Soit à multiplier les deux expressions imaginaires

a -\- bi, a' -^ b' i.

On a immédiatement {Alg. élém., 23)

(a + bi) ( a' + b' i) = aa -f- ba' i -^ ab' i -\- bb' i- = {aa'~bb') -^ {ab' + ba')i,

produit de même forme que les deux quantités imaginaires multipliées et indépendant de l'ordre des deux facteurs.

ALGEBRE SUPERIELUE. lO

81i. Si l'on a à nuilliplier deux imaginaires conjuguées, il faut faire a'^=:a el b' ■= — b. \\ vient ainsi

{a + bi) {a — bi) =: a'H- b'-.

Le produit de deux imaginaires conjuguées est donc réel et égal à la somme des carrés des quantités réelles a et b.

815. On aurait trouvé plus rapidement ce résultat, en se rappelant que le produit de la somme de deux quantités par leur différence est égal à la dilTérence des carrés de ces quantités {Alg. élém.. 30, II). On a donc immédiatement

( a H- bi) {a — bi) =: a- — b- i- = a'- H- b-.

816. Si l'on a à elïecluer le produit d'un nombre quelconque de fadeurs imaginaires de la forme a -\- bi {Alg. élém., 29), on calculera le produit des deux premiers facteurs comme on vient de l'indiquer (813). On multipliera ce produit par le troisième facteur, el ainsi de suite. Il est clair que le produit définitif sera encore une imaginaire de même forme.