CHAPITRE II

DE L'INTERPOLATIOK

Définitions et observations préliminaires.

1466. D'une manière générale, V Interpolation consiste à insérer, entre les termes d'une suite donnée, de nouveaux termes assujettis à la même loi avec une autre échelle. Par exemple, quand on insère, entre les termes consécutifs d'une progression par différence ou par quotient, un même nombre de moyens {Alg. élém., 327, 338), on résout un problème d'interpolation.

Dans ce cas, la loi de succession des termes est connue et très facile à appliquer aux termes intermédiaires que l'on cherche. Mais, le plus souvent, c'est l'expérience qui a fourni des nombres dont la loi de succession reste alors inaperçue, et ce n'est qu' approximativement que l'on peut calculer, à défaut d'expériences directes, les nombres intermédiaires. On y parvient à l'aide de la théorie des différences, en imposant aux termes inconnus la condition que leurs différences soient nulles à partir d'un certain ordre ou constantes à partir de l'ordre précédent. Par l'introduction de cette condition, l'indétermination est levée.

C'est ainsi que, pour pouvoir calculer les logarithmes des nombres non inscrits dans la Table, on admet qu'il y sl proportionnalité entre les petits accroissements des nombres et les accroissements correspondants des logarithmes {Alg. élém., 364). Dans cette hypothèse, à des accroissements égaux des nombres répondent des accroissements égaux des logarithmes, c'est-à-dire que les différences premières des logarithmes sont supposées constantes ou que leurs différences secondes sont supposées nulles. L'examen de la partie élevée d'une Table de

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 67'y

l(tL;arithmes {Alg.élém., 369) justifie d'ailleurs la proporlioniialilé adoptée, eu égard au degré d'approximation consenti.

1467. D'une manière plus précise, l'interpolation a pour but ^'exprimer une fonction d'une variable (exactement ou approximativement), lorsqu'on connaît les valeurs de la fonction qui répondent à un certain nombre de valeurs données de la variable, afin de pouvoir ensuite facilement trouver les valeurs intermédiaires de la fonction pour des valeurs intermédiaires de la variable.

Il est clair que le problème demeure indéterminé, tant que la forme ou la nature de la fonction cherchée n'est pas fixée. Il existe, en effet, une infinité de fonctions qui peuvent, pour les valeurs données de la variable, présenter les mêmes valeurs que la fonction inconnue ou se confondre avec elle, en s'en écartant plus ou moins dans les intervalles limités par les valeurs communes.

C'est ce qu'un tracé graphique {Jig. 75) met complètement

Fig.

^^-"Zx^

en évidence. Si l'on porte en abscisses les valeurs de la variable et, en ordonnées, les valeurs correspondantes de la fonction, on peut réunir les différents points ainsi obtenus par une infinité de courbes qui, toutes, satisferont aux conditions imposées ou qui, toutes, représenteront aussi bien la fonction cherchée si l'on s'en tient aux seules données numériques de la question. (Il est entendu d'ailleurs, au point de vue physique, que la continuité qu'on observe, en général, dans les phénomènes naturels, conduira à choisir, entre toutes les courbes possibles, celle qui offre le moins de sinuosités ou celle qui, dans la région considérée, se rapproche davantage de la marche indiquée d'une manière générale par l'ensemble des points construits.)

Pour que le problème énoncé devienne délerniiné, il (aul donc (|ue la fonction chercliée soit donnée de forme et (|u'elle renferme autant de paramètres distincts qu'on connaît de valeurs de la fonction. On aura alors autant d'équations do condition que de coefficients inconnus, et l'on pourra trouver la fonction cherchée, exactement ou approximativement.

Nous établirons d'abord la formule d'interpolation de Newton, qui suppose équidistantes les valeurs données de la variable.

Formule d'interpolation de Newton.

