A-MO ~ O
(') EuLER, Introduction à l' Analyse infinitésimale, Livre II. — Traduction de J.-B. Labey, 1797.
694 ALGÈUIVE SUl'KlUKUnE.
On a ici // = 1°, c'csl-à-dire c — x — xq (on degrés), .ro correspondant à ^f". En prenant x — xo pour Inconnue, on aura à résoudre l'cquation du second degré
o , 000 1 1 (.î; — Xo)( X — Xq — I ) + o , oig?. i{x — Xq) — o , o 1 o i o — o
ou, en multipliant les deux membres par 10'',
I i(,r — .ro)-+ ■^,9i3(jr — .ro) — 10 10 = o.
On a. par suite, en ne prenant que la racine positive,
X ~ Xo= ■ ^^-=^^ = o , 3463 = 20 46 , 68.
c'est-à-dire
EiLER trouve, par la règle de fausse positimi {Ariihin., i43) et en calculant à sept décimales,
Notre solution comporte donc une erreur y:»*?/' défaut de o",55 ou d'une demi-seconde environ.
En revenant au problème direct, on a, pour Tare cherché,
et la corde qui sous-tendra ce dernier arc sous-tendra (sauf l'erreur indiquée) un segment équivalent au quart du cercle. Si l'on mène un diamètre parallèle à cette corde, elle divisera donc en deux parties équivalentes le demi-cercle correspondant.
Une construction graphique pourrait intervenir ici efficacement i>our fournir une première approximation. L'équation
.f — COS.'' = o
étant le résultat de l'élimination dey entre les deux équations
j- = X et j = cos.r,
il suffira (fig. 79) de construire la droite j = .r, qui est la bissectrice de l'angle jOx, et la cosim/wïde r = cosj: {Trigon., 21). Il est clair que la droite OC et la courbe BID ont un point commun et un seul; ce qui prouve l'existence d'une seule racine réelle. En mesurant ensuite avec beaucoup de soin, à l'échelle adoptée, l'abscisse OP du point d'intersection M obtenu, on aura la valeur de la racine avec une première approximation de 0,01 environ.
L'arc auxiliaire étant égal, d'après notre solution, à 0,73907 (') et,
(') Voir la Table I, à la fin du t. Il de ce Cours.
plus exactement, d'après celle d'EuIer, à o 7890847, la coiislruction graphique pourra donner 0,74.
1483. 1" Diviser par une corde un cercle en moyenne et c.i trente raison { ' ).
Le plus grand des deux segments déterminés par la corde inconnue doîl être moyenne proportionnelle entre le cercle entier et le plus petit segment. Nous allons chercher l'arc qui correspond à ce plus petit segment, en supposant (ce qui ne modifie pas le résultat demandé; que le rayon du cercle donné est égal à l'unité.
Lorsqu'on divise une quantité quelconque en moyenne el extrême raison, la plus petite partie de cette quantité en est une fraction mar-
Fig. 80.
quee par
(Ge'om., 190j. On doit donc avoir (/"«•. 80), si AB est
la corde inconnue,
sesmAwB =
Soit a l'arc qui répond à l'angle AOB. On aura également (Ge'om., :2G2
segmAwB = -( j^ — sin.r).
(') Question proposée au Concours d'admission à 1" École Polytechnique, en l'^og.
(igG ALGÈBnE supérieure.
IA''([ii;ili()ii du problème est donc
X — sin.r = (3 — \/j) -
ou, en remplaçant ^5 et - [lar leurs valeurs en décimales, ( I ) .r — sin.r — u , 3999632 = o.
Le premier membre a pour dérivée la quantité toujours positive
I — tos.r; il est donc constamment croissant. Pour x = - , il se réduit
à — 1,829666961, pour x = 7:, à H- 0,7416294- L'équation (i) admet, par
suite, une seule racine réelle comprise entre - et 7: ou entre 90" et 180".
mais beaucoup plus près de cette dernière valeur.
