A ' A(AA'-B"^) ' AA'— B

V,r + B';; ^ B"7= X, ( AA- B'^) > - ( AB - B'B' )c = Y, ^ Z,

on a finalement

On peut remarquer cpie \ est la demi-dérivée partielle

-/^., et que Y est la demi-dérivée partielle -/,',. multipliée

par A. On peut aussi remarquer que 7 est le discriminant A de la fonction/ (loii) divisé par AA'— B"^ c'est-à-dire divisé

par le mineur de première classe el de second ordre {\ï) nii'on obtient eu supprimant, dan? le discriminant A, la der-

suppi

iiière colonne et la dernière ligne.

Des décompositions irréductibles.

1552. 11 résulte de ce qui précède (loi9) qu'une forme quadratique contenant n variables est toujours décomposable en une somme de n carrés de formes linéaires ou en un nombre moindre au moins égal à i. Mais, une fois cette première décomposition obtenue, on peut indiquer d'autres décompositions renfermant un nombre quelconque i\e carrés.

En effet, supposons qu'on ait décomposé la forme quadratique f de n variables en une somme de carrés de formes linéaires représentée par 2, et renfermant au moins un carré. Désignons par 2^ la somme des carrés de p formes linéaires des mêmes variables, ces formes étant cboisies arbitrairement et p étant quelconque.

On a identiquement

O,.^ i,— i, est une forme quadratique des n variables considérées qu'on pourra toujours, par la métbode directe de groupement des termes (154-9), décomposer en un nombre de carrés, égal ou inférieur à n, mais au moins égal à i. Par suite, la forme quadratique / se trouvera décomposée en un nombre de carrés, supérieur à /^, et p est quelconque.

1553. Parmi toutes ces décompositions possibles en nombre infini, il est naturel de cbercber à distinguer celles qui renlermoni le plus petit nombre de carrés. Elles ont pour caractère commun de ne pouvoir être remplacées par une autre décomposition contenant un nombre moindre de carrés. On <lit alors qu'elles constituent une décomposition en une somnir lie carrés irréductible.

Nous allons montrer (lue la décomposition en carrés est réductible ou irréductible, suivant que les formes linéaires élevées au carré dans cette décomposition sont elles-mêmes dépendantes ou indépendantes ( 1535).

"() Al.cklU'.E SUPIUIIF-URK.

155^. LovsfjH' mit' forme fjuaclraLi(jue f, de n variables x^,

.T.2, r,,, est décomposée en p carrés de formes linéaires

dépendantes, on peut la décomposer en un nombre moindre de carrés de formes linéaires.

Supposons que (9) représcnlc une forme linéaire des variables, y compris le facteur numéiique fiuo celte forme iieni admettre, et f|n'on ait

Les formes linéaires (9) étant dépendantes, on a (1535), les coefficients (À) n'étant pas tous nuls,

( 9. ) À, 9i — À, 90 -i- . . . T- >./, Op = o.

Admettons que /./, soit diiTérent de zéro. On (iéduit de la ri'lalion (2)

Op —

et l'identité (i) devient

f=ol+ol-h..

( 1 /><•«) \ / Ài 91 + À, 9, H- ... -h /.,,

Si l'on regarde alors/ comme une forme quadratique des nouvelles variables 9,, 92, . . ., Op-i, on pourra, en employant la méthode de groupement des termes (lo^i.9), la décomposer en une somme de p — i carrés au plus de formes linéaires des variables 9,, 92, . . ., 9/^-1, ou des variables primitives .r^, j'o, . . ., .r„. Par suite, la décomposition (i) pouvant être remplacée par une autre décomposition, contenant un nondjre moindre de carrés, n'est pas irréductible (1353).

1555. Lorsqu'une forme quadratique f, de n variables .r{, ■i'.2, . . ., ir„, est décomposée en p carrés de formes linéaires indépendantes, cette décomposition est irréductible.

Les formes linéaires étant indépendantes, le nombre n des variables ne peut pas être inférieur au nombre p de ces formes (1536); mais il peut être égal ou supérieur (1537. 1538). On a donc deux cas à distinguer :

ALGÈBRE SL'l'ÉRlEUKK. 'y^'y

Soil d'abord n =/>.

11 faut prouver qu'il n'existe aucune décomposition contenant moins de p carrés et reproduisant/. Représentons les formes linéaires de la première décomposition par (9), el les formes linéaires d'une seconde décomposition réduite (regardée comme possible) par {^), en admettant que ces symboles comprennent les facteurs numériques qui peuvent affecter les formes linéaires correspondantes. Il s'agit de monlrcr que l'identité

est im|)ossible.

