AM
2' o^Y est composée de cette même quantité — ^> auff-
lOOO
mentée de la centième partie de [éq. (2)]
h'-f{x) — AV — h\f"'{x) = A^ r — A^ r,
c'est-à-dire de la centième partie de la différence qui précède verlicalement A^/dans la colonne des A^ (ce qui tient à ce que A*j demeure constant);
3» ôv est composé de trois termes dont les deux, derniers sont connus d'après ce qu'on vient de dire, et égaux respectivement à la deux-centième partie du terme qui précède verticalement A-j' dans la colonne des A- et à la six-millième partie de A^ r ; quant au premier terme de ôr, égal au dixième de hf'{.x) [éq. (i)], il est, d'après ce qui précède, égal au
dixième de
AM- — A^r AM-
Ar ■- ^•
En résumé, si l'on désigne par Tq '» valeur de la fonction f(x), qui sert de point de départ, et par/i la valeur qui la précède verticalement dans le Tableau déjà formé pour les premières substitutions et qui correspond au symbole A, on a
àVo ^ Z i~ ' > ~ ^/O — jr-
A^ro
ALGEBRE SUPERIEURE.
Les formules (A), complètement générales, permettent de passer des différences A qui répondent à une valeur quelconque de la raison h aux différences ô qui répondent à une raison dix fois moindre.
Exemple.
1460. Soit r équation y =^f{x) = .v^ — ~x-\-'- = o, dej'à résolue {I3ii).
Celte équation a deux racines positives et une racine négative. Ses racines ont pour limites 3 et — i. La fonction prend les valeurs i3, 7, 1 , pour les substitutions — 1,0. i.
Les deux différences premières correspondantes sont donc — 6 et — 6. Quant à la différence seconde constante, elle est égale à 6. On peut donc établir immédiatement le Tableau suivant pour les substitutions entières.
(') En effet, soit d la distance d'une droite parallèle à Ox, à cet axe; si cette droite coupait la courbe en plus de trois points, l'équation a^' — ■]X-h-} = d aurait plus de trois racines.
ALGÈBRE SUPÉniEURE.
de la courbe représentative de la fonction. Dès lors, si la courbe rencontre effectivement l'axe des abscisses à droite de l'origine 0, ce ne peut ôlre qu'entre les points i et a. (La courbe a un point maximum entre .r — — ■2 et .r = — i, un point minimum entre x — 1 et .r = 2, un point d'inflexion sur l'axe des j au point 7.;
Il ne nous reste plus qu'à partager l'intervalle de x = i à x = 2 1 : dix parties égales pour avoir les deux racines positives à o, i près.
l'if!. 73.
Le \-j- qui correspond à .r = o étant G, les formules (A) du n" 14o9 donnent
0.1 peut donc former ce second Tableau, en négligeant la virgule dans l'expression des différences pour simpliCer l'écriture :
— o,oi3
L'une des racines cherchées est comprise entre i,3 et i,4; l'autre tombe entre i ,6 et 1,7.
En suivant le môme procédé, on approchera davantage des trois racines séparées.
Si l'on veut, par exemple, obtenir la première racine positive à 0,01 près, on substituera à x, entre i,3 et 1,4, des valeurs variant d'un centième.
On se servira encore des formules (A) (1439), en mettant dans leurs seconds membres, à la place des valeurs des A, les valeurs des o qui répondent au nouveau point de départ et qui sont fournies parle Tableau ci-dessus.
Pour .7; =1,3, on a, d'après ce Tableau,
Les nouvelles valeurs à employer pour les différences 0 seront donc (le o2 qui précède celui indiqué étant 0,078),
oj = — 0,018909, o-j' = 0,000786, 0*/ = 0,000006. On pourra ainsi former ce troisième Tableau :
o,o4'Jt637
La première racine positive tombe, par suite, entre i,35 et i,36, et est déterminée à 0,01 près; etc.
Équations de degrés supérieurs.
