r^ — l'ix^-h i/ix^ — 5x — 3 {x — i)'(-c -î- I)-P
{x — 1)3 {x — i)^ X — I .r -i- 1 X Les formules (3) du n" loOS conduiraient au même résultat.
lol4. 5" Soit à décomposer la fraction rationnelle
L'équation F{x) = o présente ici deux racines réelles inégales (o el — i) et deux racines imaginaires conjuguées (-r-iel — i), qui sont doubles. On pourrait opérer par voie de division, comme on l'a fait dans l'exemple précédent, ou encore suivre la marche indiquée au n" luOil relativement aux racines imaginaires multiples. On peut aussi, moins régulièrement, mais plus rapidement, se servir directement et sans algorithme spécial de la méthode des coefficients indéterminés. D'après la formule générale du n" lu06, nous écrirons
I A B JVJo.r-+-No Mi.r-HNi
En chassant les dénominateurs, on doit avoir identiquement
-f- (Mû.r -+- No) (-^2 4- .r) -^ (M,x + Ni) (x'--^ I) (j:2-^ .r).
Si l'on suppose successivement x = o et x = ~ i, on trouve
A = i et B = — 7 •
Égalons maintenant les coefficients des quatre premières puissances de X dans les deux membres, en admettant qu'on ait ordonné le second membre suivant les puissances décroissantes de x. Il viendra
A B -^ Ml = o. A -^ Ml -i- Ni ^ o,
,, A - 2 B ^- Mo ^ Ml ^ Ni = o. 2 A -^ Mo ^ Nq -^ M, -^ Ni = o.
Connaissant A et B, ces quatre relations d'identité donnent immédiatement et successivement
Ml = —7, Ni = —7» Mo = — -> No —
et l'on a finalement
x{x^i)(x'--^iy' X 4(-^-Hi) i{x^-^if 4(.^--^i)
Intégration des fractions rationnelles.
1515. La décomposition des fractions rationnelles permet de trouver plus facilement leurs dérivées successives ; elle permet aussi d'effectuer leur développement en série. Mais le but principal poursuivi par cette décomposition concerne l'intégration des différentielles correspondantes.
Nous allons indiquer succinctement les résultats fournis par celle intégration.
D'après ce qui précède, on a seulement quatre cas à examiner, puisque l'intégrale d'une somme algébrique de différentielles est la somme algébrique de leurs intégrales respectives (771).
1° et 2° Les deux premiers cas n'ont besoin d'aucun développement, et l'intégration est immédiate.
y) \ ALGÈBRE SCPKRIF.UKF.
S'il s'agit (le racines réelles inc,:{ales, on a (IWO)
ot, par suite (766, 775),
dx
Cf{x) ç kcix riidx rc.
— kl{x — a) -^\M{x — b) ^ CA{x — c)
S'il s'agit (Je racines réelles ninUiplcs. on a (1503)
/(^) ^ ^o ^ , Ko__ ,
et, par suite (775),
fl^^dx^ C '^'"^-^ -+- - r^dx ^
J t\x) -J [jo-ar "- J {x-by •-■
n — i(.r — a)"-' " p — ii.r— 6)
1516. 3° Considérons maintenant le cas de deux racines imaginaires simples conjuguées. Il s'agit alors (1502) d'intégrer une différentielle de la forme
dx.
(x-y.r-^^' Posons X -— y.z= z, d'où x = z -\- x el dx:= dz. Il en résulte
M^ + N ^ M^ + Ma + N,
dx = ; jrr dz
^ "Slzdz ^ {Ux-.~^)dz '" z^-^^-''^ z'^ ,32 Mais (775)
(Ma + N)rfz Ma + N
arc tang
On a donc, en revenant à la variable x,
(^-a)'^-^i3^'^'^^ 2 ^[(•^-«)--^î3']-t- • — g— arclang— ^
1517. 4° Considérons enfin le cas des racines imaginaires conjuguées multiples. On a alors (loOo) à intégrer une différentielle de la forme
Elle revient à la somme (77G)
'SKx — y.) dx ^ ( M a H- N ) dx
On a d'abord (775), pour le premier terme, ' ^ll{x—y^dx M 1
Pour intégrer le second terme de la somme, nous poserons cette fois, pour simplifier l'écriture, x — a=r3r, d'où(/.r=:j3r/^. 11 viendra ainsi
( M ^ -h N ) dx M y. -h N dz
Tout revient donc à l'intégration de la différentielle
dz
(sM-ir
Or on a identiquement
(^2 + 1)'^ (5^+1)'' (52+1)'-"- 1 (^^ + i)« Il en résulte
r dz r dz r z'- dz
Mais (775)
r z'-dz I /" 2zdz
et
izdz
y/\(\ ALGÈBUE SUPÉUIEXJUE.
