CHAPITRE V
DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES EN FRACTIONS SIMPLES. — DES SÉRIES RÉCURRENTES.
Définitions.
1498. Toute fonction rationnelle (1393) de la variable a peut, en effectuant la division du numérateur par le dénominateur, tous deux ordonnés suivant les puissances décroissantes de a:, être remplacée par une fonction entière de a (f|ui peut être nulle), augmentée d'une certaine fraction corn plémenlaire (6). C'est à celte fraction complémentaire, dans laquelle le degré du numérateur est nécessairement Inférieui à celui du dénominateur, que l'on donne spécialement le non de fraction rationnelle. Nous nous proposons de montrei comment on peut toujours décomposer une pareille fractior en d'autres fractions plus simples ou, plus exactement, er fractions simples.
On appelle ainsi les fractions de la forme
et
n étant un entier quelconque.
Dans ce qui suit, nous représenterons la fraction rationnelle considérée par
fi:^
¥{xy
et, F(x) étant du degré m,/{x) sera au plus de degré ni — i. On peut toujours supposer la fraction rationnelle donnée irréductible, c'est-à-dire que ses deux termes /(j?) et F(.r; ont été rendus premiers entre eux et n'ont plus aucun facteur premier commun. On doit admettre aussi qu'on a résolu à part l'équation
ALGEBRE SUPERIEURE. 'J20
Mlitenue en égalant son dénominateur à zéro, et qu'on coiiuaîl les racines a, b, c, d, . . ., l, de celte équation.
Nous distinguerons deux cas, suivant que les racines de l'équation F(.r) =o sonl ou non toutes inégales.
Premier cas : l'équation F(.r)=ro !s 'a que des racines inégales.
1499. L'équation F(x) = o, dont les coefficients sont expressément supposés réels, ayant ses m racines a, b, c, d, . . ., /, inégales, nous allons chercher à mettre la fraction rationnelle considérée sous la forme
JC ■ — /
où A, B, c, . . ., L sout des constantes qu'on doit déterminer (si cela est possible) de manière à transformer l'équation (i) on identité.
L'idée d'essayer cette transformation est toute naturelle, puisque, en réduisant les fractions du second membre au même dénominateur, on obtiendra, en tout état de cause, ime fraction rationnelle de même dénominateur F(^) et qui aura pour numérateur une fonction entière de x de degré moindre que F(.r).
Multiplions les deux membres de l'équation (i) par F(j); elle deviendra
^(^N^AF(a^) , BF(^) , CF(^) , LF(a;)
Tous les termes du second membre sont entiers, puisque F(j7) a pour facteurs premiers les différents dénominateurs .r — a, X — b, X — c, . . . , x — /. On pourrait donc obtenir m équations pour calculer les m inconnues A, B, C, ..., L, en écrivant que l'équation (2) est une identité, c'est-à-dire en égalant les coeflicienls des mêmes puissances de X dans les deux membres (17). Mais on parvient plus rapidement au but, à l'aide de la remarque suivante.
Remplaçons x par a dans l'équation (2); a étant racine de F(x) = o, on a F(«) = o. Toutes les racines de l'équation Y{x) = 0 étant d'ailleurs inégales, on voit que tous les termes du second membre disparaîtront, à l'exception du
^20 ALGÈBRE SUPÉRIKU HE.
premier (|iii se présenlcra sous la Corme
AF(a) o a — a o
Mais celle indéterminalion n'est qu'apparente, et la règle de
L'Hospilal (70G) donne immédiatement pour la vraie valeur
de la Iraclion — , lorsqu on v lail .r r= «,
jc — a
—~ ou A !•'(«).
L'équalion (2) se réduit donc en réalité, pour jc=:za, à
/(«) = AF'(«), d'où -^=W(^y
Cette valeur de A est d'ailleurs parfaitement déterminée : elle ne peut pas être mfinie, puisque l'équation F(j^) =0 n'ayant (|ue des racines inégales ne peut avoir aucune racine commune avec l'équation dérivée F'(.r) == o [1088]; elle ne peut pas être nulle, puisque, par hypothèse (li98), f{oc) et Y{x) n'ont aucim facteur premier commun.