14-61. Le procédé que nous avons suivi relativement aux équations du troisième degré, pour déduire, des premières différences obtenues dans chaque cas particulier, celles qui correspondent à une raison dix fois moindre, s'applique moins commodément aux équations de degré supérieur. Nous indi-
()()8 ALGÈBRE SL'PKKIEUnE.
queroiis donc ici un moyen plus c\[)édilir de |)arvenii au résullal cherché, lorsqu'on dépasse le troisième degré.
Supposons qu'on veuille résoudre parles différences l'équation du quatrième degré
Nous aiirons (li'+9)
On peut, par suite, en parlant des deux valeurs jo^^/C-^o) ei.ri=/(j:-o+/0. poser [Ajo = 7i — 7o]
j'i ^ j)'o -i- ah -\- bh- -+- ch^ 4- dli*.
Les coefficients a, b, c, sont inconnus; mais le coefficient cl de A* n'est autre chose (324) que le coefficient de x'* dans l'équalion (i).
Pour passer de ji à Vg ou à j'3 (c'est-à-dire du résultat qui correspond à Xq-\- h à celui qui correspond à a:Q-\--2h ou à ,rQ-\- 3h), il suffît de remplacer dans la valeur de ji l'accroissement Il par 2/1 ou par 3//. Nous aurons ainsi
ro^^Vo-i- 2«/< -f-46/i-+ 8c/i^-+- i6d/i'', T's =^'9-1- oa/i -+- gbh^ -+- 2~c/i^ + 81 d/i'*.
Des trois relations qu'on vient d'écrire, on tire, d'après la formule fondamentale (D) (1446),
/ Avo = «A H- bh--^ cli^ + dh\ ( 2 ) < A- }'(, =: y. 2 — 2 j'i + >o = 2 ^>/i - -t- 6 f A'^ H- 1 '1 r/A ', ( A^jo = 73— ^/2+ 3)-i— vo— 6cA^H- i6dh'\
On a en même temps (1450)
Ayant calculé directement A}», A-Vo, A\)-o» les trois équations (2) serviront d'ahord à déterminer les trois inconnues a, I), c, de la manière la plus simple; car, d étant le coefficient de x' dans l'équation (i), la troisième des équations (2) don-
nera c, la seconde fournira alors la valeur de b et. la première, celle de a.
Cela fait, les formules ci-dessus, qui sont complètement générales, permettront de passer aux nouvelles différences o, qu'on doit employer quand la raison h devient dix fois moindre. En remplaçant le symbole A par le symbole o et — par h' , on aura donc finalement :
oy^= ah' -t- bh'--^ ch"-^dh"^, 0-/0= '2.bh'--r- 6c/i'^ -^ l4dh'% è^fo= 6ch'^^36dh"', o*yQ = '2\dh''\
1462. On opérerait d'une manière identique au delà du quatrième degré.
Pour le cinquième degré, en parlant de la relation
ji ^ Vo -h ah -h bh- -f- ch^ -:- dh'* + gh'^,
où g n'est autre chose que le coefficient de x'' dans l'équation proposée, on aura d'abord
y, =r j'o4- 2a/i -h \bh--+- Sch^-T- i&dh* -+- Zigh'', J3 rzz jo H- 3 aA -h o,bh^ -^ 1- ch^ -^ %\dh'*-\- i\'^g1v', y\ = jo-h 4«/i -r- iÇ)bh- ^ Ç)\ch^ 4- 256âfA*4- iO'2!\gh^.