l'ai" suite, on peut écrire
J (5^+i)« ""2.7 -'-'^L" («-i)(5^+ir-'J*
Il vient donc, en intégrant par parties (781), r z'^-dz z I 1 r dz
et, en substituant dans la relation (9.) et en réduisant,
dz z I 2/1 — 3 /'■ rf-
r dz z I in — ôldz
La recherche de la première intégrale est ainsi ramenée à celle d'une seconde intégrale toute pareille, où l'exposant // est seulement diminué d'une unité. La même réduction aura donc lieu pour celle-ci: et, comme n est un nombre entier, on parviendra finalement à l'intégrale
dont la valeur est arc lang z. La question sera donc complètement résolue.
On trouve, en partant de la relation (3) et en remplaçant successivement n par n — \ , n — 2, . . . , 2,
r dz z 1 2 n — 3 r dz
J (7-+1)" ~ 2/i — 2 iz--i-])"-^ ^ 2/1 — "^ J (:;-+i)"-' '
/' dz z 1 2/1 — 5 r ^-
J (5- +!)«-' ~ an — 4 (s^-t-i)"-- "^ 2/z— 1; J (c2 + i)'«-2 '
J (52 j jy,-2 — 2„6 (-2+1)'» -3 ^ 2"7r^ J (-2^i)«-3 '
r dz z 1 i r dz I
En ajoutant ces « — i équations membre à membre, après les avoir multipliées respectivement par les facteurs
ALGEBRE SUPERIEURE.
il vieni, après réduction,
(2 /i — 4) (2 /i — 6) (2 « — 8 (2 « — 3) (2 « — 5) (2 « — 7) ... 3 . 1 (2 « — 2) (2 ft — 4) (2 /i — 6) ... 4 • 2
arc fans':;.
Ln multiplianl ce resullat par ^., ■ et en remplaçant z
par ^ — F — '-) on aura donc l'intégrale de la seconde partie de
fi
la somme (i).
Dans les calculs numériques, on aura soin de ne pas oublier la constante arbitraire qui doit accompagner toute intégrale indéfinie (760).
1518. On peut remarquer que, lorsqu'on emploie les simplifications qui font disparaître les imaginaires, l'intégrale d'une différentielle rationnelle s'exprime toujours par des fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires.
Exemple.
1319. Appliquons ce qui précède ù la fonction rationnelle f{.r) I
que nous avons décomposée au n° 1514, et pour laquelle nous avons trouvé
.r(.r -Hi) {x--T- \ )- On aura
J .ri.r — IK•'^•-^0- rdx r dx r{x-\-\)dx r(3x-^i)i
'jiH ALOÈnUE SL'PKRIEURK.
11 viendra successivement
r(.r-hi)d.v r xdx r dx
c'esl-à-dirc
/Zx dx r dx 3 ,
( j.r-}-i) dx 3 ,. , ^ 1 -^U^^^)" = 8'(- + 0+ ^arctang,r.
Par suite, on a, en tenant compte des signes et on réunissant les fonctions de même espèce,
Ix — - l{x-^ •) — ô^('^"^"'" O
arc tauiïj: h- C.
Retour à la formule d'interpolation de Lagrange.
1520. Il n'est pas inutile de montrer que la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples, dans le cas où toutes les racines du dénominateur égalé à zéro sont inégales, conduit très simplement à la formule d'interpolation de Lagrange (1476).
Il s'agit de trouver approximativement les valem^s d'une fonction u de ^, lorsqu'on connaît les valeurs a^^ Uf, 11.2, . . ., n,i, qu'elle prend pour « + i valeurs quelconques .ro, :r,, X.2, . . ., j?,j de la vai'iable ce, ou de trouver la fonction entière /(vt), de degré n, qui peut la remplacer approximativement, et qui est alors complètement déterminée par les « + 1 valeurs
"o=f{^o), «i = /(^i), Ih = /{X2), ..., u„ = f{x„).