En remplaçant successivement x par b, c, d, .. ., /, dans l'équation (2), on trouvera successivement, de la môme manière.
Pour avoir les différents numérateurs constants des fractions simples du développement (i), on n'a donc qu'à former l'expression générale
et à y remplacer successivement x par les m racines de l'équation F(jr)=:o.
Le raisonnement précédent prouve que l'équation (2), et par conséquent l'équation (i), est satisfaite par les m valeurs a, ù, c, (l, ..., l de x, lorsqu'on donne aux constantes A, B, C, ..., L les valeurs indiquées ci-dessus et qui sont les seules possibles. Comme l'équation (2) est au plus du degré m — 1 et qu'elle admet ainsi m racines, elle
ALGEBRE SUPÉRIEURE. -2"
SG réduit nécessairement à une identité (1023), et il en est de même du développement (i).
1500. Au défaut de la règle de L'Hospital (70G), la formule deTaylor (32i) aurait facilement conduit à la vraie valeur du "liiotient
AFÇr)^ X — a pour X = a.
En effet, on peut écrire F(j;') ^Yia-^x — a) et regarder X — a comme un accroissement. On a alors
F(.^) = F(a) -^ ^^— ^F'(rt) ^ ^^^^^^F"(«) 4-. . . .
F(j7) étant une fonction entière de x de degré m, le développement est limité, et l'on a, en divisant les deux membres par X — (7, puis en faisant x = a.
lim
Transformation spéciale relative aux racines imaginaires simples.
1501. Les conclusions précédentes subsistent, que les racines inégales de l'équation F(j?) = o soient réelles ou imaginaires. Seulement, les fractions simples correspondantes sont elles-mêmes réelles ou imaginaires.
Or, si l'équation F(j7) = o admet des racines imaginaires inégales, ces racines imaginaires sont du moins conjuguées deux à deux; et, alors, les deux fractions simples imaginaires qui répondent à deux racines imaginaires conjuguées peuvent être remplacées par une seule fraction simple de seconde espèce (li98), c'est-à-dire réelle.
Supposons, en effet, que les constantes A et B répondent aux deux racines imaginaires conjuguées a-^'^i et y.— 'bi. Onaura(li99)
F'(a-^30' F{y. — pi)'
Ces deux quotients, ne différant que par le changement de signe de i, sont eux-mêmes conjugués. En désignant par P
'J;^8 ALGÈBRE SUI'ituiEURE.
Cl Q deux fonctions réelles et rationnelles de y. et de j, on jieul donc poser
Les fractions simples correspondantes seront, par suite, P+Qf P— Q<
et leur somme aura pour expression
c'est-à-dire qu'elle se réduit à une fraction simple réelle, dont le numérateur est du premier degré en x, et le dénoininaleur, du second degré.
1502. En résumé, chaque racine simple réelle de l'équa-
lion F(^) = o donne lieu, dans le développement de
à une fraction simple de la forme
; et chaque cou|»k'
de racines imaginaires simples conjuguées, à une fraction simple de la forme
{x — olY--^^-
M^ + N "'-V px H- q
Second cas : l'équation F(jr) = o a des racines égales.
1503. Supposons que l'équation F(.r) = o ail des racines
('gales, et soit a 1 une de ces racines; 1 expression A = î;77 — -
I 14-99] donnera pour A une valeur infinie (1088). La décomposition indiquée précédemment n'esl donc plus possible, ei elle doit être remplacée par un développement de forme différente.
Admettons que a soit une racine multiple d'ordre // de l'équation r(.r) = o. Nous pourrons poser
et aucun des facteurs premiers du polynôme Fi(.r) ne sera plus égal à .r — a.
