VA / \ ^ 2V A
En effet, cette identité exige que les coefficients de j:', et de r, soient nuls ou qu'on ait a — ,3 = o et 3: — p = o, ce qui i-ntraine a ^ o et [3 ^ o.
Décomposition d'une forme quadratique en carrés, par l'emploi d'une substitution linéaire.
1557. Soit une forme ([uadraliquo / de n variables, à laquelle nous ferons subir une substitution linéaire (1535). admettons que cette substitution ait produit la décomposition de la forme / en /i carrés, tels que
(Ai,()^^'i -^ A.2,o.r.,^ A:j,o.r3-i- ... 4- A„,oa-„)-.
(Le premier indice répond dans cbaque terme à la variable associée et le second, au rang du carré dans la décomposition obtenue.)
11 y a identité entre la fonction / et la fonction trans-
- 'o Ai.r.i:i!KF, sui'ÉuiEUUi:.
lorniÔL' r, de sorte ([u'on peut poser symljoli(|ueincii! (Io4-0)
Il y a, en général ( looO, 1552), une infinité de S3'stèines de valeurs des indéterminées (A), (jui rendent idenli(|ues les deux membres de la relation (i). Choisissons l'un d'eux, el posons pour ce système les é(|uations
iXi := Ai,i i3"i -!- Ao^i œ.2-\- . . ■ -^r A,j^i X,,,
l X« — ii.Tî'^i "T- A.>„.z.> -l- . . . 4- A,2j„ J:'».
Si le déterminant J) des coefficients des variables .r., œ.^, . . . , ^„, dans les équations (2), n'est pas nul, on pourra tirer de ces équations des valeurs finies el déterminées (82) pour ces mêmes variables, et l'on aura (80)
Cette substitution linéaire transformera alors la forme (lua- (Iratique /'en une somme de n carrés, et l'on aura
/=X?+X^ + XJ-t-...^-X^
Nous avons trouvé précédemment (iSiO), pour l'expression de lu domi-dérivée partielle de/ par rap])ort à jcj,
c'est-à-dire
.VLGLBRli: SUPÉRIEUUE.
Comme on a aussi
on peut en déduire également (564), en prenant les demidérivées partielles des deux membres par rapport à a-,,
(5) l/;= V(A,,oJ:-i-l-A2,o.f24-. . . + A„,oJ?„)A,-,o.
fj = i
En comparant les valeurs (4) et (5j, on trouve [le coel!;cient de ^/, dans la relation (5) étant -'u,6]
a;^/, = ^AA-j)\f,':,
0 = 1 pour toutes les valeurs des indices i et / . On a donc
(^6) rt,-,A — A/,iAA-,i-f- A,-,2 A^.,2'r-- • .-h A/,„ A/,,,i.
Mais le discriminant A de la forme / est précisément (1543) le délerminant
tandis qu'on n, pour le déterminant D des équations (■*), en prenant les colonnes pour les lignes et inversement,
Al,l A|,2 Ai,:5 . . . A,,„
Or, d'après la relation (6) cl l'expression du carré d'un déterminant (73), on a évidemment
Ainsi, le (liscriminaiU de hi ionne qiMcliatii|ue esl épil an
jS:>, ALGÈBRE SUPÉP.IF.URF..
ciii-ré (lu délermiiianl des équations (■?) [par lesquelles on repasserait de la transformée F à la ionclion donnée/].
D'ailleurs, la condition nécessaire et suffisante pour que la substitution linéaire qui transforme / en une somme de n carrés puisse être effectuée, c'est que le déterminant I) soit différenl de zéro ou, ce qui revient au même d'après la relation (7), que le discriminant ou l'invariant A de la forme quadratique/soit différent de zéro.
En résumé, tant que le discrimina ni de la foi me quadralifjue considérée n'esL pas nul, on peut la décomposer par un substitution linéaire en une somme formée d'autant de carres que la forme contient de variables. C'est ce qui devient impossible, lorsque le discriminant de la forme est nul.
