xq, Xn-^ h, Xçf^lh, ^q-t-SA,
(La raison de cette progression est la constante li, et la quantité x^ est complètement arbitraire.) Désignons par
(3) .-. j-2, y-i, vo, yx, 72, yz, ■■■,
les valeurs correspondantes de la fonction. Nous aurons, d'une manière générale, d'après la formule (D) [lii.6],
(4) { A-^j=/(^ + 2/0-2/(^ + A)+/(^), AV =f{^ -^ 3/0— 3/(x -f- 2h)-^3/{x ^ h)—f{x),
11 suffira de substituer à x, dans ces relations (4), les termes de la progression par différence (2), pour obtenir les valeurs successives de la fonction et celles de ses différences des divers ordres.
Cela posé, nous démontrerons le théorème suivant, qui est très important au point de vue des applications.
14o0. Lorsqu'on substitue, dans une fonction entière de x, de degré m, telle que
une suite de nombres en progression arithmétique, la différence d'ordre m de la fonction est une quantité constante, qu'on peut déterminer immédiatement d'après la fonction même.
656 ALGÈBUE SUPÉRIEURE.
On a, en effet, d'une manière générale, d'après la seconde des égalités (A) [14^9] et d'après la série de Taylor (32i),
Av = /(.r^/0-/(^)
La valeur de A)- est donc une fonction entière de x, de degré m — i, et ayant pour premier terme ni\ohx"'-K On peut poser, par conséquent,
Aj = mAoAj:"'-*-h
Ainsi, dans l'hypothèse adoptée, la différence Aj (ou du premier ordre) d'une fonction entière de x, y z^-f{x), de degré m, est une fonction entière de degré m — i, dont le premier terme est le produit de la dérivée du premier terme de y par la raison h de la progression formée par les nomhres substitués à la place de x.
La même propriété existe nécessairement pour la différence A-j (ou du second ordre) de la fonction j, puisque cette différence A-j est la différence du premier ordre de la fonction A/; et l'on peut écrire immédiatement cette suite de résultats :
A-j' =z m{m — i) Aq/i-x'"-'- -t- . . .,
A^ j- = m{m — i){m— 2 ) Ao h^ x'"-^ -h
A'">'= m{in — i) (m — 2 j ... 2.1. AoA'"-
Comme le degré de la fonction qui représente chaque différence est égal à m diminué de l'indice de la différence, ce degré s'abaisse d'une unité à chaque opération, de sorte que la différence A"'j {ou d'ordre m) est indépendante de x. Elle s'obtient d'ailleurs en multipliant par h'" (m'^™^ puissance de la raison de la progression choisie) la nv^'^" dérivée de la fonction y (32i).
Le théorème énoncé est donc établi, et l'on voit en même temps que les différences de la fonction y, qui sont d'ordre supérieur à m, sont toutes nulles
[ A'"+»/o = ^"\}\ — ^'"Vo — o].
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. i]5n
14.51. Ce théorème montre que, si l'on doit substituer à x, dans une fonction entière de x, y ^=if{x), de degré m, une suite illimitée de nombres équidistants
..., x^ — ih, Xf, — /i, X(.j XQ-\-h, x^-\--y.h, Xq-\-^/>, ...,
il suffit de calculer directement les résultats fournis par m substitutions consécutives^ pour pouvoir ensuite, par de simples additions, obtenir les résultats de toutes les autres substitutions.
C'est ce qui résulte des indications et du Tableau du ii'j 14ii. Ayant m valeurs de /, on en aura m — i de Aj, m — 2 de A"^j-, . . . , une seule de A'"-' j ; mais on connaît directement (14o0) la différence A'"/. Comme la dernière colonne verticale qui renferme cette différence constante A'"/ peut être continuée indéfiniment dans les deux sens, un seul terme déterminé dans la colonne précédente permet d'en écrire dans celle-ci autant qu'on veut ; et ainsi de suite, de proche en proche (1443). On formera donc rapidement les lignes horizontales successives du Tableau, et l'on continuera en même temps, aussi loin qu'on voudra, la première colonne verticale qui renferme les valeurs consécutives de la fonction.
1452. On utilise ces considérations dans toutes les branches des Sciences mathématiques, pour dresser des Tables abrégeant ou remplaçant les calculs directs, aussi bien que pour obtenir certaines formules numériques.
Nous allons donner quelques exemples.
Applications.
14o3. Carrés des nombres entiers. — La fonction est ici j = x-. On doit substituer à la place de x les valeurs i, 2, 3, 4? • • • , de sorte que la raison h est l'unité. La différence seconde de la fonction est constante (14o0) et égale à 2. Il suffit donc d'écrire dans une première colonne verticale les deux premiers carrés i et 4) dans une deuxième colonne leur différence 3 et, dans une troisième, la différence seconde constante 1, pour prolonger ensuite indéfiniment le Tableau (1451), en appliquant les formules
^V"o + A;"o = Aj'i , A Kl -i- ji = j 2-
De C. — Cours. IV. [^2
ALGEBRE SUPERIEURE.