En remplaçant x par a -\- x — a, on peut dévelo|)per, par
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 729
la formule de Taylor (Sâi), /(^) et Fi(^) suivant les puissances croissantes de l'accroissement x -— a. On a ainsi
f{x) = fia) + -^ fia) + ^-~^f'W + • - -,
Lo degré de F{x) étant m, le degré de f{x) est au plus
//? — I, et celui de Fi(^) est m — n.
Divisons /(j:-) par Fi(^), en regardant x — a comme la
lettre ordonnatrice. Le premier terme du quotient sera la
(luantite constante :^ , , ? que nous désignerons par Aq. Le
premier reste ne contiendra plus de terme constant et, A, étant un second coefficient constant, le second terme du quotient sera Ai{x — a). Le second reste, à son tour, ne contiendra plus de terme en x — a et, A, étant un troisième coefficient constant, le troisième terme du quotient sera A^{x — a)-; etc. On poursuivra la division de cette manière, jusqu'à ce qu'on arrive à écrire au quotient un terme en I /• — «)""S qui sera A„i(j7 — «)"~^ Le reste correspondant ne contiendra plus de terme en (j? — «)"^S de sorte que, tous ses termes étant divisibles par (.r — «)", on pourra le
mettre sous la forme
(x-arMjr).
On écrira alors l'identité qui résulte de toute division, et l'on aura
Jl ^^^
f{.r) = Fi (,v) [Ao-i- Al {x — a)^À.{^ — ay--\-.. .-h A„i (.r - a)«-i]-4- (x — «)«/, (.r).
F, (^) étant du degré m — /i par rapport à x, le produit du diviseur par le quotient sera du degré m — i. Le dividende étant au plus du degré m — i, il en sera de même du reste R. Par conséquent, le polynôme fi{x) sera au plus du degré /n — /i —I. D'ailleurs, /i(^) et Fi(^) ne peuvent admettre aucun facteur premier commun, sans quoi ce facteur premier commun appartiendrait à la fois à f{x) et à F(^) et, contre
l'iivpothèse, la fraction rationnelle considérée, :^~-~^ ne se-
rait pas irréductible.
ALGEBTIR SUI'F.RIEU R K.
Cela posé, si l'on divise par F(r) ou par (j? — «)" F,(u7) les deux membres de l'idenlilé (i), il vient évidemment
/ .^ j /(•^) ^ Aq ^ Al A 2 A„-i ^ /, (x)
F(.r) {.c — a)'t (x — fi)"-^ ' (.r — r/)"-2 .r — rt~^K,(a-j
La racine multiple d'ordre n représentée par le facteur multiple {jc — a)'* donne donc lieu à n fractions simples, dont les dénominateurs respectifs sont les puissances successives (^ — a)"-, (^ — «)""', (^ — «)"""> • • • , jusqu'à jc — a, et dont les numérateurs respectifs sont les coefficients des n premiers termes du quotient trouvé en divisant/(a;) par Fi(a;), comme ou vient de Tindiquer.
[On remarquera que la première fraction du groupe de fractions simples ainsi obtenu existe toujours et est parfaitement
1 - • - • ,, . f{fi) determuiee, puisque! on a Aq^tt-^^ — r t^t Qu aucune des quan-
tilés f{cf) et Fi(a) ne peut être nulle; mais les autres coefficients A,, Ao, . . ., A„i peuvent être égaux à zéro.] Il reste maintenant à décomposer la fraction irréductible
• V^ , ) dont le dénominateur est du degré m — n, et le numé- F,(^-)
rateur, au plus du degré /n — /i — i .
Si l'équation Fi {x) = o admet alors une racine b dont l'ordre
<le multiplicité soit/j, on posera encore
et l'on opérera sur /*, (x) et sur F2(-c) comme on vient d'opéreisur /(.r) et sur Vi{a:). On aura donc
./•.(■^) ^ Bo Bi , Bp-, A(x)
Fi{a:) {x — by ' {jc — by-' "'^ x — b Fj(j:) '
f'.ix)
iv^- — - représentant une fraction irréductible, dont le déno-
minateur sera du degré m — n — />, et le numérateur, au plus du degré m — n — p — i .
