f^ac\^ 1.3.5 f\nc

\lb'''—[\ac b c ac"' a-c^ ^à^c*

ia "ia b b^ b^ b

On aura donc finalement

c ac- a-c^ ^ a^c*

comme précédemment (14-94).

ALGEBRE SUPERIEURE. 'J I -

Application aux équations transcendantes.

1490. i" Chercher les racinex réelles de l'équation

e-^' reste positif, (luel que soit x [i88J. Il en résulte que réqualion donnée ne peut, d'après l'expression du second membre, admettre aucune racine négative.

Pour trouver ses racines positives, nous la transformerons en prenant les logarithmes vulgaires des deux membres. Il vient ainsi

(1) .rloge = log 17,6439 -^- log.r.

On a

loge = o , 4342944 • • , log 1 7 , 64 39 = 1 , 2463945 .

Eu effectuant la division de ces deux derniers nombres, on peut donc mettre l'équation (2; sous la forme

(3) .r = 2,8703887-^ ]IT rr

C'est celle à laquelle l'équation (1) doit être ramenée, pour qu'on puisse lui appliquer la méthode des approximations successives.

Pour abréger les calculs, nous aurons recours à une construction graphique approchée, en posant

L'équation (3) résultant de l'élimination de ^r entre ces deux équations, les abscisses des points d'intersection des lieux que ces équations représentent feront connaître approximativement les racines positives de l'équation (3) ou de l'équation (i).

Le premier lieu {fig. 83) est la bissectrice OC de l'angle -lOy ; le second, une courbe AlB, d'espèce logarithmique, facile à construire en se reportant au n° 309.

Pour x—o, on aj- = — ce, et la courbe a pour asymptote la partie négative de l'axe Oj. On a y — o. pour

log.r = — (2,87...x 0,43...)= — \ ,2463945 = 2, 7534053.

Ou en déduit x = 0,0566768. Telle est l'abscisse du point d'mtersection de la courbe AIB avec l'axe Qx.

Pour .r = I, on a j = 2,87. . . . Enfin, pour x = \o. on a

ALGEBRE SUPERIEURE.

La construction de la courbe AIB indique, comme on le voit, deux points de rencontre de cette courbe avec la bissectrice 0(^ cl tieux racines positives de l'érpialion (3) ou (i): l'une est très petite et 1res peu difîérente de 01 = OjOîfifijGS, puisque la tangente à la courbe

Fi«. 83.

AIB au |)oinl l fait avec l'axe O.r un angle dont la iangenie trigononié-

Irique est [535,3851- = z- = 17,6 environ, c'est-à-dire on

angle voisin de 87° ; l'autre racine positive OP est comprise entre 4 et 5. C'est à la recherche de cette racine que nous allons appliquer le procédé des approximations successives.

On a ici

On en déduit

loge I .rloa;e ./;

La racine ./■cherchée étant comprise entre 4 p' ^j tiïi ^o't q»cy'(jr)

est à peu près -• Par suite (1493), chaque nouvelle valeur sera à peu

près quatre fois plus approchée que la précédente, et l'approximation

marchera assez lentement.

D'après l'épure (/î"^'. 83), nous commencerons les substitutions à 4,3.

Xiius aurons ainsi, comme première valeur,

log '1 , 3

0,434-29^4 En substituant cette valeur à la place do .v dans le second membre

(le l'cquation (3), nous obtiendrons, comme seconde valeur plus approchée,

. ^^rs 102 4.32qOo38 , oor -i r

En opérant toujours de la même manière, nous trouverons, comme Videurs successives,

loff4 53372726 , „^ „.,,,.

./•,.. = 2,8703887 -^ Tir-, j-r- = 4, JJ/ /^J^,

^ „^^ lo2:i, 337741^ , 0-. ' r xs = 2,8703887 ^ -^ ', ^,, = 4,3377,2b.

Nous nous arrêterons à cette dernière valeur, en prenant

Il est facile de s'assurer que ce résultat est exact à six décimales; car on trouve alors, pour le second membre de léqualion (3).

log4, 337743 ^ .,„« . 0,6372638

1497. 2" Résolut (0/1 générale de V équation (^) x — lang.r = o.

Nous suivrons la marche indiquée par Euker (•). Celte marche est d'ailleurs analogue à celle que nous avons exposée, relativement aux équations du second degré (U94).

Nous avons vu précédemment (1487) que l'équation (i) a une inlinité de racines réelles, deux à deux égales et de signes contraires, et nous avons déterminé sa seconde racine positive. 11 s'agit maintenant d'établir une formule qui permette d'obtenir une racine positive de rang quelconque.

^extrémité de chaque arc-racine positif, tel que x, tombe dans un

(•) nuroduclion à l'Analyse infinitésimale, Livre II.

