NOTIONS SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS TRANSCENDANTES
Observations préliminaires.
1478. Toutes les fonctions qui ne sont pas algébriques (1393) sont transcendantes. Lorsque le premier membre d'une équation (le second étant supposé égal à zéro) renferme des fonctions transcendantes, l'équation est elle-même transcendante.
Nous ne considérerons que des équations transcendantes à une seule variable ou à une seule inconnue. Le premier membre de l'équation renfermera alors une fonction exponentielle ou logarithmique, une fonction circulaire directe ou inverse, une fonction hyperbolique, ou plusieurs de ces mêmes fonctions rapportées à l'inconnue.
Ii79. Lorsque l'équation donnée ne renferme que des rapports Irigonométriques, on peut, dans certains cas, la résoudre comme une équation algébrique (sauf la discussion des valeurs obtenues).
Par exemple, si le premier membre de l'équation peut être exprimé rationnellement en fonction du sinus et du cosinus de l'arc inconnu a-, on remplacera cosj? et sin.^: par les valeurs (1289)
OC ce
I — tang-— 2 tang —
et —
OC oc
I H- tang- - I + tang^ -
JC
et l'équation deviendra algébrique par rapport à tang - prise pour inconnue.
Dr C. — Cours. IV. !x\
De même, si réqualion est homogène et de déféré m relalivemenl à sinx et à cos.r, on la transformera en une é(|uation algébrique où l'inconnue sera langx, en divisant les deux membres de l'équation par cos"'j:'.
Habituellement, quand l'équation Iranscendanle renferme plusieurs rapports Irigonométriques d'un môme arc inconnu, on exprime ces rapports en fonction d'un seul d'entre eux.
1480. Si l'on a des Tables numériques pour la fonction transcendante T qui entre dans l'équation proposée, il est clair qu'on résoudra simplement cette équation à l'aide des Tables, toutes les fois qu'on pourra la ramener à la forme
T = const.
Nous en avons déjà donné des exemples (.1/^. élém.. 374, 375).
1481. Il est d'ailleurs impossible d'exposer, pour les équations transcendantes, une méthode de résolution uniforme et certaine. Il n'y a plus de types réguliers comme dans les équations algébriques, plus de degré qui puisse guider. Le théorème de Descartes n'est plus applicable, non plus que celui de Sturm. Chaque équation transcendante exige, pour ainsi dire, un examen spécial, lorsqu'on veut reconnaître si elle a un nombre fini de racines réelles ou si elle en admet une infinité.
Lorsque la nature de la question montre qu'une seule solution, renfermée entre certaines limites, est admissible, on peut, au surplus, ne s'occuper que de la détermination de la racine correspondante.
1482. Tous les procédés indiqués précédemment pour résoudre les équations algébriques (dans le cas des racines incommensurables) reposent directement sur la continuité de la fonction et de ses dérivées successives, jusqu'à un certain ordre. Ces procédés peuvent donc être mis en œuvre, sauf les modifications nécessaires, lorsque la fonction transcendante qui constitue le premier membre de l'équation donnée peut être regardée elle-même comme continue, ainsi que ses dérivées, au moins dans un certain intervalle.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. Gq l
Nous énoncerons, par conséquent, les propositions ou les remarques suivantes :
1° Lorsque deux nombres substitués à la place de l'inconnue donneront, dans l'intervalle oii le premier membre de l'équation considérée varie d'une manière continue, des résultats de signes contraires, il existera entre ces nombres une ou plusieurs racines de l'équation proposée : lorsqu'il n'y aura aucune racine de l'équation entre les deux nombres substitués. les résultats obtenus seront de même signe.
2° Le théorème de Rolle subsiste pour les équations transcendantes, et l'étude de leur équation dérivée peut aider à la séparation de leurs racines réelles.
3° Une fois les racines réelles séparées, on peut en approcher davantage par de nouvelles substitutions.
4° La méthode de Newton et de Fourier est applicable aux équations transcendantes, de sorte qu'on pourra y avoir- recours dès que les racines qu'on doit calculer seront obtenues avec un certain degré d' approximation .
5^ L'emploi de courbes représentatives déjà connues ou faciles à construire ne devra pas être négligé, et conduira, dans certains cas. très rapidement au résultat cherché, avec une prem ière approximation .
Application de la théorie des différences à la résolution des équations transcendantes.
Ii83. On opère alors absolument comme pour les équations algébriques, et il n'y a de changemeut q(U' dans le détail des calculs.
On substitue dans l'équation proposée, à la place de l'inconnue X, des nombres équidistants. Lorsque deux substitutions consécutives donnent des résultats de signes contraires, on en conclut (14-82) qu'elles comprennent une racine de l'équation. On substitue alors, dans l'intervalle de ces deux substitutions, des nombres équidistants plus resserrés, de manière à renfermer la racine entre deux limites plus étroites. On forme alors, comme précédemment (liVS) et pour l'intervalle considéré, le Tableau des différences successives du premier membre de l'équation.
Si l'on reconnaît que les différences d'un certain ordre sont
négligeables, on peut assimiler, sans erreur sensible, dans l'inlervaile qu'on étudie, le premier membre de l'équation à une fonction algébrique d'un degré moindre d'une unité, et toute difficulté disparaît.
Par exemple, si les différences troisièmes sont très petites, on a à former et à traiter une é(|uation du second degré; si ce sont les différences secondes, l'équation donnée est ramenée à une équation du premier degré.
Quelques exemples vont nous permettre de préciser la marche à suivre.
Problèmes et exemples.
148i. 1° P(ir un point A pris sur une circonférence de cercle ( fig. 78 ), mener une corde AB qui détermine un segment A/«B éqna'olent au quart de l'aire de cercle.
Fig. ■;«.
Tout revient à trouver l'angle AOB et, par conséquent, on peut supposer le rayon de la circonférence donnée égal à l'unité. Soit z l'arc A/wB. On doit avoir (Gr'om., 262)
segm.AmB = -(3 — sinz) :^ 7
= sin:
Posons, pour simplifier,
Nous aurons à la fois ( Trigon., 32) .r = sins et z — - —
sm z = cos JT.
L'équation du problème est donc
( I ) a- = cos.r ou r — cosr = o,
et la question est ramenée à tromper (dans la circonférence de rayon i) l'arc dont la longueur ev/ égale à celle de son cosinus (• ).
La dérivée du premier membre de Téqualion est la quantité toujours positive
de sorte que la fonction .r — cosx croît constamment (722). Lorsque x varie de o à -, la fonction croît de — [à - en traversant zéro. L'é-
■JL 2
quation proposée a donc une racine réelle et une seule, comprise entre les limites o et -•
En examinant la Table placée à la fin de ce Volume, qui donne, de degré en degré, les arcs et les lignes trigonomélriques naturelles exprimées en parties décimales du rayon pris pour unité, on s'assure immédiatement que l'arc cherché est nécessairement compris entre 4'-*" et .^i". On a, en effet,
arc42''= o,733o4, cos42"= 0,7431 j, arc43" = 0,75049. cos43" = o ,73i35.
C'est donc bien dans l'intervalle de i?" à ^3° que la fonction ,r — cos.r change do signe (en passant du négatif au positif), en traversant zéro. Nous allons, par conséquent, en posant
?< = .r — cos.r.
chercher les valeurs de u pour les arcs ^1°. 42°, 4'^", 44"- en nous servant de la même Table. Nous pourrons ainsi former le Tableau suivant.
IK
En regardant la différence seconde comme constante, on assimilera la fonction considérée à une fonction algébrique du second degré, c'està-dire qu'on posera ( 1470)