Nous sommes alors conduit à faire varier d'abord .r, de 10° en 10". e/i remontant. En se servant toujours de la Table placée à la fin de ce Volume et en représentant par u le premier membre de l'équation (i), on trouve les valeurs suivantes
La racine cherchée tombe, par conséquent, entre 160'' et i5o°, mais beaucoup plus près de 160". Nous ferons alors varier .r, de degré en degré, toujours en remontant. Nous aurons
La racine cherchée tombe finalement entre 158" et 159°, à peu près à égale distance de ces deux limites. Pour en approcher davantage, nous formerons le Tableau suivant, en faisant varier x de i5'en i5'. et en effectuant les calculs avec sept décimales à l'aide des grandes Tables. Nous serons seulement forcé de remonter aux nombres pour les logarithmes sinus.
— 0,0001 160 -+- o,oo83io6
0,0084126 0,0084197 0,0084266 o,oo84336
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6q~
On peut évidemment regarder A- comme une constante, et remplacer l'équation (d par cette équation du second degré (1470)
(2) Uo^ -■ \Uo- l-Uo= o,
OÙ l'on a
le point de départ étant j:o= iSS^So', d'après le Tableau ci-dessus. L'équation (2) est donc
o,ooooo35 z{z — I) -^ 0,0084266 :; — 0,0001 160 = o.
En multipliant ses deux membres par 10". elle devient
et l'on en déduit (en ne conservant que la racine positive)
Il en résulte
.r — .ro= o, 01377 X iï'= 12". 393.
La racine cherchée est, par suite,
et il est facile de s'assurer que, si Ton ne dépasse pas les millionièmes, elle transforme l'équation (i) en une identité.
On pourrait avoir recours à une construction graphique, comme dans le problème précédent.
1486. 3" Déterminer lea racines réelles de l'équation (\ ) .r^= 100 ou x^ — 100 = o,
considérée par Eller ( ').
Il sera plus commode, en prenant les logarithmes des deux membres, de la mettre sous la forme
xlogx = logioo = 2 ou
(i bis) f(-^) = .ï^logx — 2 = 0.
Nous devrons supposer dans celte équation x positif {909, 911 j. Les
(■■) Instit. Cale. diff. (Principes de Calcul diiïérentiel). t. II.
(HjS algèbre SL'PÉRIKURE.
deux premières dérivées de son premier membre sont (570, 58.j)
f'(.r) — log.r -i- -^-s — logjp ^. loge,
,/■ variant de o à -- x, la seconde dérivée esl toujours positive, cl la première dérivée varie de — x à — x. (i96), en étant constamment croissante. Elle ne traverse donc qu'une fois la valeur zéro, de sorte ipie Féqualion dérivée
log.r -r- loge — o
n'a qu'une seule racine réelle répondant à log.r par conséquent,
loge et qui est,
.lusqu'à celte racine, la première dérivée /'(.r) demeure négative, et le premier membre de réquation (i bis), allant toujours en diminuant ( lH) et commençant par être négatif [puisqu'on a a:\os,x = o pour x = o (717)], reste lur-nième négatif. Ce n'est donc qu'au delà de la valeur x = - que, /'(.r) devenant positive et le premier membre de
l'équation (i bis) croissant alors indéfiniment, ce premier membre peut lui-même devenir positif. Ainsi l'équation (i bis) ne peut avoir également qu'une seule racine réelle, qui sera plus grande que -• Une construction graphique très simple conduit au même résultat
Fi g. 8i.
y On peut mettre l'équation (i bis) sous la forme
log.r = - ,
ALGÈBRE SUPÉRIKURE. GqC)
et la regarder comme provenant de réliininalion de j entre les deux équations
:^=IogJ; et J» = ^•
La première équation représente une logarithmique (AMB) facile à construire (o09). La seconde, qui revient à .rr=2, représente une hyperbole e'quilatère (CMD, CD') ayant les axes coordonnés pour asymptotes [Alg. élém., 318; Ge'om., 7â7). En prenant, pour plus de commodité, une échelle moitié moindre pour les abscisses, on voit facilement que les deux courbes ne peuvent avoir qu'un seul point M commun (ce qui démontre l'existence d'une seule racine réelle), et l'on s'assure sans peine sur l'épure que l'abscisse de ce point d'intersection est comprise entre 3 et 4- La racine cherchée est donc comprise elle-même entre 3 et \.