On continuera de même, jusqu'à ce qu'on parvienne à une
fraction complémentaire ^~ — f ? dont le dénominateur égalé
Fa.(^)
il zéro n'admette plus de racines égales et qui soit, par cou-
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ']3 l
séquent, décomposable par le procédé indiqué en premier lieu (1W9).
1504. La décomposition qu'on vient cVeJfectuev nest possible que d'une seule manière, c'est ce qui reste à établir.
On ne peut pas affirmer a priori, en effet, que, si l'on commençait la décomposition de la fraction rationnelle donnée en considérant la racine multiple b au lieu de la racine multiple a, on parviendrait à un résultat identique, c'est-à-dire que les coefficients (A) et (B) correspondant à ces racines conserveraient les mômes valeurs. Rien ne prouve, non plus, qu'une autre marche que celle que nous avons suivie ne conduirait pas, sauf la forme des fractions simples, à une décomposition complètement différente.
Pour lever tous les doutes, supposons donc, pour un instant, deux décompositions différentes possibles, et admettons les deux systèmes de fractions simples
An A. ^ ^ . JLo__ B, ^
et
Ces deux systèmes, représentant la même fraction rationnelle
'-,—, — r> doivent être égaux quel que soit x. r (X) o 1 1
Or, si l'on multiplie les deux expressions égales comparées par (j? — a)", elles devront demeurer égales; et, si l'on fait ensuite x ■= a, la première se réduira à A(,.
Mais, si aucune des fractions simples ([ui composent la seconde expression n'a alors pour dénominateur une certaine puissance de x — a, cette seconde expression s'annulera pour X ^ a, au lieu de devenir Aq. Il faut donc nécessairement que quelque fraction du second système ait pour dénominateur une puissance de^ — a, c'est-à-dire que a', par exemple, soit égal à a.
Cela ne suffit pas. On doit avoir en même temps n' =. n. Car, si n était supérieur à n' , la même difficulté se représenterait : après la multiplication par {x — a)", le second système s'évanouirait encore pour x = a, tandis que le premier se réduirait toujours à Aq. Si, au contraire, n était inférieur à n' , le
J^a ALOklJUK SUPKKIKUUK.
premier système se réduisant à Ao pour .r — a, le second deviendrait infini poui- la même valeur.
On a ainsi à la fois a' = a et n':^ n. L'égalité des deux systèmes, après leur multiplication par {x — a)" ou {x — a')"', aui'a, par suite, pour expression,
A„ +A,(,r-«)+A,(..-«). + .. .+ ,,,;-«,. [^--A'.^- + (^--V" " a;, + a; (.. „) H- a; (,.-„,=+...+ (.. - aV [ç^j 3^-^ -. — »),^-^, .
el, si l'on fait niainlenanl x ^^ a, il restera
La première fraction simple du premier système fait donc forcément partie du second système. Après avoir supprimé de part el d'autre les deux fractions égales, les restes seront égaux, el l'on pourra appliquer le même raisonnement à la seconde fraction simple du premier système, el ainsi de suite. Les deux systèmes supposés sont, par conséquent, identiques.
11 en résulte que, de quelque manière qu^oti procède, on trouvera pour les nuinéraleurs Ao, A], Ao, ..., lip? Bj, B2, ••■, des valeurs uniques et identiques.