'^'iO ALGtUliE SUI'ÉUlICtllK.

(|iia(lraal de rang impair, de sorte que la {n -+- t )'•"■<= racine est moindre (\no {-i/i -h O'i • 0'^ pc"'' fJt)nc écrire

( '■i ) {'l/l -h l)- = X-i- OL,

a éianl un arc posilif moindre que - , qui désigne la distance de Vex-

/rcmite i\G la racine cherchée à l'extréniitc du quadrant correspondant. Un en déduit (Trigon., "23)

tang (%n -4-1) a =r cota = tangx.

il en résulte, d'après l'équation (i).

cota = X ou tane a = - .

L'équation (:i) revient donc à (3) (1 n ^i) - = X -r- arc tans - •

Mais, - étant moindre que l'unité (à partir de la seconde racine positive), on peut développerarc tang-par la formule connue (70i;, etTima

( { ) iin -h [)- = X -i .-,-- ô -+ ^-^ i . .

2 X ,>jr3 3j"' -X' 9.7-9

Il vient donc, en posant (an -f-i)- = a,

, . i j Il I

formule qui se prèle parfaitement au calcul par approximations successives, et qui présente les mêmes caractères que la formule relative aux éipiations du second degré (li9i).

On a ici (1493, 574)

quantité inférieure à l'unité (à partir de la seconde racine positive).

La première valeur approchée de x sera (1492) x = a.

Nous obtiendrons la seconde valeur approchée, en remplaçant .rpar a dans le second membre de l'équation ( 5 ), et en négligeant tous les termes du second membre à partir du troisième.

La seconde \aleur sera donc

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 72 l

Pour avoir la troisième, nous substituerons la seconde valeur à la place de x dans le second membre de l'équation (5), en négligeant les termes de ce second membre à partir du quatrième. Il viendra

La première division donne (en ne conservant que les troisièmes puissances de a)

Là seconde division donne (sous la même réserve)

3 [ ri

On a ainsi, pour la troisième valeur approchée,

Pour avoir la quatrième valeur approchée, il faut de même substituer la troisième valeur à la place de x dans le second membre de l'équation (J), en négligeant tous les termes qui contiendraient des puissances de a supérieures à la cinquième. 11 vient

Va\ effectuanl les divisions (sous la réserve indiquée), on a

I I jj^

De C. — Cours. IV. ^5

^22 ALGÈBRE SUPÉniEURE.

Par suite, la quatricmc valeur approchée est

On pourra calculer de la même manière cl de proche en proche les autres valeurs approchées. On trouvera, pour la cinquième et la sixième.

fl

io5«"

Pour avoir les différentes racines positives à partir de la seconde, il suffira de remplacer, dans la dernière formule, o par sa valeur (1/1 -r- 1)7 et de substituer les nombres i , 2, 3. . . . , à la place de n. En rempla- ^•ant en même temps ^ (') par sa valeur 1,570796326794896..., on

aura

0,1720081836 0,09062596 (^in -f- i)' (2« + ly __ 0,05892837 o,o4258543

{ ■2/1^1)' (i/i-i-iy

A mesure que n augmente, le nombre des termes de la formule qu'on doit conserver pour le même degré d'exactitude va en diminuant.

En convertissant les coefficients du second membre, qui sont exprimés en parties décimales du rayon pris pour unité, en degrés, minutes et secondes, à l'exemple d"Euler, et comme il est facile de le faire a l'aide de la Table de réduction dont nous avons déjà parlé (1 iST). on a la formule transformée

( 2 // ^- I )" ( 2 // -I- I j^ Cherchons, par exemple, la seconde racine positive en fiiisant //

( ') On a, avec quinze décimales exactes.

-—3,141592653589793 et - — o,3i83o r)S!>!iM sï^-Qo.

Nous aurons, d'une part, 3 x 90"= 270" et, d'autre part,

l'iiSra", 25 ,„ „ .

On a donc, pour la seconde racine positive,

,7; = 270° — 12° 32' 47", 726 = 257° 27' 12", 274. Le calcul direct nous a donné ( 1 i87)

Nous terminerons, en indiquant, d'après Euler {loc. cit.), le Tableau des dix premières racines de l'équation x — tang.r = o.

xi = 90°— 90" = o", .r, = 3x90° — i2°32'48"=: 257''27'r2",

.rg — Il X 90" — 3° 19' 24"= 98G°4o'36",

Xi = i5 X 90" — 2"26' 5"=: i347°33'55",

Xg = 17x90" — 1" 8'5i"= i527°5i' 9",

Xn,= 19 X 90" — i°55'i6"= 1708" 4'44 •

^24 ALGÈBRE SUPÉRIEURK.