MÉTHODE DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES
Principe de la méthode et condition de son emploi.
1^.92. La mélhode la plus simple qu'on puisse appliquer à la résolution des équations numériques, algébriques ou transcendantes, est la méthode des approximations successif- es par substitution. C'est même, dans certains cas, la seule méthode qu'on puisse réellement employer.
D'une manière générale, elle consiste à mettre l'équation proposée sous la forme particulière
c'est-à-dire à isoler l'inconnue dans le premier membre, sans s 3 préoccuper de la laisser engagée dans certains termes du second membre. En négligeant alors ces mêmes termes, f{x) prend une certaine valeur 9 et l'on obtient pour x une première valeur approchée
En substituant cette valeur à la place de x dans le second membre de l'équation (A), on a une seconde valeur
qui doit être plus approchée de la valeur exacte. En substituant encore cette seconde valeur à la place de x dans le second membre de l'équation (A), o;i est conduit à une troisième valeur
puis, en substituant toujours la nouvelle valeur obtenue à la
-12 ALGÈBRE SUPÉRIEURF.
place (le r dans le seconrl membre de l'équation (A), à une quatrième valeur
et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'approximation soit jugée suffisante.
Les valeurs a-,, x.^, x-^, x.^, ainsi obtenues, convergent souvent très rapidement vers la valeur exacte de x ou vers la racine de l'équation (A) qu'on veut déterminer.
Les valeurs approcbées peuvent former une seule série croissante ou décroissante. Il peut arriver aussi que ces valeurs approchées soient alternativement plus petites et plus grandes que la racine cherchée, ou qu'elles forment deux séries, l'une croissante, l'autre décroissante. Le sens et le degré de l'approximation sont alors parfaitement fixés à chaque période de l'opération (').
Que deux valeurs successives soient approchées ou non dans le même sens, les chiffres qui leur sont communs appartiennent nécessairement au résultat exact.
Ii93. Cherchons la condition fjui doit être remplie pour que la méthode soit applicable.
Désignons par x^ et par x^ deux valeurs trouvées successivement par ce procédé dans la même série (1492), et soit a la racine exacte.
Le module d'une quantité réelle étant celte quantité prise positivement (820), il faut, pour que X:, approche plus que x^ de la racine exacte, qu'on ait
mod ( X.2 — (7 ) < mod {xi — a).
Mais, d'après ce qui précède (1492), on a
11 vient, par conséquent,
mod [/(a-, )—/(«)]< mod (a-, — a),
ou (821, 842)
(H) mod ^-^ — -^ — <i.
(') Voir à ce sujet différents problèmes relatifs aux Intérêts composes et aux Annuités {Alg. élém., 387, 394, 399).
ALGEBUE SUPERIEURE. 'J 1 O
D'auti'e part, si la fonction /(j") admet une dérivée /'(a) pour toutes les valeurs de r comprises dans l'intervalle considéré qui renferme Xi et a, on aura, pour toute valeur .r., comprise dans cet intervalle entre .r, et a (63i),
ou, d'après (B),
mod /■'(.r2) < I.
Or cette condition sera évidemment satisfaite si, pour toutes les valeurs de j? comprises dans l'intervalle considéré, on a, en valeur absolue.
On doit avoir soin de s'assurer, dans chaque question [rarticulière, (|ue cette inégalité est vérifiée. Dans le cas contraire, on pourrait, en appliquant la méthode, s'éloigner de la racine exacte au lieu de s'en rapprocher,
La relation (C) pouvant s'écrire
la valeur de/'(^) indique à peu près la rapidité de la convergence obtenue.
Les applications de cette méthode sont nombreuses dans toutes les branches des Mathématiques. Nous allons traiter quelques exemples.
Application aux équations du second degré.
149i. Soit l'équation du second degré
a a:- -h ba; -i- c = o.
On en déduit
c ax-
et, sous cette forme, on peut lui appliquer la méthode des approximations successives (on suppose les racines réelles). On a ici
/(-) = - 7,--^- et /'(^) = -^.
'^ 1 4 AI.GKBr.E SUI'ÉRIF.URE.
Il faut qu'on ail dans l'intervalle considéré (1493)/'(.r)< i,
c'est-à-diie
— — j— < I ou .r>--— •
b ia
Des deux racines^' et x" de l'équation, la méthode ne s'appliquera donc (lu'à la première
, — h + Jb' — i\ac X z=z î- —
La racine x" sera ensuite donnée par la relation
Maintenant, dans quel cas le procédé peut-il le mieux convenir? C'est, évidemment, lorsque le produit ac est très petit par rapport à b-. Dans cette hypothèse, la racine x' est ellemême très proche de zéro, et il faut poursuivre plus ou moins loin l'extraction de la racine carrée \ b- — ^ac pour faire apparaître les chiffres décimaux nécessaires. Bien qu'il n'y ait là aucune difficulté et qu'on puisse même préférer le calcul direct, comme les formules d'approximation qui se présentent ici peuvent servir de type dans heaucoup d'autres questions, nous allons les indiquer, en remarquant que, lorsque ac est très petit, c'est la racine x' qui est proche
de — j {Alg. élém., -24.1), tandis que la racine x" est proche
de
Nous aiu"ons d'ahord, en négligeant le terme en x- dans le second membre de l'équation (A),
En substituant cette valeur à la place de x dans le terme négligé, il vient
c ac-
En substituant .ïo '> 'a place de a- dans le même terme, on a
c aie ac-
ALGÈBRE SUPÉUIEURE. ^l5
OU, en développant,
c ai- la-c'^ a'^c'
Nous devrons alors, dans l'expression de œ^, supprimer le
dernier terme très petit par rapport an précédent, dont il ro-
présente le produit par -^-j* JNous substituerons donc •2 b-
c ac"- lorc'^
à la place de .r dans le second membre de l'équalion (A), et nous aurons
c ai c ac- ia-c^ '^''^~ b~ J,\ 1j~ lï^ W
ou, en développant et en réduisant,
Ji:\ = — -r —
ac"- 2(7-c' oa^c' i\a'*c^ [\a^d'
Nous supprimerons les deux derniers termes de celte expression pour la même raison que ci-dessus, et nous prendrons
c ac- 2a-c'^ 5a^c''
Il sera facile de continuer indéfiniment. On peut, d'après cela, prendre comme formules d'approximation successives
c c / ac b" b\l/-
ac-
ac''-
ac-
ac"-
c ac- ac- [ ac
J I (J ALGÈBUF, SUPÉRIEURE.
En résumé, comme -.- est supposé très polil, la formule
générale qu'on obtient, permet d'approcher de la valeur de la racine jc' par une suite d'approximations dont Vordre est de plus en plus élevé (320), de sorte que l'erreur qui persiste après l'addition de chaque terme peut être regardée comme très petite par rapport à ce terme lui-même. Il en résulte que, en s'arrètant à un certain terme, on sait toujours si la valeur adoptée est approchée par défaut ou par excès, puisqu'on n'a qu'à consulter le signe du premier terme de correction négligé. Les conditions que doit remplir autant que possible tout procédé d'approximations successives sont donc satisfaites d'une manière complète.
1495. On peut arriver beaucoup plus rapidement aux relations qu'on vient d'établir; car la formule du binôme (691) peut être ici appliquée à In transformation du radical
s/h- — ^ac. On a, en effet.
et ac est supposé très petit par rapport à b-. Il vient, par suite (691),