L'équation (i) conduit au même résultat; car, si l'on pose
on a immédiatement les valeurs correspondantes
.r r^ 3, 11= — 73; jr=45 ?< = -î-i56.
Proposons-nous d'obtenir à o,oooooi près la racine que nous venons de séparer. Revenons à l'équation (i bis)
f{.v) = a: logj: — 2 = o,
et essayons d'abord les deux substitutions 3,5 et 3.6. Nous aurons
x = 3,5. logj" = 0,54 406804. ./(■^) = — 0,09676186, X = 3,6. log.r = G, 5563o25o. /(•^\) = -r- 0,00268900.
La racine cherchée tombe donc entre 3,5 et 3,6, mais beaucoup plus près de 3,6.
Essayons donc 3, 59 c/i remontant. Nous aurons
.^■=3,59, logx — 0,55509445, f(.c)= — ^ 0,00721 092.
La racine cherchée tombe donc entre 3,59 et 3, 60, plus près de cette dernière valeur.
Appliquons maintenant, pour arriver rapidement à l'approximation demandée, la méthode de Newton et de Fourier.
/(.r) et/"(.ï^) devant être de même signe (1345)^ nous devrons partir de la valeur par excès et prendre pour nouvelle valeur approchée
Cette nouvelle valeur approchée (toujours par excès) est donc 3,597285 18.
"jOO ALGEunr: sipérikukk.
La mélhodo dos parties proporlionnclles donne on même temps la valeur par défaut
3,r)o — o,oi r,n-', l rr-i ^ < = -^/^^^ "" 0,00271 Gl8,
c'est-à-dire
La moyenne arithmétique des deux résultats étant 3,59728465. ot leur demi-différence o,oooooo83, la valeur de la racine de l'équation donnée est à un millionième près, par excès ou par défaut,
[Comme on a/(3,597 285 ) = — 0,04 936 38 1, l'approximation indiquée a lien par défaut]. Eulkr trouve .r = 3,5972852.
1487. Trou¥er ions les arcs qui sont égaux à leur tangente ('). L'équation à résoudre est (1) .r = tangjc ou X — tang.r = o.
Cette équation se présente en Physique mathématique; elle peut aussi provenir de problèmes de Géométrie.
Une étude sommaire de l'équation peut être faite à l'aide d'une construction graphique très simple. L'équation (i) résulte de Télimination de,}- entre les deux équations
y = X et y = tangj:.
La première représente {fig. 82) la droite OB, bissectrice de l'angle des axes coordonnés; la seconde représente une tangentoîde.
Nous avons vu {Trigon., 28) que cette courbe est composée d'une
série illimitée de branches infinies, à droite ot ù gauche de l'origine. Ces
branches infinies . . . . C, D',, CD, CiD,, .... se succèdent en ayant pour
asymptotes communes, dans un sens ou dans l'autre, les parallèles à
Oj, menées par les points ..., H'i, H', H, Hj, ..., de l'axe 0.r qui ont
,. 5 7: 37: TtTroTrSTï
pour abscisses ...,—■ — , , , -, — -, — , •••• Les pomts
..., O'i, 0, Oi, ..., où les différentes branches coupent l'axe O.c, sont
à la fois des points d' inflexion et des centres.
Les points d'intersection de la droite OB avec la tangentoîde correspondent aux racines de l'équation (i), représentées par les abscisses de ces points d'intersection. Or la droite coupe évidemment toutes les branches de la courbe.
Par conséquent, l'équation proposée a une infinité de racines réelles.
(' ) EuLER, Introduction à V Analyse infinitésimale, Livre IL
ALGEBai-: SUPERIEURE.
[Sur la figure, les points d'intersection . . . , M', 0, M. .... correspondent
aux racines . . . , — OP', zéro, OP ] De plus, les points dintersec-
tion, tels que M' et l\l. sont x) métriques par rapport à l'origine 0, de sorte que les racines sont deux à deux égales et de signes contraires (comme le montre d'ailleurs l'équation donnée elle-même, qui ne change pas lorsqu'on remplace x par —x). On peut donc se borner à la recherche des racines positives.
