B" A' B = A A' A" -^ 2 B B' B" — AB^ - A' B'^ - A' B

D'après les valeurs des dérivées partielles du second ordre, on peut donc encore le mettre sous la forme

i5'i-o. On pourrait aussi, pour obtenir le discriminant d'une l'onction homogène du second degré désignée par y', avoir recours au théorème des fonctions homogènes (580, 581). En supposant trois variables .r, j, z, on a immédiatement, d'après ce théorème,

Jx = ^fx- -^ y Jx,y -r- ^fx,zi fy =-- ^fy,x ^ y/y'- + ^fy,z ,

f.=a^fix^yfly^zf:..

Comme les dérivées secondes sont constantes, on peut prendre pour discriminant

^ fx- fkr /;.= i

i /y.»" Jy- Jy<: •

\A:r fl.y fh :

Ce déterminant est symétrique, en vertu de la relation fondamentale (6o'2)

Jy<^- ~- /■'•y

Le discriminant ainsi trouvé est identique au précédent (I5ii), sauf un fadeur numérique, parce qu'on a considéré les dérivées partielles du premier ordre au lieu de considérer leurs moitiés. Ce facteur numérique disparaissant en général dans les applications, on peut conserver le dernier résultat.

1546. Lorsque deux fonctions homogènes du second degré peuvent se déduire l'une de l'autre par une substitution linéaire (1541), le discriminant de l'une est égal au produit

ALGÈBUK SUVÉIUKUUE. '^Ôo

(lu discriminant de l'autre par le carré du module de lasubsl il a Lion.

Le l'aisonneinenl étant général, nous l'appliquerons, pour simplifier, au cas de trois variables. Soit donc la forme quadratique

à laquelle nous ferons subir la substitution linéaire

i' ocz= a. X + 3 V -i- y Z,

z — ajX -T- |3,Y + -/aZ,

c'est-à-dire dont nous déterminerons (1541) la transformée (3) F(X,Y,Z).

Désignons |)ar A et par A' les discriminants des deux fonctions/ et V.

On a

•t il en résulte, d'après les indications données au n° 1542,

/ Fk — a/;. + ai/,'. + y.,f',,

Fv = (3/.. + [3./;+p,/:, ( Fz = -//;^y,/;-h7,/;.

Les trois dérivées partielles Fx, V\, V'i peuvent, par suite, iHre regardées comme des fonctions linéaires de .r, y, z, et ces variables sont elles-mêmes, d'après les relations (2), des fonctions linéaires de X, Y, Z. On peut donc appliquer à ces trois dérivées partielles la proposition du n" 1542, et écrire, en représentant par M le module de la substitution exprimée l)ar les relations (2),

i Fx. F'x.Y F.x^z

(^j) FU ¥k'. nj.

I 1 Z,X l/.Y 1 Zi

De C. — Couru IV.

n,.r n.y Fi., I

Fz,.r Fz,, Fz,; !

-O ALchniUv, SUPltRIEUUE.

(Ml ;i (r;iill(Miis, d'après les relations (5).

Fz,.v = y/:. + yi/;'..i -H 72./^..,-,

Ou voit ainsi que le second déterminant du second memln r de la relation (6) est le produit du module de substitution M |)ar le discriminant (loVo)

.A'... fh .A-,3 •

On a donc finalement, à la place de la relation (6).

A' W^\ ce cpii justifie l'énoncé.

Invariant.

toVT. Soit / une forme (piadratique contenant // varial)U's. Supposons qu'on la soumette à une substitution linéaire de module M, et (|u'on obtienne une transformée F. J)ésignons par 0 une certaine fonction des coefficients de /, et soit 4> la fonction analogue on semblable des coefficients F. Si l'on a

on flil que la fonction 9 est un invariant de la fonction /'. L'invariant est absolu, si l'on a M''=i ou ^ = 0. Cette définition peut s'étendre à un ensemble de fonctions.

{o\^. Si l'on considère maintenant des formes (juadraliques, il résulte du ibéoième fondamental du n» 1540 que les disvriiiunanls sont ries i/i\ririants. en raison de la relation

Les iuvariauls jouent lui rôle important dans la théorie des liunes et des surfaces du second degré.

ALGEBRK SI PKI; lEUUE.

Décomposition d'une forme quadratique en carrés, méthode directe.

loi9. Toute fonction homogène du second degré contenant n variablea est la somme des carrés de n formes linéaires {ou d'un nombre moindre).

Pour parvenir à cette décomposition, nous emploierons li'abord une méthode fondée sur le groupement des termes, à laquelle on donne souvent le nom de méthode par réduction.