Transformation spéciale relative aux racines imaginaires multiples.
loOo. Les raisonnements précédents subsistent, que les racines égales considérées soient réelles ou imaginaires. Mais, si l'équation l^{x)z:=.o admet une racine imaginaire multiple d'ordre n, elle admet aussi la racine imaginaire conjuguée au môme ordre de multiplicité (103V). Nous allons montrer, en concordance avec ce qui a lieu pour les racines imaginaires conjuguées simples (1501), que l'on peut alors remplacer les deux parties imaginaires du développement, qui répondent aux deux racines imaginaires conjuguées d'ordre n
{y.+ ^iy et (3t— ^o", par une seule partie réelle de la forme
MofJ^- No M 1 .r 4- N , __^ M„-ia:-(-N„ ,
\{x -ra)i'^~p"q« + [(^—^)- H- t^^ï^ï ^ ■ • ■ "^ Ti- - a)2 + [3- ■
ALCxÈBRE SrPÉRIEUKE. ^33
En effet, en réunissant les deux racines imaginaires conjuguées a-r-pi et a — ^i dans le trinôme du second degré {x — a)-+|3-, posons comme précédemment (1303)
(!) Y{a:) = [^x-ar-^^^-'YY,{x).
Désignons par Mo et No deux constantes indéterminées, et formons le polynôme
(2) /(^)-(Mo^-4-X„)F,(^).
On peut disposer des deux indéterminées, de manière que ce polynôme soit exactement divisible parle trinôme {x — a)--t-j3-. 11 suffit pour cela que ledit poljnôme s'annule successivement quand on remplace x par la racine a + |3i et par la racine conjuguée a — S/.
Si nous représentons par A li: B/ et par C ± Df les valeurs conjuguées que ces substitutions font prendre à f{x) et à F,(j?), nous obtiendrons les deux équations de condition
( A ^ B 0 — [Mo ( a + 5 0 -^ \o] ( C 4- D i) = o, ( \ - B/) - [Mo(a - ,5 0 -^ No] (C — DO = o.
Les premiers membres de ces équations étant conjugués, elles reviennent aux deux équations qu'on obtient en égalant à zéro la partie réelle et la partie imaginaire d'une seule d'entre elles, la première par exemple. On trouve ainsi
j (.3D-aC)Mo-CNo = -A, ' f (3C-aD)Mo-DNo=B.
Ces équations sont du premier degré par rapport aux constantes indéterminées Mq et No, et le dénominateur commun <le leurs formules de résolution est égal {Alg. éléni., liS) à
(;iD — aC)D + (^C-T-3(D)C ou à '^^{O — W).
Ce dénominateur ne peut donc èli-e nul; car, si ^ était nul, les racines considérées cesseraient d'être imaginaires et, si C-4-D' était nul [c'est-à-dire si l'on avait C = o, D=o], le polynôme F,(^) contiendrait encore (lOlo), contre l'hypothèse, les facteurs x — y. — (3« et j? — y- -^ ^ '•
Les équations (3) donneront, par conséquent, pour Mo et No, des valeurs finies et déterminées, qui ne peuvent être nulles; car, s'il en était ainsi, on aurait [équations (3)] A = o et B = o; f{x)=:o admettrait les deux racines x^^i et
a — pi, el la fraction rationnelle proposée i^-, — r ne serait plus
irrédiutilile.
Pour ces valeurs de Mo et de No, le polynôme (2) devenant exactement divisible par {x — a)"- + ^-^ on a, en a|)p<^lani o(Jc) le quotient,
f{x) - (Mo^r -r- No) F, (^) ^- [(^ - y.y- + ,3'] ?(-r) ;
et l'on en déduit, d'après la valeur (1) de Y{x),
f{x) __>ïo^r^^No__ ^ o(.r)
il reste à décomposer la seconde partie du second membre. f{x) étant au plus du degré m — \, o{x) est au plus du degré m — 3; Fi(jc) étant du degré m — m,
2. Par conséquent, la fra taire dont il s'agit est tout à fait analogue à la proposée
est du degré m — 2. Par conséquent, la fraction complémen-
Il en résulte qu'en opérant sur la seconde fraction rationnelle comme on vient de le faire sur la première, on obtiendra
9(^) Mi^-f-N, ' 'Jy{ar)
On continuera ainsi, jusqu'à ce qu'on ait épuisé les facteurs
{x — a)-+5- et qu'on soit arrivé à une dernière fraction
complémentaire de la forme = r? ciu'on développera elle-
même d'après la nature des racines de son dénominateur
égalé à zéro.