Fig. 82.
Considérons maintenant directement l'équation (i).
Lorsque x est positif, il faut que tango: le soit aussi, pour que l'équation puisse être satisfaite. Les arcs .r qui sont racines ne peuvent, d'après cela, avoir leurs extrémités que dans les quadrants de rang impair (i, 3, 5. 7, . . ., in -f- i ), puisque la tangente n'est positive que dans ces quadrants [Trigon., 26), et leurs valeurs sont comprises.
d'uue manière générale, entre n- et ( « — - Ir, n étant un entier positif quelconque.
Les arcs dont les extrémités se succèdent dans un quadrant de rang
impair variant de mz à n- -^ -, tandis que leurs tangentes varient de
o à — 3c. il y a un instant et un seul où, dans chaque quadrant de rang impair, l'arc est égal à sa tangente. Ce qui prouve de nouveau que l'équation (i) admet une infinité de racines réelles positives et. par suite, de racines réelles négatives.
•J02 ALGÈBRE SUPI^RIEUnE.
La première racine positive, qui corrcsi)on(i au premier quadrant, est .r = o.
A mesure que le rang du quadrant considéra s'accroît, Vextre'mite de l'arc racine qui appartient à ce quadrant s'éloigne aussi de son origine. On peut le montrer comme il suit.
La w"'"* racine positive correspond au «""""quadrant de rang impair ou au (•>.« — i)''"* quadrant, et elle est égale à nr.-r-'x, l'arc a étant
toujours compris entre o et -• La (n -r- p )''""' racine positive est de môme égale à (n -i-p)~ -f- p, l'arc ^i étant toujours compris entre o ei — • Or on a à la fois,, puisqu'il s'agit de racines de l'équation (i) et d'après la période de la tangente (Trigon., 23 ),
tang(«--^a)= //--i-a = tanga. tang[(rt-^p)7r— 3] =(«—/?)-— 3 = langS.
Il est clair que (« -^ p)~ -+- 3 surpasse n- -r- a, puisque x et Ji sont tous deux inférieurs à - et que p est au moins é»al à i. On a donc toujours {Trigon., 22)
tang3>langx ou Jî > a.
Enfin, la fonction x — tangx- commence toujours par être positive, relatii'ement à chaque quadrant de rang impair, puisque l'on a
tang.r = o
pour [origine de ce quadrant. Quand la racine qui lui correspond est dépassée, le premier membre, x— tang.r, de l'équation (i) change de signe et sa valeur devient négative. Par conséquent, lorsque la racine est approchée par excès, la tangente surpasse l'arc; lorsque la racine est approchée par défaut, l'arc surpasse la tangente.
Après ces indications générales, proposons-nous de calculer la seconde racine positive, celle dont l'extrémité tombe dans le troisième quadrant, et posons ( I ) /( X ) = X — tang.r =; o.
La Table abrégée, placée à la fin de ce Volume, montre qu'on a en
même temps
arcaâyo^ arc77°-f- arc 180"= 4,48549,
lang257°= tangjj" =4,33f48,
arc258°= arcjB"-}- arc 180°= 4,50295,
tang258'' = tangyS" = 4 ,7o463.
On a donc arc 257° > tang257'', arc 258" < lang258", et la racine cherchée tombe entre 257° et 9.58°.
Pour resserrer ses limites, nous allons faire croître .r à partir de 257°. de 10' en 10'. [Pour calculer les arcs en parties du rayon, on peut se
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 'jO^
servir de la Table I placée à la fin du Tome II ; et, pour avoir les tangentes naturelles correspondantes, de la Table II placée à la suite, en diminuant les arcs de 180° ou en partant de 77°.] On trouve ainsi
^•=257° =4,48549, tang257° =4,33i48, f(.r ) = o, i54oi,
.r:= 257° 10'= 4,48840, tang257'' 10' = 4,38969, /(j:) = 0,09871,
,r = 257°2o'=: 4,49i3i, tang257''2o'= 4 ,44947, /(j:) = 0,04189,
,r = 257°3o' = 4 j494^2, tang2J7°3o'= 4)5io7i, /(j;) = — 0,01649.
