AV

Pour résoudre la question, il faut trouver le terme général )-„ de la première colonne du Tableau, terme général qui est égal à '

■nK

On n-a donc qu'à employer la formule (X) [14i7], puisqu'on connaît \jo et ses n différences successives, qui se réduisent aux trois premières. ■ Un cl, par conséquent,

c'est-à-dire

J)(/^ — 9.) rt(«-^l)(2«H-l)

comme on l'a déjà trouvé (274, 278).

On pourrait calculer d'une manière analogue la somme des cubes celle des quatrièmes puissances, etc., des n premiers nombres entiers.'

U06. Somme des carres des n premiers nombres impair, - Un aombre impair quelconque peut être représenté par 2.*'-+-! r recevant successivement les valeurs o, i, 2, 3, .... Si l'on considère alors a fonction j = (2^ -M)^= 4^^-^4.r^T, on voit que les différences n /'' sont constantes et égales (14o0) à i.o^.X.h^-, c'est-à-dire e^^aies a 8, puisque la raison h est encore égale u l'unité. Cela posé, prenons la suite

Les différences premières de cette suite étant les carrés i2, 32, 52^ ...^

ALGÈBRE SUPÉniEURE.

(les nombres impairs conséculifs, il résulte de ce qu'on vient de dire que les différences secondes des différences premières ou les différences troisièmes de la suile considérée sont constantes et égales à 8, tic sorte que ses différences d'ordre supérieur n'existent pat. On a donc ici

Pour résoudre la question, il faut trouver le terme général j„ de la première colonne du Tableau, terme général qui est égal à

■{-in— if.

On n'a donc qu'à employer encore la formule (N) [14i7], puisqu'on connaître et ses n différences successives, qui se réduisent aux trois premières. On a, par conséquent,

A^Jo,

c'est-à-dire

Si l'on pose, pour plus de simplicité, in — i = /, on obtient

On pourrait calculer d'une manière analogue la somme des cubes celle des quatrièmes puissances, etc., des n premiers nombres impairs

(•) Les dernières formules établies ( 1455, 1456) sont utiles, entre autre applications, dans la théorie des Ponts suspendus : elles servent à cal culer la somme des longueurs des tiges qui relient les cliaincs au tablier quand ces tiges sont équidislantes.

ALGÈBRE SUPÉIUEURE. 66 I

Résolution des équations numériques.

1457. La séparation des racines réelles d'une équation (1209) s'obtient, le plus souvent, en substituant dans le premier membre de l'équation une série de nombres, en général, é(|uidislants. Lorsque le nombre des substitutions nécessaires s'accroît, le calcul des résultats correspondants devient pénible, et l'on doit chercher à le simplifier en le dirigeant d'une manière méthodique. L'algorithme qui résulte de la théorie des différences peut, dans ce cas, intervenir utilement. Nous allons insister sur ce point.

Ii58. L'équation proposée r=/(a^) =0 étant de degré m, la différence m'è-^^e dg ^q^ premier membre est constante (liSO) et égale à i .2.3. . ./«AqA'" [Aq est le coefficient du pren)ier terme de l'équation, et h la raison de la progression arithmétique formée par les nombres substitués à la place de a].

Ordinairement, on commence par substituer des nombres entiers consécutifs, tels que

de sorte que la raison h est alors égale à l'unité. Après avoir obtenu directement les résultats de /« substitutions, on peut former le tableau indiqué précédemment (1451), et le poursuivre rapidement, dans un sens ou dans l'autre, en ayant soin de tenir compte des limites des racines réelles de l'équation, pour ne pas le prolonger inutilement.

S'il s'agit d'une équation du troisième degré, c'est la différence troisième de son premier membre qui est constante, et il suffit de chercher directement les valeurs de ce premier membre pour trois valeurs de x, qu'on prendra naturellement égales à — 1,0, i.