Résumé.
fiX)
i.oOG. Etant donnée la fraction rationnelle "L -, on peut
Fia-)
toujours, en posant F(a;)=:o, décomposer son dénominateur F(jr) en ses facteurs réels (simples ou multiples) du premier et du second degré (1033), de manière à avoir
F(.r) r=(.r — r/)'"(.r — h)" ...{x- -^ px -^ q)"''(x--i- /\r -}-5)"'...,
les exposants /», n, ..., m', n' , ... pouvant se réduire à l'unité.
Le développement de la fraction rationnelle aura alors pour expression, d'après ce qui précède,
Ao
Bi B,,-^
{x—by ' {x — b)"-^ '" x—b
{x^-hpx -i-q)"^' {x^-\-px-hq
Ro.:t:--}-So , B,.r + S,
-iX-f-
-+- px + q
(x- -h rx -]- s)'^' {x- -^ rx -^~ s)"-'-^ x^-\-rx^.s
1507. Dans le cas des racines simples réelles de F{x) =z o, on déterminera les numérateurs des fractions simples correspondantes, en appliquant la règle démontrée au n° H99. On pourra suivre la même règle relativement aux racines simples imaginaires, quille à réunir en une seule fraction réelle les fractions simples qui répondent à deux racines imaginaires conjuguées.
Dans le cas des racines réelles multiples, on déterminera les numérateurs de la série de fractions simples (jui répond à chacune de ces racines, en effectuant la division indiquée au n° 1503. Pour les racines imaginaires multiples et conjuguées, on exécutera les calculs prescrits au n° 1505.
Mais ces calculs sont pénibles, et on les remplacera avec grand avantage en employant la Méthode des coefficients indéterminés, dont l'usage se trouve ici parfaitement justifié (25, 30). Celte même méthode convient d'ailleurs aussi aux autres cas.
Lorsqu'on veut y avoir recours, on écrit le développement
flx) de ^TT — - selon la règle théorique que nous avons résumée V {x)
plus haut, on chasse le dénominateur F(a) et, après réduction, on égale les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres de \ identité Q^w'on doit obtenir. On a ainsi autant d'équations du premier degré qu'il existe de coefficients constants à déterminer, et il \\\ a plus qu'à les
1^36 ALGÈBRE SU1>I^:RIEUIIE.
résoudre. L'habiliulc du calcul suggère, en général, de tioiiibreuses simplifications.
1508. On peut préciser comme il suit cette application de la méthode des coefficients indéterminés.
Proposons-nous de trouver spécialement les numérateurdes fractions simples qui répondent à la racine a (réelle ou imaginaire), d'un ordre de multiplicité égal à //. Nous aurons (1503)
f{jc) Ao Al ^ A„-j /i(.r)
Si l'on multiplie les deux membres de l'identité (i) par F(j7) =:: (^ — «)" Fi(^), et si l'on pose x — az=.h, d'oii X -=za -^ h, il vient
/( ^i -^ /' ) = Ao r. ^ Al
F ( a H- /? ) , ^ , + A„i -^^ — - -\-h-fdo + h).