Nous allons préciser davanlaire ce résultat important.
Conditions relatives au nombre des carrés de la décomposition, lorsque ce nombre est moindre que celui des variables de la forme quadratique.
1558. Pour qu'une forme quadratique f de n variables puisse se décomposer, d'une manière irréductible, en moins de n carrés, il faut et il suffit que son discriminant A soit nul.
Supposons p << n, et soit
J^es formes linéaires Xi, X^, . . ., X,, sont nécessairement indépendantes, sans quoi la décomposition ne serait pas irréductible (155i). D'ailleurs (101), le système obtenu en égalant à zéro ces formes linéaires admet une solution où les valeurs des inconnues ne sont pas toutes nulles.
D'autre part, il est clair que les demi-dérivées partielles de
/, telles que -/j-,, sont des formes linéaires des (X). La solu-
lion indi([uée annulera donc les demi-dérivées partielles par des valeurs des variables qui ne sont pas toutes nulles. Il en résulte que le déterminant des demi-dérivées partielles ou le discriminant de/(loi3) est nul (103).
Ainsi, toutes les fois que la décomposition contient, dune manière irréductible, moins de carrés qu'il n'y a de variables, l(î discriminant A est nul.
Inversement, supposons A =: o et admeltons pour un instant qu'on ail
Il y aura entre les demi-dérivées partielles de la forme quadratique / (dont le discriminant A est le déterminant), ou (Mitre ces dérivées partielles elles-mêmes, certaines relations linéaires et homogènes (105), et au moins une, de la forme [tous les (À) n'étant pas nuls]
Ces dérivées partielles étant toujours des formes linéaires des (X), telles que
(3) /r,= «1.1^1+ SI/^oXo-H- . --t- a,-,„X„,
^i on les remplace par leurs valeurs dans la relation {2). il vient évidemment, en ordonnant par rapport aux (X),
- (A, ai,2 -4 Ào 2^2.2^- • ■+>'«««. -2 )X2
Ins
Si tous les coefficients des (X) ne sont pas nuls, la relation (2 bis) prouve que l'une de ces formes linéaires peut s'exprimer en fonction des autres. Si tous les coefficients des (X) sont nuls dans cette relation, le déterminant des coefficients (y.) des (}.) est forcément nul (lOi); ce qui entraîne encore certaines relations linéaires et homogènes entre les (X) dont les (a) sont les coefficients dans les équations analogues à l'équation (3) [91], et la même conclusion suhsiste.
La forme quadratique / ne renfermera alors au plus, par l'élimination de l'une d'elles, que n — i variahles (X). La méthode de réduction (lo'+9) ne pourra donc ramener /à plus ,1e /, — I carrés de formes linéaires de ces mêmes variahles (pii, par suhslitution, deviendront n — i carrés de formes linéaires des variahles primitives ^1, a-.,, . . ., .r„.
Le théorème est donc étahli.
~<^i ALGKBUK SUl'l'niKUP.i:.
lo.'iî). /'du/' fjii'tinc forme r/uarlralù/uc file a variables sr décompose, d'une manière irréductible, en une somme de p carrés déformes linéaires de ces variables {p < n), il faut et il suffit que. son discriminant A étant nul, les mineurs de ce délerndnant. d'ordre p -h i ou de classe n —p — i, soient tous nuls, sans que la même condition soit remplie par 1rs mineurs d'ordre p ou de classe n — p {\k).
Supposons (Hi'on ail On a, à la lois ( loi3), les n varial)los étant x^, x.^. ,■„,
^^) X,= a;,ij:'i+ 3{,-,2^'2^. . .-4- a,-,„^„.