La racine est comprise, par suite, entre 257° 20' et 257° 3o', et elle est beaucoup plus voisine de cette dernière limite.
Partons donc de 'i.5y°-2y', en faisant croître l'arc de minute en minute (1 ).
lang.r = 4,4921 j3 ]' ^
2 57° 28'= 4,493541 tangjr = 4,498323
La racine cherchée tombe donc entre 257^27' et 257''28', plus près de la première valeur. Pour en approcher davantage, on pourrait continuer de la même manière. On peut aussi employer, comme il suit, la méthode de Newton et de Fourier.
De /(■r) = .r— tang.r. on déduit (601, 56i)
f'{x) = I — (i -t- tang2.r) = — lang2 j-, f"{x) = — 2 tang.r(i -Jr tang-,rj.
Il faut que /(.r) et f"(.r) soient de même signe ( I3i5). Comme f"i .r ; reste négative, il faut partir de la valeur par excès
pour laquelle, d'après une remarque précédente, l'arc est plus petit que la tangente. On aura donc, pour le terme de correction (1315), en se reportant aux résultats précédents,
/(.r) .r — tang.r tang.r — .r
f'{x)'~ — tang2.r ~ tang-.r
o,oo^68>, „ ,
(') Nous devrons ici avoir recours aux Tables de Callel, el nous servir notamment de la Table de réduction qui précède celle des logarithmes des rapports trigoiiométriques, établie suivant la division centésimale. Cette Table de réduction est intitulée : Rapports des longueurs des degrés au rayon pris pour unité. A chaque opération, il faudra, pour la tangente, remonter du loganlhme au nombre.
no^^ ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
On obtient ainsi, comme nouvelle valeur de l'arc .r,
4,4936408 — o,ooov.}i4 := 4,4934094.
L'intervalle considéré étant l'arc de 1' =^ 0,000290888, si l'on avait appliqué la méthode des parties proportionnelles (1339), on aurait eu comme nouvelle valeur du môme arc, d'après les calculs ci-dessus,
0,001197 -i- 0,00468a , .^^ , r» o,oooooi36iq376i6 ^' -^ 0,003879
La moyenne arithmétique des nouvelles valeurs trouvées par les deux méthodes est 4,4934093, et leur demi-différence est 0,0000001. On a donc finalement (avec une erreur par défaut qui peut s'élever au plus à 0,0000004)
Comme la valeur de l'arc d'un dixième de seconde est 0,00000048. . . , ce résultat est cerlainemenl obtenu à o",i près. On a d'ailleurs, d'après la Table de réduction,
o,ooooog = o,oooo58
Ainsi, la seconde racine de l'équation .r — tangx = o est, à o",i près ])ar défaut,
Nous })Ourrions calculer de même les autres racines positives de l'équation.
EuLER, en résolvant l'équation d'une manière plus générale (nous reviendrons sur la marclie indiquée par lui, dans le Chapitre suivant), trouve, pour la seconde racine,
Des racines imaginaires des équations transcendantes.
ikSS. De même que les équations algébriques, les équations transcendantes peuvent admettre des racines imagi-
ALGÈBRE SUl'ÉlUECRE. 'JOa
naires. Seulement, ces racines imaginaires peuvent être, comme leurs racines réelles, en nombre illimité. Leur détermination, pour laquelle il ne semble pas qu'il puisse exister une métbode générale, est une question très délicate; et nous n'avons pas d'autre but que d'appeler l'attention sur ce point, à l'aide d'exemples très simples (').
1489. Dans certains cas, on peut s'assurer qu'une équation transcendante n'a que des racines réelles. Pour le montrer, prenons l'équation
(i) sin^ =: o,
traitée pour la première fois par Eller.
Remplaçons z par x-\-yi, x ei y étant, comme à l'ordinaire, deux variables réelles.
On a alors (907)
(2) sins =: sin(j: + ji)=i sin^r coiyi -h cos^sin vi = o. Mais (975)
ey-\-e-y . . e-y~ey ey—e~y . cos Yi =■ 5 sin r « = : — ■=^ i.
2» " Il 2 .
