X ,, — OC/, , 1 A
^■n,n ^/li
et si l'on transporte ces valeurs dans /, on opère (lo3o) luie substitution linéaire bomogène. L'expression (1) devient une fonction F des nouvelles variables, qui contient celles-ci de la même manière que / contient les variables primitives. Cette fonction F est la transformée de / par substitution linéaire. Le déterminant des coefficients de la substitution linéaire représentée par les équations (2), c'est-à-dire le déterminant
est le module de la substitution.
Les coefficients A,-,y de F sont évidemment des fonctions entières des coefficients de / et des constantes aij de la substitution linéaire, et l'on peut poser
V =^y,yk,j\,\j,
expression où l'on doit supposer encore A,,y= Ay,,-.
Si le déterminant ou le module de la substitution linéaire n'est pas nul, on peut (82 et suiv.) résoudre les équations (2)
ALGEBRE SUPEUIEURE.
tGo
|)ai- rapport aux nouvelles variables (X) qui sont ainsi des fonctions linéaires homogènes des variables primitives (.r). Dans ce cas, les fonctions /et F pourront se déduire indifieremment l'une de l'autre par une substitution linéaire. Nous allons démontrer à ce sujet une importante relation.
lo4-2. Notre raisonnement étant général, considérons seulement, pour simplifier, trois variables a:, y, z, et posons
a;=^aX-hb Y-.
-c'iZ,
Zz=:a,X-,-b,Y-r^
* Nous passerons ainsi de la fonction f{x,r,z) à la fonction F(X, Y, Z), et le module M de la substitution sera
(Il
Ih
M n'étant pas nul, X, Y, Z seront, d'après ce qu'on vient de
voir (1541), des fonctions linéaires homogènes de a:, y, z comme x, y, z sont des fonctions linéaires homogènes de X, Y, Z.
Désignons maintenant par U, V, T trois fonctions des mêmes varia])les x, y, z; ces fonctions seront alors des fonctions de fonctions par rapport à X, Y, Z. On aura d'abord (655)
«U := -^— dx H — ;— dv -+- -r- dz.
dx dy " dz
Si l'on divise les deux membres dé cette égalité par «^X, le j)remier membre devient la dérivée partielle de U par rapport à X (327, 566); dans le second membre, -t^j -t^? 7^-
et \. Cl ^v. et i\.
sont les dérivées partielles de x^ y, z par rappoit à X, dérivées partielles dont les valeurs sont a, a^, Uo, d'après les éfjuations (i)- On aura donc
Ux= aU^c-i-aiU',.-}- a^\}'..
D'après cela, on obtient, i)our les dérivées partielles des
-()6 ALGKBUE SUPÉniKURE.
irois l'onclioiis U, \, T pai- rapport à X, Y, Z,
uk -- « u.'r + ^, u;. -i- r/., u; , Vx = « v;^ + «, v^. -i- «2 v; , u'v -- ov'^^bi u;. H- /-^2 u; , vv = ^ v;, - ^, v;. + ^2 vi , Uz = ci]'^-hc, u;.+ C2 u;, ¥7.= c v'^-i- c, v;. + c^ v; ,
Tz=--cT:,-+-c,T;.-r-r,T;.
Il en résulte, d'après la nmltiplicatioii des délerniinaiits
Ux
Uz
ui
Vz
Tx
Tz
Tl.
ïi
Xe déterminant formé par les déri\'ées partielles des trois fonctions U, V, T, prises par rapport aux nouvelles variables \, Y, Z, est donc e^«/ a« produit du déterminant formé pa/ les dérivées partielles des mêmes fonctions, prises par rapport aux variables primitives x, y, z, par le module de la subslifution.
Discriminant d'une forme quadratique.
loi-3. Considérons toujours la l'onction homogène du second degré
J [Xi, X2, . ■ ■ , r„ ).
La demi-dérivée partielle de la fonction par rapport à r, a jiour expression (1510)
Oj [O-, H- ai , j;-.
" cti,i^-i
C'est donc une fonction linéaire homogène qu'on peut représenter par
En opérant de même pour chaque varia])le, on obtient n fonctions linéaires homogènes. Le déterminant des coefficients de ces n formes linéaires est ce qu'on appelle le discriminant
ALGÈBRE SLl>ÉraET.RE,
(1(1 polynôme ou de la fonclion /. J)"unc manière générale, roxpression fin discriminant d'un polynôme liomogène du se- » ond degré de n varialdes esl donc
En vertu de la condition rt,,y — «y,, (loiO), on voit que le discriminant esl un déterminant symétrique (61).
\'h\k. Dans le cas de deux variables, on a (327), en prenant les notations les plus simples (loiO),
/i- = -ikx — 2 B >', /,' 1= 2 B j:- + 2 C j',
Le discriminant est alors
D'après les valeurs des dérivées partielles du second ordre, on peut donc encore le mettre sous la forme (oi)
' j fk n.y
^\fky .G'- Dans le cas de trois variables, on a également
f{x, y, z) — kx'--^ A'/- — A"x.2 -^ 2 ^Y= + 2 Wxz -\- 2 Way.
/.;. = 2 A .r ^2 B" V -;- 2 B' ;, /;:^2B"^-2A'j- -f-2B^, f'^^iB'x -T-2Br -r-2A"^.
Le discriminant est alors (61)