Soit /(^ïj, œ-î, . . ., ^„) la forme quadratique considérée. Il y a deux cas à distinguer :

I • Supposons que la fonction f renferme au moins le carré de l'une des variables, .r, par exemple. On pourra alors, en l'ordonnant par rappoit à œ^, la mettre sous la forme

'/. est une constante; [i est une fonction linéaire des n — i autres variables .^•2, ^3, •••,-^/, ; '■> est une fonction homogène du second degré des mêmes variables.

On a alors

/ = /. J-J ^ 2 jULO-i — V Z= y (À- .r'I — '.i 'jI^Ci -i- Àv)

On a ainsi fait apparaître un premier carré, qui est celui d une forme linéaire pouvant renfermer les n variables; et la

partie complementan-e, v— '-.- , représente une fonction homogène du second degré qui ne contient plus que n — i variables. (Elle peut en contenir moins à cause des réductions possibles.)

■i" Supposons que la fonction f ne renferme le carré d'aucune variable, mais qu'elle renferme, par exemple, le produit des deux variables œ^ et x^. En l'ordonnant par rapport à ces

(I<Mi\ vniiiililcs. <»ii pourra la niollrc sous la foriiie

}> est une constaiile; ,a et v sont des fonctions linéaires des /< — 2 variables autres que j?i et or,; p est une fonction homogène du second degré de ces n — 2 variables. On a, évitlemment.

Mais, en vertu de l'identité, A + B

on a aussi

On fait cette fois apparaître deux carrés, et ces carrés son! ceux de deux foi-mes linéaires pouvant renfermer les n variables; mais, en même temps, la partie complémentaire.

p — ^> est une fonction homogène du second degré qui renferme, au plus, les // — 2 variables autres que .r, et r.,.

Ainsi, d'après ce qui précède, on peut toujours mettre en évidence, dans la fonction /, an on deux carrés de formes linéaires qui peuvent renfermer les n variables. Dans l'hypothèse d'un seul carré, il reste à considérer une fonction homogène du second degré contenant au plus n — i variables; dans l'hypothèse de deux carrés, il reste à considérer une fonction homogène du second degré contenant au plus n — 2 variables.

On n'a donc qu'à poursuivre l'un ou l'antre procédé sur l;i fonction complénientaire; et, à cluniue carré mis en évidenc(\

ALGÈBRE SUPÉllIEUrxE. 7~3

iirespoiulra la disparition d'uiu' nouvelle variable dans la nouvelle fonction à décomposer.

On voit par là qu'on obtiendra finalement n carrés, si les r jelTicienls de la fonction /sont généraux ou indéterminés. Dans le cas contraire, quelques-uns de ces carrés pourront m;inquer.

looO. Il est évident, par la façon même dont nous venons de procéder, que cette décomposition de la fonction / en .'/ carrés peut se faire de plusieurs manières, suivant l'ordre dans lequel les différentes variables interviennent. Si cet ordre change, les résultats obtenus sont distincts.

On le vérifie directement en appliquant à la question la méthode des coefficients indéterminés. Dés que n est plus grand que i, le nombre des coefficients indéterminés surpasse celui des équations de condition, et il y a une infinité de solutions ou une infinité de décompositions en n carrés.

Avant d'aller plus loin, il ne sera pas inutile de donner ixn '\emple de la méthode directe qu'on vient d'e\poser (1549).

Application.

1531. Soil la fonction liomogène du sjcond degré à trocs variables, dont les coefficients sont supposés indéterminés, et qu'on veut décomposer en une somme de trois carrés.

On a

/\,r, )•, :■) =: Aj"--i- A'j)'--- A"^--r- ^B )•:: H- 2B' jrz -i- 2B''.rj»-.

En ordonnant par rapport à u\ il vient

— \j-~:- ^{B'z ^ B'r).z- — Vv'-^ .Vz--^ ^Brz ^'[\--jc-2^2{B'z-^ B"^)-)A.r -r- \{\'y'-^Vz'--h '^Bj;)]

= i;[Ax + (B'c+B"r)]^-!-A(A>^ + A"--^+2B/.-)-(B'x:^B"j)M. Il en résulte

- • .'Vr ' B'--B"vV^ • A(AV-f- A-..M- 2Byz) - {W z + B" yY

-^1 ALGÈBllK SIP|';rIEI;RE.

On ;i (loiir un picmier carré, et il reste à décomposer la

(onction

\ ( A'j^- \"z-'-^ 2hvz.) — {B'z^ B'yV- ./. - ■ - ^

On a, en développant,

, AA' v^ -^ AA" :.'- ^- 2 Ali >■; — W'-z'— 2 B' B" yz — B"' v' •^•" A

ou, en ordonnant pai- iaj)port à /, fr-=\ [( AA'- B"ny'- 'iiAH - B'B")yz - (AA - B'^z'-]

, ^|^(AA li ). vV-B"^ -J-

On trouve ainsi un second carré, et il n'y a plus à considérer que la fonction