1468. Considérons la formule fondamentale (N) [1447], en l'écrivant comme il suit :

n . n in — i ) . , n (n — i ) (n — 2) . ,

-+- r, i* Uq-

On connaît n + 1 valeurs de la variable x, en progression par différence de raison h, désignées par

ainsi que les n + 1 valeurs correspondantes de la fonction «, désignées par

[Puisqu'on donne seulement «+i valeurs de la fonction u qu'il s'agit de trouver, elle ne doit pas contenir plus de n 4- i paramètres distincts (1467), et il est sous-entendu que ses i différences d'ordre n -h i doivent être nulles (1466).] Posons a'n=iXQ-\- nh. Nous en déduirons

et, en substituant celte valeur de // dans la relation fonda- i mentale, il viendra

X ,1 Xq\ IX„ X<^ \ IX„ Xfji \ ( X„ Xf)

Remplaçons maintenant, dans le second membre de celte égalité, ccn par la variable x. Nous formerons ainsi une fonction/(a-), qui aura pour expression

^(^).. , -^ -.....,- -^ow- -^0 .^A^«o

C'est iîi formule d'interpolation de Newton.

Il est facile de montrer que cette fonction/(.r) répond aux conditions imposées et peut représenter la fonction cherchée a.

En effet, substituons à la variable x, dans l'équation (i), la valeur intermédiaire ^Tq -+-/>/< [/;»<«]. 11 viendra, puisque

X =z Xq — ph donne — ~^^p,

\f{^o-t- ph ) = «0 -4- p A»,, ~ ^^ ^^ A- »o -H • • •

Tous les autres termes du second membre disparaissent, à partir du terme de rang /? + a, comme contenant le facteur p — p ou zéro parmi les facteurs de leur numérateur. Le second membre de l'équation (2) est d'ailleurs l'expression même de 11^,.

Par suite, f{x) qui, d'après l'équation (i), se réduit à «0 pour JT = a'o [ou pour/? = o] et à u„ pour x^=Xn [ou pour p = n], devient «1, 11.2, «3, . . . , «„i, pour/? = i, 2, 3, . . ., n — i. On voit de plus que f{x) est un polynôme en x de degré n (puisque son dernier terme renferme n facteurs du premier degré en x), dont la différence d'ordre n est constante (lioO). Le problème est, par conséquent, résolu dans les conditions indiquées comme nécessaires.

D'ailleurs, la fonction /{x) est le seul polynôme en x qui puisse, dans ces conditions, répondre à la question ; car, supposons qu'il en existe un second, o{x). Puisque les différences d'ordre n -h i doivent être nulles, le degré de o{x) ne peut dépasser /i. En outre, o{x) prend, par hypothèse, les mêmes valeurs que/(.r) pour les n -f- i valeurs données de

"OO ALGÈBRE SUPÉIUEURE.

la variable, il en résuite que i'équation o{jc) — /{^) — o, au plus de degré n, admet n -+- 1 racines et se réduit à une identité (1023). On a donc o{x)=/{x).

1469. L'avantage de la formule de Newton, dans le cas où elle n'est qu'approchée, c'est que cette formule renferme les dilierences successives qu'on déduit des valeurs données de la fonction clierctiée. Ces différences diminuant, en général, très rapidement, on peut alors, dans la pratique, ne conserver ([ue les premiers termes du second membre, en négligeant tous ceux qui n'influent pas sur le degré d'approximation adopté,

liTO. Pour simplifier l'écriture, on pose souvent

h ~ ' et la formule de Newton devient

Supposons A- très petit. Si l'on ne tient compte alors que de la différence première (supposée constante), on a

U = «0 -H ^ A«o ou — T = ^ zr:

L'accroissement de la fonction est supposé dans ce cas proportionnel à l'accroissement de la variable. C'est ainsi qu'on opère, comme nous l'avons déjà rappelé, lorsqu'on cherche les logarithmes des nombres ou des rapports trigonométriques non inscrits dans les Tables.

Supposons A^ très petit. Si l'on ne tient compte que des deux premières différences, en regardant A- comme une constante, il vient

relation très usuelle; etc.

Quand /? = i , z devient j: — ji\ et représente directement

ALGEBRE SUPERIEURE.

l'accroissement donné à la variable à partir de la valeur qui sert de point de départ.

1471. C'est dans le petit Traité intitulé : Methodus differentialis..., publié en 1711 avec le consentement de Newton, que se trouve l'exposé de sa méthode d'interpolation :

ce Newton regarde les termes donnés comme autant d'ordonnées d'une courbe de genre parabolique (1030), et il cherche l'équation d'une courbe de cette espèce qui passerait par tous les points donnés. Ayant cette équation, on a évidemment la loi de toute la courbe, et par conséquent la valeur de toutes les ordonnées intermédiaires, qui sont les termes à interpoler (*). »

Représentation exacte d'une fonction entière par la formule d'interpolation de Newton.