En api)li(|uant alors le théorème des fonctions composées (567) à réqnalion (i), il vient
Le discriminant A étant le déterminant des coefficients des demi-dérivées partielles (1543), considérons Y un quelconque de ses mineurs d'ordre y> + 1. On peut admettre que, par des changements permis, on ait amené ce mineur à occuper les p + i premières colonnes de A, en faisant concorder les indices des variahles avec les rangs des colonnes. On fera ainsi intervenir les coefficients des /; + i variahles ^,, ^,, ..., ./•/,+!. Annulons les n—p — i autres. Les relations telles que ('i) et (3) contiendront alors seulement les p -i- 1 premières variables, et leurs premiers membres deviendront, si Iom veuf, o'i et X; pour a-^^. = Xp+, = . ..~x„ = o.
Mais les équations X; ^o (/ = i, 2, 3, ...,p), contenant p-\-i variahles et étant en nombre /^ admettront une solution où toutes les valeurs des inconnues ne seront pas nulles {iOl ). Pour cette solution, tous les 9: [équations (4) et (2)] s'annuleront, de sorte que le déterminant des coefficients des variables conservées [équation (2)] a;, uu, . .., .r,,.^,, sera lutmemeéi^alù zéro, puis(iuc toutes ces variahles ne sont pa>
ALGEBRE SUPERIEURE.
nulles (101). Ce déterminant n'est d'ailleurs auli-e chose que le mineur d'ordre p -h i considéré dans le discriminant A.
Le même raisonnement pouvant être répété pour tous les mineurs d'ordre /> — i, ces mineurs sont tous nuls, et il en est nécessairement de même des mineurs d'ordre />-r-2,/JH-3, ..., jusqu'au discriminant A lui-même.
Ainsi, la décomposition irréductible de la forme /de n variables en p carrés entraîne la nullité de tous les mineurs d'ordre /> + i de son discriminant A.
Supposons maintenant, réciproquement, que tous les mineurs d'ordre p + 1 du discriminant A soient nuls, sans que tous les mineurs d'ordre p remplissent la même condition : on pourra alors décomposer, d'une manière irréductible, la forme quadratique / en/» carrés.
Prenons Vun quelconque des mineurs d'ordre p qui ne sont jias nuls. On peut admettre, comme précédemment, qu'on l'a amené, par des changements convenables, à occuper les p premières lignes et les colonnes 3,, ,82, ..., '^j,, du discriminant A. Ce mineur sera alors exprimé de la manière suivante, et l'on aura, par hypothèse,
ah
Cl'-
On a en même temps, en bordant ce déterminant comme il est indiqué.
ait' ci't'
En effet, si l'on décompose ce dernier déterminant en raison des n éléments polynômes de la dernière colonne (06), on oh-
De C. — Cours. IV. jo
ALOKBP.F, SUPi:niEUnK.
tifiil // (Irleriiiiiiaiils de la forme (nous écrivons seulement [voir é(|ualion ( >.)] «f, ai, . . ., au lieu de «/,,,, «yi,.,, . . .)
{Ghis]
ah
p+ii
%, i>+ii
et tous ces déterminants sont nuls : les uns, identiquemeni, si l'on donne à /. les valeurs [3,, 3,, . . ., (3/„ puisqu'ils ont alor^ deux colonnes identiques {kl); les autres, comme mineurs d'ordre /^h-i, si l'on donne à /. les autres valeurs entières j entre i et n, y compris ces deux limites. i
Il résulte de la nullité du déterminant (6), qu'il existe (104) une relation linéaire homogène entre les demi-dérivées partielles qui y entrent, de sorte qu'on pourra obtenir - fx„h G"
fonction des autres demi-dérivées partielles - f',- , - f',-
- fy. . Le coefficient de - /, ^, dans cette relation est précisé-
ment le mineur d'ordre/) considéré spécialement [relation (5)]. Comme ce qu'on vient de dire s'applique pour
on voit qu'on pourra obtenir les n — p demi-dérivées partielles -/i,^,» r/.r,,^-;. •• •' 7/.v„^ en fonction des p premières
Cela posé, on peut écrire, en remplaçant [étiualion ( O] / par [3/ et en mettant cet indice en exposant,
(7) -/r. =«?'-^l+ (il'-^l
et l'on a, évidemment,
iy:;,
D'ailleurs, en bordant le déterminant (5) comme ci-dessus, après avoir échangé les lignes et les colonnes, on a
En effet, dans la dernière colonne, les (Gf^.) se décomposent en p termes de la forme «|'>r/,., et o se décompose en p termes
de la forme -/^^..iC/,. Le déterminant (9) se décompose donc
lui-même
en
p déterminants de
la forme
((,to)
Ir If
JClc,
et tous ces déterminants s'évanouissent comme ayant deux, colonnes identiques, quand on fait varier k depuis i jusqu'à p.