S'il s'agit d'une équation du quatrième degré, c'est la différence quatrième de son premier membre qui est constante, et il suffit de chercher directement les valeurs de ce premier membre pour quatre valeurs de x convenablement choisies

Le Tableau des substitutions effectuées et des valeurs correspondantes du premier membre de l'équation proposée

602 AI.r.knRE SUPI^ZUIKL'KF,,

élanl formé dans les limites convenables, on examine lechangements de signes qu'il peut présenter d'une substitution à l'autre. Si ces changements de signes répondent an nombre des racines réelles possibles ou certaines (d'aprl'étude complète faite au Livre IX), les racines réelles <l< l'équation sont séparées, et il ne reste qu'à en approcher davantage.

En général, le nombre des intervalles marqués par lechangements de signes sera inférieur au nombre des racineréelles, possibles ou certaines. Il pourra même ne pas y avoir de changement de signes. 11 faut alors recourir à de nouvelles substitutions plus resserrées et, pour ne pas en faire (]<■ tout à fait inutiles, il est bon de s'aider d'un tracé graphique

Pour cela, on n'a qu'à tracer deux axes rectangulaires 0 et Or, puis, à porter en abscisses les valeurs équidistanicde .2? et, en ordonnées, les valeurs correspondantes du premier membre de l'équation, inscrites au Tableau. En joignant par un trait continu les points ainsi déterminés, on a, approximativement, la courbe représentative de la fonction y =/{■' ' [1030], et les points oii cette courbe rencontre l'axe O^r foui connaître, d'une manière également approximative, les valeurs de ce qui annulent la fonction, ou les racines de l'équation y r=if{x) =: G. Par conséquent, ce n'est que dans les intervalles qui semblent comprendre ces points d'intersection que l'on peut utilement essayer de nouvelles substitutions.

Ces nouvelles substitutions se feront en prenant la raison/* de la nouvelle progression arithmétique formée par les valeurs de a:, égale à o,i. En général, elles sufiisent pour décider (en reprenant s'il est nécessaire le tracé de la courbe représentative dans les intervalles considérés) s'il existe on non des racines réelles dans ces intervalles.

Le Tableau relatif aux nouvelles substitutions peut d'ailleurs être établi suivant les mêmes règles que le premier Tableau relatif aux substitutions entières.

En continuant à opérer ainsi, on pourra non seulement séparer les racines réelles de l'équation, mais en approcher régulièrement à moins d'un dixième, d'un centième, d'un millième, etc.

Nous allons montrer comment cette méthode spéciale peut s'appliquer aux équations du troisième degré et aux équations de degré supérieur.

Équations du troisième degré

li59. Avant de passer aux exemples, nous indiquerons comment on peut, au lieu de chercher directement les nouvelles différences qui répondent à la nouvelle raison o,i et qui doivent servir de point de départ pour approcher davantage des racines, les déduire des premières différences calculées en supposant h = i.

L'équation considérée étant du troisième degré, on a ici (14i9)

|Aj-=-A/(^)=/(^ + A)-/(^) ^'^ i =7/(^')+^,/'(^-)4- ;-^/"(^) = 9(^).

9(j:) est une fonction entière du second degré, puisque/'" (^) est une constante (1450).

On a alors, à la fois,

A^7 = Ay(,r) = Ao(^')= 7?'(^)-+--;^?"(^), ?'(^)-7/"(^) + :^r(-^),

La valeur de A^ >• devient donc

(•2) ^\r = AV(^) = h^i-^) + hY'i^) = ^(^).

'l'(jr) étant à son tour une fonction entière du premier degré, il vient

(3) A^r = Ay(^) = A 'h{a:) = /id;'(^) zzi h\f"' {œ).

On a ainsi les relations suivantes :

Aj =. ~ r{x) + ^^/"(^^) + '-^/'"{œ),

Ces formules étant complètement générales, elles seront encore vraies lorsque la raison deviendra dix fois plus petite.

664 ALGÈBRE sci'I^:rii:uiie.

En désignant les nouvelles différences par le symbole ô et en

remplaçant // par — , on aura donc ' ^ ' lO

àv^— f (.r) H- -- /"(^) 4- ^- /'"(,r), lo ■' ^ ' 200 -^ ^ ^ 6ooo ' ^ '

lOO '^ lOOO'

■^ lOOO'' ■ '

On voit que :

i" La nouvelle différence ô'^xesl la millième partie de la différence primitive A^r;