OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES APPLIQUÉES AUX QUANTITÉS IMAGINAIRES

Remarques préliminaires.

808. Nous nous proposons de prouver clans ce Chapitre que, si l'on soumet les expressions imaginaires du second degré, c'est-à-dire déduites de la résolution de l'équation générale du second degré à une inconnue, aux six opérations arithmétiques, d'après les règles démontrées en Algèhre élémentaire, on obtient toujours des expressions imaginaires de même espèce, c'est-à-dire pouvant se ramener à la forme

a — bi:

a et b sont des quantités réelles quelconques; /représente \ — I et n'est, à proprement parler, qu'un signe d'opération qu'on traite néanmoins comme une lettre ordinaire; seulement, on doit toujours remplacer i- par — i (803).

809. L'expression imaginaire a — bi est évidemment racine de l'équation du second degré

L'autre racine est alors nécessairement (803)

a — bi.

Les expressions a -- bi et a — bi sont ce qu'on appelle des imaginaires conjuguées. Elles ne diflfèrent que par le changement de signe de 6 (ou de i), et jouissent de propriétés importantes que nous signalerons successivement.

810. Deux quantités imaginaires complexes a-\-bi et a'-\-b'i sont égales, lorsque les quantités réelles qui y en-

l>. ALGÈBRE SUPÉRIEI RF.

treiit sont égales deux à deux et dans le m»''me ordre, c'està-dire lorsqu'on a à la fois

Réciproquenienl, on ne peut poser régalité

a -i- hi --=^ a' -^ b' i,

que si l'on sait d'avance que les conditions « := a' et 6 r= b' sont remplies.

Addition et soustraction.

811. Soit à ajouter ou à retrancher les deux expressions imaginaires

a -i- bi, a' -V b' i.

On a immédiatement {Alg. élém., lo, 16), en prenant ensemble les signes supérieurs et les signes inférieur?,

(«^ bi) ± (a' -h y i) = {a — a') -^{bzz b')i,

quantité de môme forme que les deux imaginaires ajoutées ou retranchées.

812. S'il s'agit de deux imaginaires conjuguées (SOG^i, il faut faire a'=: a et Z^'=: — b.

La somme de deux imaginaires conjuguées est donc réelle et égale au double 2a de leur partie réelle; leur dijférence est une imaginaire simple (803) égale à 26/, de sorte que le carré de cette différence est une quantité essentiellement négatii,-e égale à — \b-.

Multiplication.