ALGEBRE SUPERIEURE. "49
Posons (i) F{a:) — {a.^ — .ro){a' — a^i){a' — ar2)...{J^ — x„); F(x) sera de degré « -t- i, et l'on aura (lOiO)
A" étant l'un des nombres o, i, 2, 3, . . ., «, si l'on fait, dans celte identité, a: = jc/^., le seul terme qui ne s'annule pas dans le second membre est celui dont le dénominateur devient .z'yt — X/i- En simplifiant ce terme, on a donc, d'une manière générale,
D'ailleurs, le degré de F(j?) surpassant d'une unité celui de la fonction cherchée/(^), on a, d'après la décomposition des fractions rationnelles et la détermination des numérateurs des fractions simples (1499),
F' ( ^2 ) -3^ — iT., "^ ' ' ' ' F' ( j:,i ) jc — a-,,
ou, en chassant le dénominateur F(x) et en tenant compte de la relation (3),
^ ^^ (j — >ri) (■/■ — .r,) (j; — j:-,). . .(a- — ^„)
(X — J"o) ('-«^ -r-l) (-^ — -Tz). . .(.37 — J?„)
* (.r, — J7„ j {cCi — JC-y) (J7, — X3). . .(X| — J7„)
(.r — ^0) (-3? — -Pi) (A" — J^,)- ■ ■(•^ — •^n-l^
On retrouve donc bien ainsi la formule de Lagrange.
Réciproquement, en partant de cette formule, on pourrai! obtenir celle de la décomposition des fractions rationnelles dans le cas considéré.
yOO ALGEBRE SUPER I EU R K.
Des séries récurrentes.
1S2I. Les séries récurrentex ont une liaison intime avec les fractions rationnelles. Nous terminerons donc ce Chapitre par leur étude succincte.
Toute progression par quotient indéfiniment décroissante constitue une série convergente ayant pour limite le premier terme a de la progression divisé par l'excès i — q àa l'unité sur la raison.
Réciproquement, en effectuant la division de a par i — «y, on retrouve la série comme quotient illimité (3S6). On est donc naturellement conduit à examiner les séries au point de vue du développement par voie de division d'une fraction quelconque.
-^; car, en divisant ses deux termes par a, on la ramène à la même
forme. La raison de la progression par quotient sera ici ^ •
Prenons la fraction
a H- bx -I- cx^
La division du numérateur par le dénominateur montre que le (juolient est de la forme
A-4-Ba--hCjc2-+-Da:3 — ....
On peut donc poser
et employer, pour déterminer A, B, C, D, . . . , la méthode des coefficients indéterminés.
En chassant le dénominateur et en effectnant. nous aurons, par un calcul régulier,
rt'-i- /v'x =^ Art -+- Ba I .r -î- Crt I .x^H- Da I x^-f-. . . .
-r-AZ»! -+-BZ*| -^Cb ~-Xc\ ^Bc
Va\ identifiant les deux membres, il vient
Art = a . Brt -f- A Z» = //, Crt ^- ^b -^ Xc
n« — C/> -h Bc = o, ....
Il en résulte
C = -^Aa
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 'j5l
Donc, à partir du troisième terme du développement, chaque coefficient est la somme des deux précédents multipliés respectivement par
c h et par ? c'est-à-dire que cliaque terme est lui-même la somme
au
c h des deux précédents multipliés respectivement par .r^ et par ./-.
Ainsi, cl)aque terme dépend des deux précédents, la loi ne s'applique pas aux deux premiers termes, et le dénominateur de la fraction est du second degré en x.
Considérons encore la fraction
a -\- bx ■+- cx"^^ dx^
En la développant de la même façon, on s'assure que chaque terme du développement, à partir du quatrième, est la somme des trois précédents multipliés respectivement par x^. x"^, x. Ici, cha-
que terme dépend des trois précédents, la loi ne s'applique pas aux trois premiers termes, et le dénominateur de la fraction est du troisième degré en j;. . . .
