A "^ " AA'— H

Si le mineur du second ordre

est supposé, en particulier, différent de zéro, la condition A - - o entraîne y := o, et l'on a

/( X, /, z) = y.\^~^\''-zz:za\'-~p /2 Y^

= ( X v/â -i- Yi v/^) ( \ vâ - Y / v3).

"92 ALGÈBRE SUI'l^:RlEtRt:.

Loi d'inertie des signes des formes quadratiques.

1563. Supposons que les coefficients des formes quadratiques considérées soient réels, hypoliiùse que nous n'avonpas eu besoin d'invoquer jusqu'à présent. En appliquant alor> la méthode de réduction (loW) à une pareille forme, il peut se faire que, dans quelques-unes des formes linéaire^ obtenues, on ait à mettre \^^ ou / en facteur. La formquadratique sera alors décomposée en une somme de carré> de farmes linéaires, chacun de ces carrés étant affecté d'un coefficient positif ou négatif.

On peut alors démontrer le théorème suivant, qu'on désigne souvent sous le nom de loi d'inerlie des formes quadratiques à coefficients réels ou loi de M. SjUester.

loGi. l ne forme quadratique, à coefficients réels, dont l, discriminant n'est pas nul, ayant été transformée, de deuj: manières différentes et quelconques, en une somme de carrés de formes linéaires indépendantes ou distinctes, à coefficients réels, et ces carrés étant aff'ectés de coefficients numériques également réels, il y aura toujours, dans chaque décomposition obtenue, le même nombre de carrés à coefficients positifs et le même nombre de carrés à coefficients négatifs.

Les deux décompositions étant irréductibles par hypothèse (lo5o), elles présenteront un même nombre de carrés (1553).

Cela posé, puisque les formes linéaires qui entrent dans les deux décompositions sont indépendantes, leur nombre est égal ou inférieur à celui des variables de la forme quadratique (1537, 1538).

Sou d'abord autant de formes linéaires que de variables. Le raisonnement étant général, supposons-en trois seulement.

L'une des décompositions étant Xj^ \2 x2, il est impossible que l'autre décomposition se présente, />r//- exemple. sous la forme \\— \'l— V-.

Posons, en effet,

(•) X?n-X^-X^ = Vj M-V^.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 'JqS

On en déduil, en transposant les carrés précédés du signe — ,

(-0 x^-^Xi + v^-^l = x^ + v^

Il est facile de voir que celle identité est impossible.

Égalons séparément à zéro les formes linéaires du second membre. Nous obtiendrons le système

où l'indétermination des inconnues est du premier ordre, puisque le nombre des variables est supérieur d'une unité à celui des équations. Mais ces solutions indéterminées devraient annuler aussi le premier membre de Tidentilé ("2), c'est-à-dire satisfaire, puisqu'il s'agit d'une somme absolue de quatre carrés, au système

X,= 0, X2=:0, Vo=:0, ■ V, z=:0,

el, par suite, au système

X,— G, X,=:0, X3=rO.

Ce dernier système serait donc lui-même indéterminé. C'est ce qui est impossible, puisque, les formes linéaires considérées étant indépendantes, leur déterminant ne peut pas èîre égal à zéro (1537, 102). L'identité (i) elle-même ne peut donc avoir lieu.

Soit maintenant moins de formes linéaires que de variables. Le raisonnement étant général, supposons trois formes linéaires et cinq variables.

Reprenons les identités (i) et (2), el le système indéterminé

X3=:0, Vi = 0.

L'indétermination des inconnues sera celte fois du troisième ordre, puisque le nombre des variables surpasse de trois unités celui des équations. Mais ces solutions indéterminées devraient encore, comme précédemment, satisfaire au système

X,— G, Xo=G, X3=o,

qui est bien indéterminé, mais où l'indétermination des inconnues est seulement du deuxième ordre; car tous les déterminants formés en supprimant dans les trois équations

-Ç)^ ALGÈBRE .supi';uip:ure.

deux des ciiKi variables de loules les manières i)ossiljles, ne peuvent rire égaux à zéro (1538). On arrive donc encore à une conclusion inadmissible, l'identilé (f) ne peut avoir lieu, 01 le nombre des carrés alfectés de coefficients positifs ou négatifs est nécessairement le môme dans les deux décompositions de la forme quadratif|ue.

1565. Nous terminerons ici la lliéoric des polynômes homogènes du second degré, et l'Algèbre supérieure telle que nous avons voulu la présenter. La discussion de quelques équations importantes, que la considération des propriétés des formes ([uadratiques permet de simplifier et d'élucidei-, trouvera mieux sa place en Géométrie analytique.

FIN DE i; ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

UUESTIONS PROPOSÉES

SECONDE PARTIE

QUESTIONS PROPOSÉES

SECONDE PARTIE