En prenant les dérivées partielles du premier membre de cotte identité par rapport aux variables a-^, x.>, . . ., jc,, [/? =: /?], et en les égalant à zéro, on obtient un système de p équations linéaires et bomogènes (dont on peut diviser les deux membres par 2). En considérant alors les formes (cp) comme nouvelles variables, le déterminant de ce système est celui des coefficients des variables primitives dans ces mêmes formes, et il ne peut être nul puisque les formes (9) sont indépendantes (1537). Le système des variables (9) n'admettra donc pas d'autres solutions (101) que

Mais, si l'on revient dans ce système aux variables primitives, le déterminant reste le même, et l'on n'a pas d'autres solutions pour ces variables que

D'aune pari, si l'on opère de la même manière relativemeni au second membre de l'identité (i), on obtient un système d'c'qualions

dont les solutions devraient être identiques aux précédentes. Or, ici, le nombre des variables surpasse celui des équations. I*ar conséquent, ce second système est indéterminé (101) et admet une infinité de solutions autres que zéro pour les variables ^1, ^2, • • ■ 1 -^n-

Lorsque l'on a nz^p, l'identité (i) ne peut donc pas exister.

--S ALGÈBRF. SUPÉRIEURE.

Soit maintenant n >- /?.

Eu égalant à zéro les dérivées partielles du premier membre de l'idenlilé (i) par rapport à ^i, x.y, . . ., x„, et en prenant pour nouvelles variables les formes (o), on obtient n équ.ilions contenant p variables, les coefficients de ces variable» étant les coefficients des variables primitives dans ces mêmes formes (9).

Ces formes étant indépendantes par bypotbèse, les déterminants du y;''-"!'' ordre, obtenus en supprimant de toutes les manières possibles n — p équations sur les n équations considérées, ne seront pas tous nuls (1538), Il n'y aura donc pas indétermination, et le système des variables (9) n'admettra pas d'autres solutions (101) que

9,1=0, 9,=:o, ..., 9,, =ro.

Mais, si l'on revient dans ce système aux variables primitives j:-,, jco, .... ^„, on a n inconnues el p équations, de sorte qu'il y a pour ces inconnues indétermination df l'ordre n — p.

En raisonnant de même par rapport au second membre de l'identité (i), on arrive au système

o, •4'2='5' •••' Vp-i = o.

dont les solutions, ])ar rapport aux variables primitives, devraient être identifjues aux précédentes. Or, ces solutions seront bien indéterminées, mais l'ordre de leur indétermination sera n — /> -^ i .

Il s'ensuit que l'identité (n ne peut pas avoir lieu, et (|ue la décomposition de la forme quadratique / est irréductible dans ce second cas comme dans le premier.

1556. La méthode directe par réduction (15i9) conduit à une décomposition irréductible.

Pour le démontrer, il suffit d'établir que les formes linéaires, que cette métbode met en évidence, sont indépendantes (1555).

Or, quand une forme quadratique /, de n variables, contient au moins le carré de l'une d'elles, x^ par exemple, on sait que l'on peut mettre en évidence un premier carré d'une forme linéaire contenant les n variables, augmenté d'une

Al.GEBUE SUPERIEURE. 'J-()

autre forme quadratique ne contenant plus .ri. Il y a donc nécessairement indépendance entre la première forme linéaire et celles qu'on peut déduire par le même procédé de la seconde forme quadratique, de sorte que la décomposition de /' ainsi poursuivie sera bien irréductible.

Si la forme quadratique / ne contient le carré d'aucune (les variables qui y entrent, elle renferme le produit de deux d'entre elles, j-i et .r, par exemple. On peut alors mettre en évidence, par une première opération, deux carrés de formes linéaires contenant les n variables, tandis que la partie complémentaire est une seconde forme quadratique qui ne renferme plus jTi et J-.2- Il y a donc nécessairement indépendance entre les deux premières formes linéaires et celles qu'on peut déduire de la seconde forme quadratique en appliquant le même procédé, de sorte que la décomposition de /ainsi continuée sera bien encore irréductible. On peut aller plus loin et montrer que les deux premières formes linéaires obtenues sont elles-mêmes indépendantes, c'est-à-dire r[u'on ne peut pas avoir (1535), en désignant par a et ^ deux constantes différentes de zéro et en se reportant au n^" 15i9,