RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

407. Soit l'équation à coefficients réels f{x i = o et a un nombre positif. Si le produit f(x)(x ^a) présente n variations de moins que le polynôme /(.r), l'équation /(.r) = o a au moins n ou /i-^i racines imaginaires, suivant que /i est pair ou impair.

408. Lorsqu'une équation algébrique f(.r) = o a toutes ses racines réelles, le carré du coefficient d'un terme quelconque surpasse ou égale le produit des coefficients des termes entre lesquels le terme considéré est placé. Une pareille équation a donc nécessairement des racines imaginaires, quand tous ses coefficients ne satisfont pas à la condition indiquée.

Ce théorème est connu sous le nom de Théorème de De Gua (Académie des Sciences de Paris, 1741)-

La réciproque n'a pas lieu, c'est-à-dire que, la condition énoncée étant remplie par tous les coefficients de l'équation, cette équation peut admettre des racines imaginaires.

409. Si les coefficients de trois termes consécutifs d'une équation algébrique, tels que

satisfont à la condition