On en déduira
A ip ^ ah -h bh- -h ch^ -h dh'* -h gh^, A-jd =/£ — 3 y, -f- ro=2 6/t^H- 6cA'-i- i4 6?A*+ iogh^, A^jyo =/3 — 3 )'2 -r- 3j'i — l'o ^= 6cA^ -h 36c^A*-i- i5o^A^, ^Vo =7i — IVs -^ 6/2 — 4 r, — /o = 24d/A* -F 2^ogh\
On a en même temps
A^ jo ^ 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . gh^ ^= 1 2ogh'\
Ayant calculé directement les différences A, elles permettront de déterminer facilement et par ordre les inconnues d,
c, b, a. Cela fait, et la raison A devenant A'= — , on ob-
(yjO ALGÈBRE SUPER lEUTVK.
liendra les nouvelles différences o par les formules j ô jo = <7//' -f- bh'- -h c/i'-^ — d/i' -r- ^'h''%
(A") < d'yo = ^ch''+36dh"^i'jogh'%
Exemple.
1463. Soit l'équation [y z= f{x) = o] (i) S.r* — ^ox^^^5~x- — 4o-^-!-4<J = o.
Son premier membre présente quatre variations. Elle a donc quatre racines positives, ou deux, ou aucune (12ii). Elle ne peut avoir aucune racine négative (131b), et l'on voit facilement (130i) que 5 est une limite supérieure de ses racines positives.
L'équation dérivée est, en divisant les deux memiircs par i,
(2) i6.r3 — 6oj7'-i-57JC — 20 = 0.
On réduira dabord le coefficient du premier terme à lunité, en posant (10o7, 1060) 3 = 160-. On fera disparaître le second terme delà transformée en z obtenue,
z^ — 60 3- -t- 9123 — 5iao = 0.
en posant (1064) z = u -h 20, et l'on aura, comme iransformce en ^^,
u^ — liSu — 2280 = o.
Cette transformée n'a (I:24o) qu'une seule racine réelle, positive. Il en est donc de même de l'équation dérivée (2). 11 en résulte que l'équation donnée (i) ne peut pas avoir quatre racines positives (1242). Elle en a donc deux au plus, qu'il s'agit de déterminer.
Nous commencerons par former le Tableau des substitutions entières :
ALGEBRE SUPERIEURE,
Comme la fonclion ne présente dans ce Tableau aucun changement de signe, les racines positives, si elles existent, tombent entre deux entiers consécutifs.
Si l'on esquisse, à une échelle convenable, la courbe représentative de la fonction {fig. 74), à l'aide des valeurs inscrites au Tableau, en
Fiff. 74-
prenant, pour plus de commodité, une unité cinq fois plus petite pour les ordonnées, on voit immédiatement que c'est, probablement, entre les entiers 2 et 3.
C'est donc cet intervalle qu'on partagera en dix parties égales.
On a ici, d'après le nouveau point de départ,
A' 0 = 'h ^-?'o = 274, A^jo = 4^2, Aijo = 192.
Comme on a // = i et cl = 8, on a d'abord à résoudre les équations
274 — 2Z)-t-6r-t-ii-2, 432 = 6c-H 288,
qui donnent immédiatement
Les équations (A') [1461], où l'on doit faire h' = 0,1, conduisent ensuite aux valeurs
ojo = — 3,4852; 0-^0 = 0.3352; o3 )o = 0,1728 ; 0^0 = 0,0192.
Ces résultats permettent d'établir ce second Tableau, où, pour plus de rapidité, nous laisserons de côté la virgule dans les différences.
ALGEBRE SUPERIEURE.
5 , oooo
— oiaoo
— io3o8
— -,25oo
)• change de signe, quand .r passe de 2,1 à 2,2 et de 2,8 à 2,9. L'équation proposée a donc deux racines positives, l'une comprise entre 2,1 et 2,2, l'autre entre 2,8 et 2,9. Ces racines sont séparées et déterminées à o,r près. On pourra en approcher davantage en renouvelant la même opération.
Construction de Tables numériques.
liG'i.. Nous terminerons ce Chapitre en faisant remarquer l'utilité de la théorie des différences, pour la construction des Tables numériques de toute espèce.