D'une manière générale, toute fraction de la forme
, ^ a' -^ h' à: -\- c' x"^-*- . . .^ II' x"^-^ (0 j ■ 1 ; '
c'est-à-dire toute fraction rationnelle [telle que nous les avons définies
(1498)] engendre un développement dans lequel chaque terme, à partir
du (/« -f- !)''='"'=, est la somme des m précédents multipliés respective-
ment par x"\ .j;'«-', .. ., x-. x. Le dénominateur
étant du w"""' degré en .r, la loi ne s'applique pas aux m premiers termes.
A cause de la relation constante qui existe entre un môme nombre de termes consécutifs pris n'importe où dans le développement (sauf la réserve indiquée), on donne aux séries ainsi obtenues, et qui sont ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de la variable x, le nom de séries récurrentes (i). L'ensemble des quantités par lesquelles il faut multiplier les coefficients des termes précédents pour trouver le coefficient du terme qu'on cherche constitue Yéchelle de relation de la série, et le nombre de ces quantités représente, si l'on veut, Yordre de la série récurrente.
(') Récurrent, qui remonte vers son origine.
La série qui répond à la fraction (i) a pour ccliclle de relation la
suite
et elle est du m"""" ordre.
Il faut remarquer que les m premiers termes du développement écliappant à la relation constante qui caractérise la série, ces termes peuvent se former d'après des lois très diverses. On doit avoir soin, en raison de ce qui précède, de ne pas étendre ces lois à toute la série.
lo!22. Lorsqu'on effectue, comme on vient de l'indiquer, le développement d'une fraction rationnelle, ce développement étant toujours équivalent au quotient du numérateur par le dénominateur, il faut nécessairement le compléter par la fraction qui a pour numérateur le reste auquel on s'arrête, et pour dénominateur, le diviseur. On ne peut supprimer cette fi-action complémentaire, que si l'on a établi qu'elle a pour limite zéro quand on prolonge le quotient ou la série indéflniment. C'est ce qui a lieu d'ailleurs lorsqu'on n'attribue à la variable x que des valeurs suffisamment petites et, dans tous les cas, moindres que l'unité. Le développement représente alors une série convergente (332 et suiv.).
lo23. En laissant de côté toute considération relative aux fractions rationnelles, soit une série
Ao-^ Aix — Aj-r-— Aa.r^ — . . .-^- \,iX"— . . .,
ordonnée par rapport aux puissances entières et croissantes de la variable x. Pour qu'elle soit rccurrente (lo21). il faut que, pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite, le coefficient A„ de j" soit une môme fonction linéaire des coefficients précédents ou des coefficients des puissances inférieures de x, pris toujours en même nombre quel que soit h. Si l'on désigne ce nombre fixe par/?/, on devra donc avoir identiquement, en désignant par a^, a,, ■xi, ..., a,„ des quantités constantes,
Vécliellc de relation de la série récurrente sera alors
Les deux théorèmes suivants établissent la liaison entre les séries récurrentes définies directement et les fractions rationnelles.
102 i. I. Lorsqu'une série récurrente, ordonnée suh'ant les puissances entières et croissantes de la variable .r, est co/n'er^e/ite, elle a pour limite ou pour somme une fraction rationnelle.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ^dS
Soit S la somme de la série récurrente (i) Ao-f- Ai.r-h Aî.r^H- A^x-^-h. . .4- A„.r"-f-. . .,
supposée convergente. La relation (1323)
( > I aoA„„, -+- a] A«/,;-4-i -!-. . .-^ a„,iA,,i -f- x„, A^ = o
sera satisfaite pour toutes les valeurs de // supérieures à une cerlaino limite, ni étant un nombre fixe.
Posons alors
(3) F(.r) = aoJ7'" -f- ai.r'«-' -^- a2,r'«-2|__ ,^ ot.,„-iX -;- a,„,
et multiplions la série (i) par le polynôme (3). Chaque produit i)ai'tiel [c'est-à-dire la série (i) multipliée par l'un des termes du polynôme multiplicateur] représentera une série convergente. Le produit total, somme de m -+- 1 séries convergentes, sera une série convergente dont la somme sera représentée par le produit S.F(x). Mais, si l'on ordonne cette dernière série suivant les puissances croissantes de .r. comme on a
An-m^"-'" X ^o-c'" = aoA„,„.r",
A,iX X 'x„i — !X),i.\ ,j.t' ,
on voit que le coefficient de a:" sera précisément le premier membre de la relation (2). Ce premier membre étant nul par hypothèse pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite, il s'ensuit que la série dont la somme est S.F(x) est composée d'un nombre fini de termes. Elle équivaut donc à un polynôme /(.r), et l'on a
S.F(./;) = /(.r), c'est-à-dire
^-FCr)-
132u. IL Réciproquement, lorsqu'on peut développer une jraction rationnelle en série convergente ordonnée suivant les puissances entières i-t croissantes de la variable .r, cette série convergente est récurrente.
