AA" B" A"2 1 A

TV^B^'^B^ o" V'^B^ [esa'ite (i)].

Les six conditions précédentes se réduisent donc aux trois suivantes :

■^ : =: O, -— (), rr: O,

c'est-à-dire à la nullité des trois mineurs distincts du second ordre, où entre le mineur du premier ordre A, supposé différent de zéro.

Si l'on revient au discriminant A, on tire facilement des conditions trouvées, mises sous la forme

AA'=rB'-, \A' = B'^ \B = B'B',

les deux suites de rapports

A' Jî

Lorqac la forme quadratique de trois variables est un carre parfait, deux lignes quelconques de son discriminant A ont donc leurs éléments proportionnels [ce qui assure à la fois la nullité du discriminant (55) et celle des trois mineurs du second ordre indiqués]. Cette propriété, comme il serait facile de l'établir, est générale et s'étend à une forme de n variables.

Enfin, si nous nous reportons à la décomposition en trois

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 'jgX

carrés de la même fonction f{jr,r,z), telle que nous l'avons effectuée précédemment (lool), nous avons obtenu d'abord

/=^(K.r-^B'z^B"yy--^f„

et l'on vérilie immédiatement que la forme complémentaire /i s'annule d'elle-même lorsque les conditions que nous venons de trouver sont satisfaites, /se réduit donc bien alors à un carré parfait, sauf un coefficient numérique.

1502. Cbercbons encore les conditions pour qu'une forme quadratique se réduise à un produit de deux formes linéaires ou, d'après ce qui précède (154-9), à la somme de deux carrés.

En faisant /:> = 2 dans l'énoncé du tbéorème fondamental ( loo9), on voit (lue tous les mineurs du troisième ordre du discriminant de la forme doivent être nuls, sans que la môme condition soit remplie par les mineurs du second ordre.

Si l'on considère la forme quadratique à trois variables, il faut donc que son discriminant A soit nul. et que les mineurs du second ordre ne soient pas tous nuls.

Ov, quand on la décompose d'une manière générale en trois carrés (lool), on a

la valeur du coefficient y étant