Il vient, par suite,
(3) i(^-* + ^~^) sinj? + \{ey — e~y)i coix = o.
Cette équation se partage dans les deux suivantes (820) :
(4) {ey -\- c~y) 'èxnx^^o, {ey — e^y)co?,x ^=0.
Tant que x ei y sont des quantités réelles, la première de ces équations ne peut être satisfaite que si l'on a
sinx=:o et, par conséquent, cos^^±i;
la seconde donne alors
ey — e~y =:o ou e-y = r ,
c'est-à-dire [/ étant une quantité réelle (911)] y = \Li=o.
(') On pourra consulter, en particulier, sur ce sujet difficile : I-'ourier, Théorie analytique de la chaleur et Analyse des équations; Poisson, Théorie mathématique de la chaleur : Cauchv, Anciens Exercices de Mathématiques, 1826.
De C. — Cours. IV. 45
--0(5 ALGÈBRE SUPÉn IF.U RF.
Il faut en conclure que y disparaîl dans toutes les racines imaginaires de l'équalion (i), ou quf celle équation n'admet aucune racine imaginaire. [Elle a, au contraire, une inlinité «le racines réelles, qui correspondent au\ points d'intersection de l'axe Ox, représenté par l'équation 7 = o, avec la sinusoïde représentée par l'équation k = sin- = sinr, et dont l'expression générale est x := n t.. |
On peut appliquer un raisonnement analogue à l'équation
cosc =0, qui n'a aussi que des racines réelles.
Ii90. Considérons encore l'équation (,) tang:; = ;,
déjà étudiée (1487) [avec une notation dilTérente].
La construction graphique que nous lui avons appliquée semble prouver d'avance que cette équation ne peut avoir aucune racine imaginaire. Nous allons le vérifier par le calcul.
Posons z^x-^yi, x et y étant deux variables réelles. Nous aurons à satisfaire à l'équation
tang(^ + jO^ -^ -^y^' Mais [Trigon., 81; Àlg. sup., 907]
sin2.r-i-sin2r? 2 s'mjj.- -t- y i) cos{.r — y i) __ j.^j^^^^. ^ ^. -y cos2j+cos2jf 2C0s{j: -hyi) cos{jc— y i)
Par suite (975),
^'""■^+77(^~'-~^'-"^sin2,r-^^(e^r-e-^r) (2) a.'-^yi— c0S2.r + 4, (e--^-T-e --■>■) "~ C0S2 .r — |(e^-'-^ e^-J^
Cette équation se partage dans les deux suivantes : 2sin'2x e-y—e--y
e^-y -+- 2 cos 2 a- + e--y ' - e-y -r 2 cos 2 x -h e
Les variables x et y étant supposées ditTérentes de zéro et les dénominateurs des deux relations précédentes étant les mêmes, on en déduit évidemment
e^y—e-^y sin2,2?
ALGEBRE SUPEniEURE. 'JO'J
Or, tant (jue la valeur de j n'est pas nulle, celte dernière équation est impossible. On a, en elîet (974), pour son premier membre,
e'-y—e-^y (^yV (2y)'*
(juanlilé supérieure à l'unité, et, a fortiori, au second membre de l'équation.
L'équation (i) ne peut donc admettre de racines imaginaires complexes, et nous allons prouver qu'elle ne peut en avoir de simples (803).
Si l'on suppose ^:=o, l'équation (2), qui nous a servi de point de départ, devient
e-r— e-^y {ey-{- e-y) {ey— e-y) ey— e-y ^ ~ 2 + e^y -h e-^y ~ {ey-^- e-y Y ~" ey+e-y '
relation qu'on peut écrire
er+e-r ey—e-y
Mais on a (97'i.) ey-h- e~y y- y] y
ey— e-y y y^ y"^ , .)-'
c'est-à-dire, en substituant dans l'équation (5) et en réduisant les termes,
y étant une quantité réelle, l'équation (6) ne peut être satisfaite que par la solution jk = o. L'équaiion (1) n admet donc finalement aucune espèce de racine imap;inaire.
1491. Dans d'autres cas, on peut distinguer et trouver, suivant les différentes hypothèses, les racines réelles ou les racines imaginaires de l'équation proposée.