1472. La formule d'interpolation de Newton détermine ejcaclement toute fonction entière de œ, de degré m, dont on connaît m + 1 valeurs répondant à /« + 1 valeurs de la variable X en progression arithmétique. Il y a alors, en etîet, identité entre la fonction f{oc) fournie par la formule de Newton et la fonction inconnue, comme cela résulte de la remarque présentée à la fin du n° 1468. La fonction entière qu'on veut trouver a donc pour expression

On peut alors faire la remarque suivante, le point de départ «0 variant à volonté. Si les quantités u^^, Auq, A^w,, • • •» A'"«o, sont devenues toutes positives, et qu'on donne à x' une

valeur telle que le dernier facteur - — r— ^ — m -1- i soit nul ou

positif, la valeur de f{x) sera positive et ira toujours en croissant à mesure que x augmentera (1444). Par conséquent, a^Q-h {m — [)/i est une limite supérieure des racines positives de l'équation /( j?) = o.

( ' ) Lagrange, Sur les interpolations. OEuvres complètes, t. VII.

ALGÈBUE SUPÉRIEURE.

De mùnic, si, pour une certaine valeur de ^o> les quantités Uq, A«o, A-«o» • • » ''^'""o» sont alternativement positives et négatives, il est clair que, pour toute valeur de jr inférieure, fi-r) sera toujours positive ou toujours négative et ne pouria plus devenir nulle. Par conséquent, la valeur de ^o dont il s'agit est, à son tour, une limite inférieure des racines réelles de réquation/(^) z= o.

Applications.

1473. i" Troiwer la fonction entière du quatrième degré [j' =y"(,rj]. qui, pour les cinq valeurs — 2, — i. o, i, 2, de la variable, prend le; cinq valeurs 67, i4, 3, .{, ir.

On a ici .ro = — 2. Ii —i. cl l'on peut former le Tableau

Il suffit alors de substituer dans la formule de î^e^vton les valeurs }o = 67. A) 0 = — 53, A2jo = 42, A^jû =— 3o, A*jo = 24. On obtient ainsi j>- = f{x) = 67 — 53(x -+- 2) -t- 2i(.r -+- 2)(x -i- i)

c'est-à-dire

L'équation correspondante du quatrième degré n'a aucune racine négative, et il résulte du Tableau précédent [en prenant pour nouveau point de départ xq = o, et en remarquant que le facteur

de la formule générale devient alors .r — 3] que 3 est une limite supérieure de ses racines positives (1472).

li7i. 2" Calculer avec sept décimales le logarithme de sin i°i7'35". 7.

Prenons la Table de Schron, décrite précédemment (Trigo/i., 120). Nous regarderons les logarithmes contenus dans la Table trigonométrique comme les valeurs de la fonction j-, et les valeurs des arcs seront celles de .r.

La Table nous donnera immédiatement

i'q = logsini" ij'So" = 2,3529910, Ajo ^= 0.0009328, ^"j 0 = — 0,0000020, A^j Q = 0,0000001.

On a d'ailleurs

On aura, par suite ( 1470),

3A)o = o,ooo53i7,

= o,oooooo3

SS'llî.T.

On voit que, si l'on veut seulement sept décimales exactes, on peut négliger ce dernier terme, dont la valeur ne s'élève pas à six unités du neuvième ordre décimal. Il restera donc simplement (1470)

c'est-à-dire

r = log sini°i7'35",7 = 2,353523o.

Ce résultat concorde, comme on peut s'en assurer, avec celui fourni par la Table de logarithmes-sinus (où les arcs varient de seconde en seconde), placée au commencement des Tables trigonométriques de Callet.

Aire d'une courbe, formule de Thomas Simpson.

147ij. En exposant (7oo et suiv.) les premiers principes du Calcul intégral, nous avons vu que l'aire ACDB d'une courbe AB ( Jig. 76), rapportée aux axes rectangulaires O.r et Or et ayant pour équation v=/(.r), n'est autre chose, entre les limites o: = OC et x = OD, que l'intégrale définie

,1 Af

Pour arriver à l'évaluer ou à effectuer la quadrature correspondante (7o8). on peut avoir recours à la formule d'interpolation de Newton.