Admettons qu'on puisse développer la fraction rationnelle ^ — : en
une série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de x et qui soit convergente pour des valeurs convenables de cette variable. On aura
(ij Y(T\ =^o^A,.r-i-A2.r2-(-A3.r3-^...4-A„.r''-4-....
De C. — Cours. IV. 48
-''^ ALGÈUnr. SLl'ÉRIElinF.
l^osons, en môme icmps,
(■?.) V(.r) rr- ao.r"
Le produit de la série (i) par le polynôme (2) sera ( 13âi) une sérii convergente ayant pour somme le produit
La nouvelle série convergente ainsi obtenue aura donc un nombre fini de termes, et le coefficient de .1" dans le produit considéré devra, pour toutes les valeurs de // surpassant une certaine limite, se réduire à zéro. On aura donc, pour toutes ces valeurs de // H.^âi),
et la série (i i est alors récurrente (1323).
1326. Cherchons à développer la fraction rationnelle n-r— < suivant
les puissances croissantes de la variable .r. Soit
()a voit qu'on a à développer en série par la formule du binôme une suite de fractions simples de la forme
Or, on peut écrire
(.r — aY
Et. pour qu'on puisse appliquer la formule du binôme et obtenir une série convergente, il faut (691 ) que le module de x soitliioindre que
celui de a ou que le module de — soit moindre que l'unité. On a alors. <omme développement de la fraction simple dont il s'agit, A(— 0^' r, ^ /, -L" ^ :^LZ" ' ' •'■' . ''■' /'" — 0 (A- -f- 2) .1^
Les autres fractions simples se développeront également on séries co.i-
ALGÈBRE SUPÉUIEURE. 'j5o
vergenlcs, pour loutes les valeurs de x dont le modale restera inférieur à celui de la racine deF(.r) = o qui a le plus petit module; et, en ajou-
, , , , . f(.JC )
tant toutes ces séries convergentes, on aura le développement de 'r^ — -
en série convergente et, par conséquent, récurrente ( 15:25). Le terme général de la série sera
Si toutes les racines de ¥(x) = o étaient inégales, il deviendrait (1499)
1527. Si le module de j.' est, au contraire, plus grand que celui de a E ou si le module de - est supérieur à l'unité, on remarque que celui de
- est inférieur a 1 umte, et 1 on cent
\.Q, développement de la fraction simple considérée devient alors possiljlo ou série convergente, et l'on a pour ce développement
AT L^ /• ^ __ ^l(A±JJ ^ ^ /.(A'-r- !)(/.• H- 2) «3 -|
de sorte qu'il a lieu suivant les puissances décroissantes de la variable .r. Les autres fractions simples se développeront également en séries i iiivergentes ordonnées suivant les puissances décroissantes de la variable, pour toutes les valeurs de x dont le module restera supérieur à celui de la racine de F(.r) = o qui a le plus grand module; et, en ajou-
tant toutes ces séries, on aura le développement de ~, — en série con-
vergente ordonnée suivant les piùssaiices décroissantes de la variable. Cette série n'en reste pas moins récurrente ( 1525). Pour le voir, il suffira de remplacer x par -•
1528. 11 est clair que, si Ton donne à x une valeur telle que son module soit compris entre le plus petit et le jtlus grand des modules des
racines de F(,r) = o, le développement do la fraction rationnelle ^, — -
se composera de deux séries convergentes, l'une ordonnée suivant les
puissances croissantes, l'autre suivant les puissances d Croissantes de
la variable.
756 ALGÈBllt: SUrÉUlETJUE.
1529. On peut léiinir en un seul énoncé tous les résultais précédents.
Toute fraclioii ruùotinclle -^ — peut cire développée en sc'ric coiir \-ï: )
vergente et, par conséquent, récurrente, ordonnée suivant les puissant croissantes ou décroissantes de la variable x, selon que le module de la valeur de x est inférieur ou supérieur au plus petit ou au plus grand des modides des racines de F(.r) = o. Pour toute valeur intermédiair( du module de x, le de'vclop])ei)ient de la fraction rationnelle est à la fus ascendant et descendant par rapport aux puissances de la variable.