On a d'ailleurs par la formule de Taylor (32^^), et en remarquant que F(«) et toutes ses dérivées jusqu'à la (« — 1)''='"<' sont nulles (1089),
En portant ces valeurs dans la relation (2), on trouve
F"+'(rt)
F"((/) , /,7 F"+'(ff)
ALGLbRE SUPÉKIEL'KE, "3"
Puisqu'on est parti d'une identité, cette dernière égalité a lieu quel que soit h. Les coefficients des mêmes puissances de h dans les deux membres sont donc égaux, et l'on a, en s'arrètant exclusivement aux termes qui contiennent A à la puissance n et aux puissances supérieures,
F«+'(a) . F"(rt) fia)
Ao ;; -i- A] 5 — 1
\ .y. i . . .{Il — \) I . i . 3 . . . // I
\ A F"+Vtf) ^ ^ F^'+H^O ^ ^^ F"(^/) ^ fia)
" I . 2 . 3 . . . ( « -h 2 ) ' ^ I . 2 . 3 . . . ( rt H- I } ' " ' 1 . 2 . 3 . . . /i ~ 1.2
F2'«-'(VO F2"-2('«) F"(«) f'^-H.a)
La première de ces égalités donnera \o; la deuxième fera alors connaître Aj ; connaissant Aq et Ai, la troisième déterminera A,; et ainsi de suite, jusqu'à la n^'""", qui déterminera A„i, les précédentes ayant conduit successivement aux valeurs de Aq, Aj, A^, . . ., A^-,.
On pourra ensuite opérer de même pour la fraction com-
plementaire ~^, — r-
lo09. Lorsque la racine multiple a considérée est imaginaire, les fractions simples obtenues sont imaginaires; mais, en les groupant convenablement avec les fractions simples qui répondent à la racine conjuguée, on parvient, pour les deux racines, au développement réel dont nous avons indiqué la forme précédemment (loOo).
Pour en déterminer les constantes, on peut opérer comme il suit.
Soient a±:3« les deux racines imaginaires conjuguées, dont l'ordre de multiplicité est n. On peut poser (loOo)
j ^ M„-ia: + N„-i __ fijjr)
■1 l'on a
De C. — Cours. IV. !^-
Pour trouver les conslanles Mn, No, M|, N,, ..., M„,, N„,, nous Iransformerons ri(lontitc(i) en chassant le dénominateur F(^) et en isolant le dernier terme du second membre. Il viendra
Le premier membre de l'identité (2) doit donc être divisible par [(.r — a)- -h (3-)". Par conséquent, pour a; =: x-{- ^i, ce premier membre deviendra nul, et il en sera de même de ses n — I premières dérivées ( 1089).
On aura ainsi n équations de condition qui se partageront chacune en deux autres, en égalant à zéro leur partie réelle et leur partie imaginaire.
On remarque alors que, dans la première équation, tous les termes du premier membre, à partir du troisième, s'annulent pour ^ ^ a H- j3 i, de sorte que cette équation ne contient que les deux constantes Mo et No au premier degré. Comme elle se décompose en deux autres équations, ces deux constantes seront facilement déterminées.
Dans la seconde équation ou dans la première équation dérivée, les termes du premier membre ne s'annulent poui ^ = a 4- [3t qu'à partir du quatrième, et les termes conservés contiennent Mo, No, Mj, Ni, toujours au premier degré. Comme cette seconde équation se décompose également en deux autres, et qu'on connaît déjà Mo, Nq, on trouvera rapidement M, et Ni. On poursuivra le calcul de la même manière, jusqu'à la (n — i)i«™e équation dérivée qui fera connaître les deux dernières constantes M„,, N„,.
Exemples.
1310. i'' Soit à décomposer la fraction rationnelle /(.r) 2 — 4.r
F(.r) j:- — .r — 2 F (a:) = o donne ici l'équation du second degré .r- — .r — 2 = o, dont les racines sont .r, = 2 et a-o = — i.