JoS ALCkuKi; SI l'KUIKLISK.
Soil l'équalioii (i) sin:; = «,
où a est une quantité réelle. Posons zz=z x + yi, x et ) étant deux variables réelles. Nous aurons, comme précédemment,
sin; = sin r cos iw" -h cos.r siii t/,
ey + v-y . . ey— e-y .
cos r f =; •> SI n y < = / .
L'équation (i) devient ainsi {•?.) sin ^ = - (ey+ e~y) sin.r h — (ey — e-^') t cos.r = a.
Elle se partage immédiatement eu deux autres
(3) - {ey -\- e-'y)<,m.rz^a,
(4) ]^{ey—e-y)Q.osx = o.
Premier cas. — Supposons la valeur absolue de a supérieure à V unité.
D'après l'équation (3), la valeur de y ne pourra pas être nulle. L'équation (4) exige alors qu'on ait cos.37=:o et, par suite, sin.z;=:iti. Introduisons cette dernière condition dans l'équation (3).
Si a est positif, on ne pourra admettre que la valeur
sin .y =^ + I ou .r = ( 2 /< H- - j 77. On a, en effet (974),
- {ey + e-r) z= I + -^ H ^1— + . . . ,
quantité positive plus grande (pie i. Pour sin^r =:+ 1, l'équation (3) devient d'ailleurs
- {ey -^ e-y) :^ a ou e'^ — 2«eJ-h i =: o. '2
On en déduit
eJ' = a zb \/à^ — \ ou j = l(^a ±: \/a' — 1 ) .
On a clone alors
c = f -2 « -i jT. -T- il{a±: \Ja- — i),
et l'équation (i) n'admet que des racines imaginaires.
Si a est négatif , il faut prendre seulement sinx =: — i, c'està-dire X =r ( 2/i j-, et l'équation (3) devient
- ( ey H- e~y ) =1-^ a ou e->' -r- i ae^ -h i = o.
On en tire
t'->'= — az:^\a- — i ou y ^=z ly — azizsja- — i}.
On a, par conséquent,
z=: iin ]~ -^ ^^{ — a±\a'- — i ),
et l'équation (i) n'admet encore (|ue des racines imaginaires.
Deuxième cas. — Supposons la valeur absolue de a inférieure à l'unité.
L'équation (4) peut être alors satisfaite par r = o ou par cosj:- 3= o. Mais cette dernière condition entraîne sin^=:±: i, de sorte que l'éqnation (3) devient impossible. La solution r zz: o est donc seule admissible. L'équation (i) se réduit à sin JT =^ «et n'admet que des racines réelles. Ces racines réelles, en nombre illimité, sont comprises dans les deux formules ■2n~ ^- arc sina et (a/i -f- 1)- — arc sma.
Ce dernier résultat est d'accord avec la construction graphique qu'on peut employer pour déterminer les racines de l'équation sin j- = a, qui résulte de l'élimination dev entre les deux équations
j- = r/, V = sinj".
La première représente la parallèle menée à l'axe Ox à la dislance a, et la seconde représente la sinusoïde déduite du cercle trigonométrique. Si la valeur absolue de a est, comme on le suppose, inférieure à l'unité, la droite rencontrera la courbe en une infinité de points dont les abscisses mesureront les racines de l'équation s\nxz=a.
^10 ALGÈBRE SUPLrUKURE.
Troisième cas. — Supposons la valeur absolue de a égale <i r unité.
l/équalion ( A ) est satisfaite par }■ = o ou par cos x ^ o, l)an> la première hypollièse, l'éciuation (3 ) se réduit à sinvr=d=i; ce qui entraîne cosj? = o; dans la seconde liypollièsc on ;i
sin^ == I , et l'équation (3) se réduit à - (e-^'4- e-y) = i, d'où
l'on tire facilement / = o. Les deux hypothèses rentrent donc l'une dans l'autre, et ce troisième cas ne diffère du second que par la valeur particulière donnée à a. Cetl,e valeur particulière, introduite dans les formules de résolution du premier cas, permet également de passer de ce premier cas au troisième.