Kn rciiiplnrant la courbe AB par une parabole du «'"■"" depré ayant n points coiiunuiis avec elle, on substituera à /(.r) une fonction entière du «''■""' deyré (1^71, 1030), pour laquelle l'intégration deviendra facile

On peut aussi, comme nous allons l'expliquer, employer une suite de paraboles du second degré, en les substituant aux parties correspondantes de la courbe donnée ou de l'aire cherchée.

Faisons passer l'axe Oj par la première ordonnée de la courbe AB, dont l'aire sera alors AODB {Jîg. 77). Partageons la base OD — >r en un

Vn-i

yn-2

nombre pair de parties égales, et désignons par // l'une des divisions

-• Considérons maintenant les trois points A, wi, /«o, qui, sur la

courbe, correspondent aux trois premiers points de division 0,pi, p-y, de la base OD. Par ces trois points A, /nj, mz, qui ont des ordonnées équidistantes, on peut toujours faire passer une parabole du second degré ayant son axe parallèle ù Oj ('). L'équation de cette parabole sera de la forme (2)

j z= a -+- bx -r- ex-,

(') Voir l. V. — Voir aussi Traité dk Géométrie, par Eugène Rouché et Ch. de Goinberousse, n" 1178, 5" édition, Gaulhier-Villars, i883. (^) Lorsqu'une parabole est rapportée à son axe comme axe des x et à

ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Cl l'on aura, pour les trois

points considérés.

Jo = «,

V, = a ^ bh -^

cli\

^2 =^ a -^ ibh -\-

.\clr-.

[Il en résulte (14i2) Ajo = M -;- f//- ot A^ > 0 =r ar//^. de sorte que les trois constantes «, b, c, seront connues en fonction de // ot des ordonnées des points donnés.]

On a d'ailleurs (773) .2//

/ j- dx = I (a -h bx-hc.T^)dx = 'la/i ce qu'on peut encore écrire

j- dx = -(«-+- 4 « -I- 4 /-'/' -i- 4 c/i^ ^- a -\~ 1 b/i — ^ ch- ) = ô(Jo^-4Jl-^J■2).

On peut opérer de même pour les autres parties de la courbe AB, en tenant compte toutefois d'une remarque faite précédemment (Gebm., fin du n°264). Ces autres parties donneront, à leur tour, pour les aires correspondantes, en introduisant chaque fois trois ordonnées consécutives.

3(^-4 ^4j5 ^Jg),

3 0'«-2+4j«-i-î-j«) ou, en faisant la somme de tous les résultats obtenus, reAODB= ^[fo-^yn-^ 2(/2-^j4-f-. • .-^j«-2) -^ 4(ji+j3-^-- • •+j«-i )J

la tangente au sommet comme axe des y, son équation est [Géom., 756] jK'= ^px ou .27 = A'JK^ Par suite, si l'on permute les axes, cette équation devient y = kx-. Si l'on déplace alors ces mêmes axes parallèlement à euxmêmes, il suffit de remplacera; par x -+- a. cl y par y + f>i d'où la forme indiquée.

C'est la formule de 'l'Iiomas Simpson (Ge'om., 203), qui donne une grande approximation lors(iue la valeur chnisio pour // est suffisamment petite.

Formule d'interpolation de La grange.

14-76. La formule (Vinterpolalion de L.4.gra>'GE (') suppose que les valeurs données à la variable x sont quelconques.

Cette formule est donc plus générale que celle de Newton, mais elle est moins commode à appliquer.

Il s'agit toujours (1407) de trouver, exactement ou approximativement, les valeurs d'une fonction u (que nous supposerons d'abord entière par rapport à x et de degré n) ou cette fonction elle-même, lorsqu'on connaît les n -^ i valeurs Uq, //,, //,, . . ., Un, qu'elle prend, pour /i -i- i valeurs quelconques Xi), .2-], x^, . . . , x,i, données à la variable x.

Posons, pour la fonction cherchée,

(i) uz=Ao^"-h A,^"-' + A,x«-2 + . . .-+-A„-iX-h\^.

(]ette relation doit être satisfaite par les n -+- 1 couples de valeurs {x„, Uo), {Xj, «]), (x2, «2)) • • -î i-^/n^n)- Ou a doiic

"0 — - A.0"^0 ~^ -"^l "^0 ~^-'^2'^o ""+"•• •+A,)i Xq -t- \„.

