Résoudre l'équation

L une des racnies est t^ r-=.

i60. Résoudre l'équation

x^ — 3(ft2 f b-)x — ia{a^ — Zb-) = o. [L'une des racines est la.] iiii. Résoudre l'équation

L'une des racines est

svR l'algèbre supérieure. 821

i62. Quelle relation doit lier les coefficients de réqualion ■v^ -+- p .r- -\- qx ->r r = o, pour que ses racines soient en progression par quotient? Rép. rp^ = r/^.

U)3. Si l'on diminue de /i les racines de l'équation x^ -h p.T -f- y = o,

à quelle condition doit satisfaire // pour que l'équation transformée ait ses racines en progression par quotient ?

Rép. 27 q/i^ — 9/j2 //2 — p3 = ,)

idi. Quelle relation doit lier les coefficients de l'équation

x^ ^- 3px- -!- 3 qx H- /• = o,

pour que ses racines soient en proportion harmonique (t. III, 364)?

Re'p. r{'ipq — r) = 2q^.

iGo. Si les racines de l'équation

x^ -7- px- -k- qx -i- r ■= o

forment une proportion harmonique, il en est de même des racines de équation

( pq — /•)) ' — (p'^ — ipq ^- 3r) ) 2-1- {^pq — 3r)j- — r = o.

iO(j. Résoudre l'équation

fii est une racine double.]

467. Lorsque l'équation du troisième degré privée de son second terme a une racine de la forme a -t- s/b, a et h étant des nombres commensurables, les quantités placées sous les radicaux cubiques de la formule de Cardan deviennent des cubes parfaits.

468. a, />>, c étant les trois racines de l'équalion x^ -\- px -^ q — o.

calculer la fonction symétrique des racines

8'>.'< oi i:.si io.nm l'uoi'o.si':!;.^

i(19. Les racines d'une t'i|uatioii du iroisièine degré, /(./i — n. élanl de la forme

les racines de i'équalion dérivée /'(.c) = o sont rationnelles. iTO. (t étant la .seule racine réelle de l'éiiualion

on |)eul mettre les deux autres racines sous la forme a , I 4 P' — 9 'ïV ~*~ *' f^^l'

iTl. Lorsqu'une équation du troisième degré, ^(j.') = o, et son équation dérivée, /'(•^) = o, ont toutes leurs racines rationnelles, les racines a, II. c de la première ont des expressions de la forme

a = ni — //. b —- in(i- - - //, c = iinii -^ h.

les quantités m, h. a étant des nombres rationnels.

Réciproquement, si les racines a, h. c de l'équation j{x) = u admettent des expressions de cette forme, les racii.es de l'équation f'{x) = o sQnt rationnelles.

H'i. Soient l'équation complète du troisième degré fi. x)= x'-^ -+- px- ~ qx -^ r r= o, "

et son équation dérivée y X-^'' = <'•

La condition de réalité des trois racines de léquation j\i) = o [jcuI être exprimée par la relation

( DÉSIR !■: .\.NDaK.