Il arrive très souvent, en effet, que, lorsque l'on considère des nombres dont la formation est assujettie à une loi régulière et qui se succèdent d'une manière suffisamment rapprochée, les différences correspondantes tendent à devenir constantes à mesure que leur ordre s'élève. On peut, dans ce cas, en négligeant les quantités qui n'inlluent pas sur le degré d'approximation demandé (et en concordance avec la méthode infinitésimale), regarder les différences d'un certain ordre comme invariables dans un intervalle plus ou moins étendu; ce qui donne la possibilité de calculer les valeurs de la fonction dans le même intervalle, comme si elle était devenue une fonction entière (1451).
Nous allons appliquer ces indications à un exemple bien connu.
li6o. Soit la fonction
Il =- logx.
Nous aurons (14i8)
à.u =z log(j7 -h h)— log^^rlog ( 1 H ;
Mais nous avons obtenu précédemment (G97) le développement
Il viendra donc, en posant ^, = - et en s'arrétant au Iroisième terme du second membre,
(,) â„ = log(, + ^)=M(^-^,+J^j
° \ a;/ Vj; 2^- 3.3?''
Nous aurons ensuite, d'après la formule fondamentale (D) (ikh-d) et l'accroissement h restant constant (1148),
A'^// ^ log(j? -1- 2/i) — i\og{jc -+- h)-\- logjc
=z [log(.r -h ih)— loger]— 2 [log(.r -r- h)— \ogx'\
Pour obtenir log ( i-i- ^ j, il suffira de remplacer h par
ih dans la valeur de A;/. On trouvera, par suite, en substituant et en simplifiant,
(2) A^„^Mp,-4-
En continuant de même,
= log(.r -h 3 A) — 3 log (j7 -h 2 /«) -+- 3 log (j: -h h)~ log j7
= [log(j:4-3/0— logx]— 3[log(.r+2//)— loga']-T-3[log(.r+/0 — log^zr]
De C. — Cours. IV. 43
Ci- \ ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
On obtiendra log ( i h ] en mellanl 3 A à la place de A
dans la valenr de Au. On ania donc finalement, en sub;tiluanl et en simplifiant,
On a d'ailleurs, pour le modale relatif ^\ (50G, 700),
M =: loge=: 0,4342944819032.51 ....
Si l'on prend [)0ur point de dépari >x- = 10000 et/< — 1. on trouve alors
\io* 2. lo* 3. jo'- / -T -^ / /
A- « = — M — : n; -^ • ■ • =-" — o , oooooooo43420-6
\io^ jo'- /
vio'- '
D'après ces valeurs, on voit qu'il est permis, si l'on ne veut obtenirles logarithmes des nombres entiers à partir de loooo c|u'«rec dix décimales exactea, de négliger, pendant un long intervalle, les différences du quatrième ordre en regardant celles du troisième ordre comme invariables (liSl). On formera donc, suivant la règle connue (lii'i-),les différentes lignes horizontales du Tableau, la première étant complète et commençant par 4, logarithme de loooo. On aura ainsi, dans la première colonne verticale, les logarithmes des nombres consécutifs loooi, 10002, iooo3, ....
On fera les calculs ai-ec quinze décimales, en raison de l'accumulation des quantités négligées qui doivent finir par inlluer sur le dernier chitïre décimal qu'on veut conserver, c'est-à-dire sur celui du dixième ordre. Il faudra donc, de dislance en dislance, /a^re la preuve des calculs effectués ou comparer les résultats obtenus avec les logarithmes des mêmes nombres, trouvés directement. Tant qu'il n'y aura pas, de part et d'autre, de désaccord dans les dix premiers chiffres décimaux, on contiuera sans changement; mais, dès que le dixième chiffre décimal fourni par les différences cessera
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. (jyO
(l'être exact, il sera nécessaire de modifier le point de départ. En d'autres termes, on calculera de nouveau, à l'aide des formules ci-dessus, les différences A«, l'i/, A*«, relatives au dernier nombre auquel il aura fallu s'arrêter, et l'on s'en servira pour constituer un second Tableau qui renfermera les logarithmes des nombres entiers suivants.