Remplaçons maintenant dans le déterminant (9), dont nous venons de démontrer la nullité, les (GPO et 9 par leurs valeurs déduites des relations (7) et (8).
9 comprendra n — p -^ i termes, et il en sera de même des (G^O- Oïl pourra donc décomposer le déterminant (9) [qui est nul] en n — /> -r- 1 autres déterminants. Le premier de ces déterminants sera
(iO)
ih a>-
ih ah
ïA,
2 Ai
ai].
2 Ap
n88 ALGÈBRE SLPÉIUELRE.
Les II — p (léierniinants qui le suivent sont évidemment {oh) <le la forme
ai-
ri'iv
ai'' a?'-
et chacun d'eux est nul, d'après le calcul développé précédemment relativement au déterminant (6), dont ces n — p déterminants ne diffèrent que par l'échange des lignes et des colonnes. Il en résulte que le premier déterminant (lo) doit être nul lui-même, et l'on ohtiendra ainsi / comme fonction
quadratique de -/;,, -/.,',,
-/; et de -/;., , -/;.
Mais nous avons vu, à la fin de la première partie de cette démonstration, qu'on peut obtenir -/î .,, -/i-^., ..-, - f'.i„ et.
Il I ;
en fonction de -/j .
a Jorliori, -^ J , -./.,,^,
Il faut donc en conclure que, toute réduction faite, /est une forme quadratique qui ne contient que ces dernières formes linéaires qui sont en nombre/», c'est-à-dire que sa décomposition irréductible comporte seulement /? carrés : c'est ce qu'il s'agissait de prouver ( ').
Conditions pour qu'une forme quadratique se réduise à un carré parfait ou à un produit de deux formes linéaires.
loGO. Pour (jue la forme quadratique soit un carré parfait (sauf un coefficient numérique), il faut que sa décomposition irréductible ne renferme qu'un carré. Il suffit donc, pour
( ' ) Voir à ce sujel un .Mémoire de M. Bieuler sur les Équations linéaires {Mouvelles Annales de Mathématiques, i' série, t. X\, i88o), et les iVo/es autographiées du Cours de Matlicmaliques spéciales de M. Poujade, au lycée de Lyon, année i88t-i882.
ALOÈBRE SUPÉRIEURE. 789
trouver les conditions nécessaires, de faire/? — i dans l'énoncé du théorème précédent (loo9).
Par conséquent, pour qu une forme quadratique soit carré parfait, il faut et il suffit que tous les mineurs du second ordre de son discriminant soient nuls, sans que cette condition soit remplie par les mineurs du premier ordre ou par les éléments mêmes du discrijninant.
1561. Reprenons, par exemple, la forme quadratique à trois variables (1551)
/(.r, r, z) = Ax--^ A'.v-+ A"^-+ iViyz ^ 2B'jc: + 2B"j:.>-.
Le discriminant est ici
AA'A —aBB'B'-AB^- A'B'--A'B"-.
Pour que la forme soil un carré parfait, tous les mineurs du second ordre de A doivent être nuls, et l'on doit avoir
Il est facile de voir que ces conditions se réduisent à trois. Trois d'entre elles se reproduisant deux fois, on n'a en réalité à considérer que les six conditions
