ÉTUDE DES POLYNOMES HOMOGÈNES DU SECOND DEGRÉ
Indications préliminaires.
l.oS'i-. On entend, en général, par théorie des forâmes algébriques la théorie des fonctions homogènes d'un nombre quelconque de variables, le mot for/ne ne signifiant pas autre chose (|u'un polynôme homogène.
Le théorème démontré précédemment sous le nom de théorème des fonctions homogènes (580, 581) est une pro- |)riété très importante des fonctions homogènes de tous les <legrés.
Les formes sont linéaires, quadratiques, cubiques, biqua- (Iratiqaes, . . ., suivant qu'elles sont du premier, du second,
du troisième, du quatrième degré, On les appelle encore
binaires, ternaires, quaternaires. ..., suivant qu'elles renferment deux, trois, quatre variables, ....
Nous nous occuperons spécialement, dans ce dernier Chal)itre, des formes quadratiques ou des propriétés des polynômes homogènes du second degré. Ces propriétés sont utiles dans un grand nombre de circonstances et, notamment, au point de vue de la discussion des courbes et des surfaces du second ordre. C'est ce qui nous a engagé à reporter leur élude à la fin de VAlgèbre supérieure. Nous verrons en Géométrie analytique la liaison étroite qui existe entre les figures planes et les formes quadratiques ternaires, ainsi qu'entre les figures de l'espace et les formes quadr;iii(|ues quaternaires.
Nous commencerons par rappeler ou par établir ([uelques propriétés des fonctions linéaires homogènes, qui nous seront nécessaires.
"Go ALGtURE Stl'ÉRlF:UllE.
Des systèmes de fonctions linéaires et homogènes.
1535. On sait que loule fonction entière du premier degré contenant un certain nombre de variables est une fonction linéaire de ces variables. Elle est homogène, lorsqu'elle ne renferme pas de terme constant, et devient alors une forme linéaire.
Lorsqu'on remplace les variables, dans une fonction liomogène de degré quelconque, par des fonctions linéaires bomogènes d'autres variables, on dit qu'on exécute une substiLution linéaire homogène.
Lorsfiu'on a plusieurs formes linéaires des variables, toute forme linéaire obtenue en les multipliant par des quantités constantes qui ne soient pas toutes nulles et en ajoutant les produits est une combinaison linéaire de ces formes.
Les fonctions linéaires homogènes, considérées ainsi, peuvent être linéairement dépendantes ou indépendantes.
Elles sont dépendantes, lorsqu'on peut former une combinaison linéaire de ces fonctions qui, pour toutes les valeurs des variables, soit identiquement nulle (17). Elles sont indépendantes, dans le cas contraire.
Nous allons chercher les conditions de dépendance de formes linéaires données, suivant le nombre des variables ([u'elles contiennent, comparé à celui des formes.
1536. Lorsque le nombre des formes linéaires surpasse celui des variables qu'elles renferment, ces formes sont nécessairement dépendantes.
Supposons n formes /,, /j, ..., /„, et m variables j-,, j?.,, . . ., x,„{n > m].
W faut prouver qu'il existe des valeurs des coefficients /.,, X,, . . ., >.„, qui ne soient pas toutes nulles à Va fois, et telles (ju'on ait (pour toutes les valeurs des variables)
. \ '^■ifli-^l, ^-2, • ■■,^fm) -rhfli-^l^-^i^ ■ • -y-^m) "H . . .
Or, en ordonnant cette équation de condition par rapport aux m variables et en égalant séparément à zéro les coefll-
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 'j6 I
cients de ces variables, on obtient m équations homogènes ii n inconnues X,, I.2, . . ., >.„. Comme « surpasse m, toutes les inconnues ne peuvent pas èlre principales, et le système obtenu est indéterminé (101) [l'indétermination est de l'ordre il — m (91)]. Les quantités >.], l., ^/i pourront donc recevoir une infinité de valeurs simultanées différentes de zéro, par lesquelles l'identité (i) sera satisfaite.
1337. Lorsque le nombre des formes linéaires est égal à celui des variables qu'elles renferment, ces formes ne peuvent être dépendantes que si leur déterminant est identiquement nul.
[Lorsqu'on a autant de formes que de variables, le déterminant des formes est celui des coefficients des variables dans ces formes.]
En opérant comme ci-dessus (1536), on a autant d'équations homogènes que d'inconnues QJ), et il suffit de se reporter au n" 102. Si le déterminant des coefficients des variables est nul, toutes les inconnues ne peuvent être principales, et leurs valeurs sont indéterminées. Si, au contraire, le déterminant des formes est différent de zéro, les inconnues (}.) ne peuvent recevoir que la valeur zéro.