«1 = ko^'^ -\- AiX'l'^ -i- A.x'l;-'^ -+■ . . . + A/j-iJ:-! -f- A„, U,^::^ AoX',l-+- AiX',[ -h A^x'fl " 4- . . . + A„j O^^ + A,;.

Ces n 4- I équations de condition sont du premier degré par rapport aux « + 1 coefficients inconnus Aq, A,, A,. ..., A„. On n'aura donc qu'à en tirer ces coefficients et à substituer les résultats obtenus dans la valeur générale de la fonction u, pour que la question soit résolue. Mais la marche suivante, indiquée par Lagrange, est beaucoup plus rapide. D'après les formules générales relatives aux équations du premier degré (80), les coefficients inconnus contiennent les quantités u^), «1, U.2, . . . , u,i au premier degré. On peut donc écrire, en groupant les termes qui renferment ces quantités,

(2) u = iio"o+ [J-iUi^ n.Uo-\-. . .-\-p.,^u„,

(') Leçons de Mathématiques données à l'École A'orniale en 1790. Leçon cinquième.

ALGÈBRE SrPl':RIEURE. 68'y

/^O) l'^u 1^2) • • • ; [J-n étant des fonctions de .v et de jt^, ^j, j:,, .-., :r„ qui doivent, d'après le problème énoncé, satisfaire aux conditions ci-après.

Pour ^=:.ro, il faut qu'on ait ?< = Uq : ce qui exige que fXo se réduise à l'unité, et que ;j.i, ,U;, . . ., /jl„ deviennent nulles (puisque les quantités Uq, iti, iu ;/„ n'ont entre elles aucune relation oljligée);

Pour x^ jTi, il faut qu'on ait u = //, : ce qui exige que \i\ se réduise à l'unité, et que fx,,, u.^, . . ., |j.„ deviennent nulles;

Pour X =z Xn, il faut qu'on ait // = //„ : ce qui exige que |x„ se réduise à l'unité, et que ;j.o, [j-i, . . ., ;j.,j, deviennent nulles. D'après cela, prenons la fonction ao- Elle doit être nulle pour j^=:^i, x,, ^3, ..., Xn-, et son degré ne peut pas dépasser II. On peut donc poser

De plus, Uo devant se réduire à l'unité pour x = x^, on en déduil

Par suite,

\Xq X^ ) \Xfj X^ ) • • • (-^O •^H )

(3n trouvera, de la même manière,

{x — X^){X — X^) . . .{x — Xn)

(•^■« — ^û) (-^'J '■^ij • • • (-^re ■^« — 1 )

En portant ces valeurs dans l'expression (2) de «, on a la formule d'interpolation de Lagrange, qui est

ix — x,){x — xA. . .{x — x„)

[ÛC Xf^ ) {'^ •^2) • • • \^ ^n I

{Xi — ^0) ('•*'l — ^'2 } • • •{■^1 -^n )

{x — Xo){x — Xi). . .{x — X„i) {X/i — cï;qJ(jJ7;i ^l) • ■ •{ ■^11 ^ n— 1 )

Comme on l'a déjà fait remarquer (1VG8), toute autre fonc tion (lu «'^'"'' degré remplissant les mêmes conditions se confond avec celle qu'on vient d'obtenir.

Il est donc évident que, si les valeurs de x sont en pmgression arithmétique, la formule de Lagrange reproduit iden liquement celle de Newton. On peut le vérilier faciiemen!. (Ml appliquant l'algorithme de Lagrange à la question du n' li73.

Ii77. La démonstration précédente prouve d'elle-même que le problème de l'interpolation est complètement indéterminé. Car, si l'on n'exigeait pas que la fonction inconnue fût entière, on pourrait soumettre les diflerences x — x^, x — x^, X — j?2j ■ • --iX — Xn à tels signes coinenablement choisis qu'on voudrait.

On pourrait poser, par exemple,

sin(.r — .^i) sin(j" — x^). . . sin(^ — x„)

' ' sin {Xq — ^1 ) sin ( j"o — ■^2)- • • sin(j;o — -£«)

sans cesser de remplir les conditions du problème, mais eu obtenant une fonction bien dilïérenle de celle qu'on vient de trouver.

ALGÈBUE SUPÉRIEURE. 68q