Étant donnée l'équation

.r"'-r- Ai-r'"-' -F A. r'"-^-;- . . . -f- A„, = o. si Ion a

cette équation admet au moins une couple de racines imaginaires.

448. Soit l'équation algébrique /(.r) = o. Remplaçons x par x-h/'. et développons /( x -I- /(). Soient Po l'ensemble des termes du développement de degré pair en x, et Pi l'ensemble des termes de degré ini-

Pi pair. Cherchons le plus grand commun diviseur de Po et de — 5 en

poursuivant l'opération jusqu'au reste du premier degré R, qui est fonction de //.

Cela posé, l'équation f{x) = o ou son premier membre a autant du diviseurs comraensurables du second degré, qu'il y a de valeurs commensurables de h satisfaisant à l'équation R = o. (Prouuet.)

4i9. Soit l'équation algébriq^ue

/(>•) = Aoa;'«-r- Ai.r'«-i -t- .\.2X"t~^--r- . . . -^ X qz R = o,

dont les coefficients sont des nombres entiers. Si, abstraction faite du signe, N est la valeur absolue du plus grand coefficient et si R est un nombre positif moindre que

De C. — Cours. IV. ^2

Si 8 OUKSTIONS l'ROPOSÉKS

■ '•'■(lualion ,/(.!.■) — o a nécossaiicineiil une racine positive moindre que 2\{ OU une racine négative plus i^'randc que — iH, suivant que le deinior Icrmo de son premier membre est — R om -r- R.

{..')(). Si l'équation

A.r'"-^ . . . -^ [).r/'- E.rP i -- V.rP --,- G.rP-^— . . . r- U = <>

a luulcs ses racines réelles, les coefficients de quatre termes conséculifs (juelconques doivent satisfaire à l'inégalité

( DG-EF)i-- 1(E2 -UFKF^-EG) < o.

I r<>ir le théorème énoncé, Exercice ilO.] (Catalan.)

i'i\. Trouver l'équation qui a pour racines les racines de l'équation algébrique /(.r;) = o, élevées à la /i'™" puissance.

-io:2. Si l'équation algébrique /(a-) = o est de degré pair et si ses racines se partagent par couples de môme somme 2 S, l'équation déri\é{' f'ix) = 0 admet la racine S, et ses autres racines se partagent par couples de même somme 2 S.

Réciproquement, si l'équation algébrique fix) ~ o, de degré impair, a(hiiet la racine S et si ses autres racines se partagent par couples de même somme 2 S, les racines de l'équation dérivée f'{.r) = o se partagent par couples de même somme 2 S.

En outre, dans le premier cas, toutes les équations dérivées f'{x) — o. /"'(.r)=o, /"(o:) = o. ... admettent la racine S; et il en est de même, dans le second cas, des équations dérivées/"(.r) = o, /'"(.r) = o. /■"(./•) = o

i-53. 1/équation algébrique

ne peut pas avoir plus d'une racine réelle. 11 en est de môme de l'équation