1530. Lorsqu'on scdt qu'une série est récurrente, on peut trouver la somme S^ de ses n premiers termes par un procédé dû à Tiio.M.vs Simpson.
Soit la série récurrente
Uy -\- «2 -J- "3 -+- "i -^ . . . -r U,i-Z -T- ««-2 -+■ "n-l -T-Ua-r-.. . .
Supposons, pour fixer les idées, que son échelle de relation soit composée de trois quantités, c'est-à-dire que chacun de ses termes, k partir du quatrième, dépende seulement des trois précédents. Bien que nous considérions un cas particulier, notre raisonnement nous conduira à une solution générale.
D'après la définition des séries récurrentes (1523), et récliclle de rc
lation étant — -^, — ^j — 4? nous aurons
1' aui -7- 'iui -^ Y'/s a?/2 ^ - ^</3 ^-Y''i V ' ./ 1 a «3 -t- [B «i H- Y ur.
OUi
ÔM5
Oi/fi
1 aun-z-^ P«/j-2 -+- Y"'i-i -^ ^"'t — O" En faisant la somme de ces équations, on trouve évidemment
a(S„— Un-2— lla-y— '/«)-+- P(S«— • Ui— U„,-i-- Un)
On en déduit immédiatement
ç yA'fn-l-^l'n-l-^-'f,!)-^ ''^(Ui-VUn-l-hU„)-i-y(Ui-hU.2-\-n„)-^0(Ui-^/U-
L'échelle de relation contenant trois quantités, la somme S,» ne dépend que de ces quantités, en même temps que des trois premiers et des trois derniers termes de la somme cherchée.
ALGÈBUE SUPÉRIEURE. 'j5'J
D'une manière générale, si l'échelle de relation contient m quantités, la somme S„ ne dépendra, quel que soit «, que de ces quantités, ainsi que de ses m premiers et de ses m derniers termes.
Idol. Si la série récurrente est supposée convergente, la formule (3) [1530] permet de trouver sa limite ou sa somme totale S. Il suffit de se rappeler (362, 365) que, la série étant convergente, on a limM„ = o pour n = ^. La formule (3) deviendra donc, en supposant toujours que l'éciicUe de relation contient trois quantités,
D'une manière générale, si l'échelle de relation contient m quantités, la somme S de la série convergente et récurrente ne dépendra que de ces quantités et des m premiers termes de la série, suivant la loi indiquée par la formule (4)-
lo32. Si la série considérée est ordonnée suivant les puissances d'une même varialjle x, sa somme S sera une fonction rationnelle de .r.
En effet, les équations (i) [lo30], posées d'après l'échelle de relation, permettent de déterminer les quantités a, p, y, S, ... en fonction des termes uy, u^, Kz, «i, ... de la série. Ces quantités, puisqu'il s'agit d'équations du premier degré, seront donc des fonctions rationnelles des termes ui, ii^, «3, u-^^ . . . , c'est-à-dire de la variable .r ; et il en sera de même de la somme S, d'après la formule (4) généralisée.
On retrouve ainsi la proposition du n° lo24.
Soit, par exemple, la série récurrente
I -4- .r -f- .r 2 -^ 3 jc^ -4- 5 X* -i- 9 .r"* -i- 1 7 j:'"' -J- . . . , dont l'échelle de relation est (1323)
et qui est évidemment convergente pour x suffisamment petit. On aura, pour sa somme (1331),
c'est-à-dire
kui~- 4; {u, — ?/2 ) -^- («1 -+- "2 -^ "3 ) 0 0
^58 ,\i,f;kiîi;i: SUPKRIEUHK.
En développant celle fraction par voie de division, on retomlje bien sur la série proposée.
1333. Il resterait encore à montrer comment on peut essayer de reconnaître si une série donnée est récurrente. Nous renverrons sur ce point délicat aux Mémoires de l' Acadénde des Sciences de Paris pour l'année 1772, où Lagr.vngk a exposé, pour résoudre cette question, un. ingénieuse méthode.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ~ ÙQ