1338. Supposons, enfin, que le nombre des formes linéaires soit inférieur à celui des variables, qu'il y ait, par exemple, n formes et m variables [« < m z= n -h p]-
On pourra alors, en regardant p variables quelconques comme constantes, calculer le déterminant d'ordre n des coefficients des n variables restantes dans les formes proj)osées. On trouvera autant de ces déterminants qu'on peut supprimer de fois (avec changement) p objets parmi n-^p objets, ou autant qu'il existe de combinaisons de n +/> objets pris n à n.
Cela posé, pour que les n formes linéaires considérées soient dépendantes, il faut et il suffit que les déterminants dont nous venons de parler' soient tous nuls.
En effet, en opérant comme ci-dessus (1336), on obtient m équations homogènes contenant n inconnues 1^, }w ■••» ^'«• Comme n est inférieur à m, toutes les inconnues peuvent être ou non principales, c'est-à-dire que le système peut être
ALGEBP.E SUI'F.RIEUIIF.,
déterminé ou indélerminé (101). Si tous les déterminants du ,^ièmo ordre dont nous venons d'indifiucr la loi de formation sont nuls, les n inconnues resteront toujours indéterminées (102); et il est clair que les valeurs qu'on choisira pour ellc> satisferont aux m équations posées ou à l'identité (i) [1W6]. Il II en serait plus ainsi si un seul des déterminants considérés n' était pas nul.
Supposons, pour fixer les iilées, n --- 3 et m =3 5. On anrii
fi^^ Oi^i -i- biX,— b^X: ■— bj^Xi-T- b^x-.
Pour satisfaire à lidenlité (i) [li3!JJ, il faut trouver, poulies quantités Ài, À,, ^-.j, des valeurs non nulles satisfaisant, quelles que soient les valeurs des variables, aux équations
(l) ^/l>l - />,/2 -Ci>.:, -o,
( 3 ) ^'2 '^-1 — '^'2 ti -T- r, l:i = O,
Or, si les dix déterminants du troisième ordre obtenu.■^ pour les coefficients des inconnues >.,, À.,, >.3, en supprimant chaque fois deux des cinq équations de condition, sont tous nuls, les mêmes valeurs de Xj, \,, /s pourront satisfaire simultanément à ces équations.
Par exemple, si l'on rapproche le système (i, -3, 3) et le système (i, 1, 4), qui ne diffèrent que par une équation, les déterminants des deux systèmes étant nuls, on aura, pour \o premier système comme pour le second (.l/^'. éléni., 19! )
}.i ^ b^Ci — c^b, Xj c, (7.2 — ^1^2
}.3 (f\bi — ^1^2 ^-i aibo— biU,
de sorte que, si l'on choisit de part et d'autre la même valeur pour/.3, les valeurs de /., et de '/.^ seront aussi communes; etc.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. tÔS
Propriétés fondamentales des polynômes homogènes du second degré.
1539. Lorsqu'un polynôme homogène du second degré renferme n variables et est complet, le nombre de ses termes est
n{ii + i)
En elîet, il doit renfermer alors {Alg. élém., 22i) la somme
(les carrés de tous ses termes et la double somme de leurs
, , , , , . , nin — I ) produits deux a deux, c est-a-dire n carres et — ^ pro-
duils des variables (221).
loVO. On représente souvent les n variables de la formo quadratique paro^i, j?^, . . ., a^,; le coefficient d'un carré tel que x]^ par a,-^,-; le coefficient d'un produit tel que XiX j, par "iGij ou icij^i, indifféremment.
Toute forme quadratique /ou tout pol3'nôme homogène du second degré à a variables aura alors pour expression
/ =r 2 «/,/ -it-"! + 2 ^ a,-,y Xi Xj
(en faisant varier «et/ de i à n) ou, plus simplement,
en convenant de former tous les arrangements deux à deux avec répétition (232) des variables .r,, x^, . . ., r,,, et en tenant compte de l'identité ai^j^zojj, de sorte qu'on aura
a,-^jXiXj-h ajjXjXi= 9.aijXiXj.
Un trouve de cette manière, dans le cas de deux variables, en faisant varier i et y de i à 2,
et, dans celui de trois variables, en faisant varier i et / de t
/=c/,^i.<?j-i-a^^2;r^ + a.3^5^.3-;- 2r/, ,.ri.,r.,-[- 2^1,3.371073-)- 2 «2, 3-^2 -*':c
ALOÈBUF, SUPÉRIEURE.
On écrit plus rapidement, surtout en Géométrie analytique, dans le cas de deux variables cl dans celui de trois variables,
f=^kx-' +
A'j--t- A"^--i- ilàyz H- iWxz + aB^rv
1541. Considérons la fonction que nous venons de délinir
et désignons par \,, Xo, X3, . . ., X„ « nouvelles variables. Si l'on pose alors [les quantités (a) étant des constantes arbitraires] les relations linéaires
''f 1,2X2 -\- . . .-7- 3(]^„ X,î, ^2,2 -^2 ~^ • • • ^~ ^2,re ^«»