On aura donc (li99)
F(^) .v — 1 x-i-i Pour trouver A et B, nous formerons le quotient
F'(j7) ^ '^.r — I ' et nous y remplacerons successivement x par les racines ^i et .r,. Nous aurons ainsi
4=—-= — 2 et B= — 5= — 2;
d'iiù
loU. 2° .SoiV rt décomposer la fraction rationnelle
F(.r). x(rt2,r2)
L'équation F(a;) = o ayant pour racines .r = o, .r = — «, .r = r/,
nous aurons
F(.r) ^ X X -H rt ~^ ,r — rt Four trouver A, B, C, nous formerons le quotient
fjx) ^ i
F'(,rj «2— 3a;2'
et nous y substituerons successivement, à la place de x, les trois racines (le F(x) = o. Il viendra donc
c'est-à-dire
jc(^a^—x^) a'-x 2 «2 ( .r -f- « ) 2 «2 ( ,r — a )
[")li. 3" iW// à décomposer la jractlon rationnelle
f(x) .r^ — .r -+- I F(.r) "" (.rH-i)(^2^i)*
Les racines de l'équation F(.r) = o sont la racine réelle j^ = — i, et les deux racines imaginaires conjuguées x = -h i ei x =— i. On aura donc
F{x) x-hi~^x-—i x-^i
|^4o ALGKBUE SLPEUIEUTIE.
Four trouver A, B, C, nous formerons le quotient
et nous y remplacerons successivement .r par les trois racines ûi', F(.r) = o. On a ainsi
2' — 2-4-2f 2(1 i) — 2 — li l{l-r-i)
c'est-à-dire
La somme des deux dernières fractions, qui sont imaginaires, donnant la fraction réelle '-^^ — 1 on a finalement
(.r-l-i)(x2-M) lix-^i) 2(x2-{-0
On aurait pu arriver plus rapidement au résultat, en ulilisanl directement la transformation spéciale indiquée au n° 1302, c'est-à-dire en posant immédiatement
et en appliquant la méthode des coefficients indéterminés (io07). En chassant les dénominateurs, on obtient l'identité
En V faisant .' = — i. on trouve
En égalant ensuite les coefficients de .r^ et de x dans les deux membres, on a les deux relations
d'où Ion déduit
iM = 1 - A = - - , N = - I - M = - i .
On parvient donc, comme cela doit être, à la même décomposition (pie précédemment.
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 'j^l
lol3. 4° '^^'^ <"' décomposer la fraction rationnelle
L"équation F(x ) = o admettant la racine triple j: = i et deux racines inégales .r = — i et j:- = o, nous poserons (1303)
f(x) Aq Al ^ A2 ^ B ^ G
On a ici F(.r) = (or — 1)3 Fi(.r) ou Fi(.r) = .r^-t-^. Comme il s'agit ilune racine triple, on n'a à poursuivre la division àef(x) par Fi(x), ordonnées suivant les puissances croissantes de x — 1, que jusqu'au troisième terme du quotient. Pour plus de rapidité, nous remplacerons dans le calcul ./• — i par X. On a d'ailleurs
f {x) = jx'* — i3x^-h i^x^ — 5.r-i-3, y (x) = lox^ — "igx^-^- i8x ^ 5, f" (.r) = 6o.r2— ySx -h 28, /"'(.r)=i20.r-78,
Fi(.r) = x^-!- .r, F'i (.r) = 2.r -f- I , F'J (.r) = 2, en même temps que
/[,^.t-,i=/(.)^(^-')-^'+(-^-.)'=ÇT
F,[n-.r-,] = F,(i) + (,r-ij^^-^(.r-ir-^^. Comme on trouve /<..-4 /■'(0-4 -£^-5 ni^.-- l'iill
F,(t)=2, F,(i) = 3, il reste à effectuer la division indiquée :
4 ^4X-^5X2-^7X3^5Xi ■ 2-^3X^X2 -6X-2X2 '.7 x--3X2
2X-H3X2-f-7X3-+-5Xi -^3X2+ X3
•742 ALGÈBRE SUPÉKIEURE.
Le quolicnl oblcnu équivaut à Ao+ AjX -f- AjX^. On a donc imniô
(lialement
Ao=''., Ai= — I, A2=3.
Le reste de la division est (1503)
(.;,,)3^2(.r-i)*=.(a; — i)3/,(.r), et il en résulte
fl{.V) = -2X—3.
Par suite.
Fi(.r) (x-i-\)x X -h ï X En formant le quotient
Fi(.r) IX ^ I et en niellant successivement — i el o à la place de x, nous aurons
Il viendra donc finalement
