Considérons le cas de trois facteurs imaginaires
a -1- bi, a' -T- b'i, et" -i- b" i.
Quel que soil l'ordre des deux p/emiers, nous aurons toujours (813)
{a H- bi) {a' -i- b' i) =z {a' -\- h' i) (a -f bi)
=z [aa' — bb') -4- {ab' + ba' )i.
Nous aurons de même
{a-^ bi){ a' 4- b' i) ( a" -h //' /) 3= (a -i- bi) {a" -i- ^"0 («'+ b' i) =^ ( aa' a" — bb' a" — ab' b" — ba' b" ) -r- ( ab' a" -i- ba' a" -i- aa' b" — bb' b" ) /.
On peut donc aussi, sans clianger le produit de trois facteurs imaginaires, changer l'ordre ties deux derniers facteurs.
Il en résulte immédiatement, el on le prouvera en suivant
la même marche qu'en Arilhmélifiue {Ariihm., 66), que, étant donné un produit d'un nombre quelconque de facteurs imaginaires de la forme a h- bi, on peut intervertir leur ordre de toutes les manières possibles, sans que le produit varie.
818. Toutes les conséquences déduites en Arithmétique et en Algèbre du théorème fondamental sur le changement d'ordre des facteurs se trouvent, par suite, étendues aux quantités imaginaires. Nous n'énoncerons pas ces conséquences; mais nous appelons l'attention du lecteur sur ce point.
819. Avant d'aller plus loin, nous remarquerons que l'emploi des quantités imaginaires permet souvent d'arriver , d'une manière simple et rapide, à des résultats dont la démonstration directe pourrait être pénible. C'est ce qui aura lieu surtout, lorsque les relations qui serviront de point de départ seront fondées sur l'idée de Y ordre , c'est-à-dire sur un simple fait de combinaison. Nous allons en donner un exemple, en nous appuyant sur le théorème précédent (817).
Soit un produit de quatre facteurs imaginaires, dont les deux premiers sont conjugués, ainsi que les deux derniers.
P — (rt — bi) {a — /;/ I (c — di) (c — di).
Si Ion multiplie séparément les deux premiers facteurs et séparément les deux derniers, ce qui est permis d'après le théorème rappelé, on a (81i)
Si l'on multiplie ensuite séparément le premier et le troisième, puis le second et le quatrième facteur, il vient (813)
P == [{ar — bd) -h (ml -^ bc)i] [u/c — bd ) — {ad — bc)i\.
c'est-à-dire, les deux nouveaux facteurs étant conjugués,
P = ( ac — hdy-— {ad -i- bcy- .
Si l'on multiplie entin séparément le premier et le quatrième, puis le second et le troisième facteur, on trouve de même
P = [{ac -r- bd) —{ad - bc)i] [(ac -h bd) -i- {ad — bc)i],
c'est-à-dire
P = (ac — bdy- -r- {ad — bc)-.
ALGEBRE SUPERIEUBE. 10
En rapprochant les trois valeurs de P, on trouve alors cette formule remarquable, dans le second membre de laquelle les signes supérieurs et inférieurs doivent être pris ensemble,
in'- ^ ù^){c'-^ d-^) = {ac = hdy--^{ad — bcf.
Cette formule exprime que le produit de deux sommes de deux carrés est lui-même e'gal, et cela de deux manières différentes, à la somme de deux carre's.
Il est très aisé de pamenir directement à ce résultat {Alg. éléin., 30, IVj; mais cette application montre néanmoins tout le parti ((u'on peut tirei", dans la Théorie des nombres, de l'introduction des imaginaires.
Du module.
820. On appelle module de l'expression imaginaire a -j- bi le nombre réel et positif — \ja} -^ b-.
Deux expressions imaginaires conjuguées, a -i- bi el a — bi, ont même module, et leur produit est égal au carré de ce m,odule{Siï).
On estime la grandeur d'une quantité imaginaire a -+- bi par celle de son motiule.
Lorsque le module devient nul, il en est de même de la quantité imaginaire, et réciproquement.
D'ailleurs, pour que le module -t-\ a- -h b- devienne nul, il faut et il suffit, puisque a- et b- sont des quantités essentiellement positives, qu'on ait à la fois
Le module d'une quantité réelle est cette quantité ellemême prise positivemen t .
821 . I. Le module d'un produit de /acteurs imaginaires est égal au produit des modules des facteurs.
Soient d'abord les deux facteurs a h- bi et c -i- di. On a (813) (rt + bi) (c -h di) ^={ac — bd) -t- {ad -h bc)i.
l6 ALGKBRE SUPÉRIEURE.
Le module du produii est donc é^al (820) à
\!{ac — bdy +{ad+ bcf = \'a- c"- -h h' cl' + a\P + bH- — \/{a'+ b-){c'--^ cl-) — \f(ï^^b-, \/c' -^ cP.
Le lliéorème étanl ainsi établi dans le cas de deux facteurs, on retend facilement, par un mode de raisonnement connu et déjà souvent employé, au cas d'un nombre quelconque de facteurs.
Soit, par exemple, le produit de quatre facteurs imaginaires que nous désignerons, pour plus de rapidité, par les lettres a, (3, y, ô. Nous aurons successivement
inod ( a,3/o ) = mod ( x^y ) . mod 6, mod ( ajSy ) = mod ( a^ ) . mod y, mod(ar3) rr: mod a. mod [3,
d'où, en multipliant ces égalités membre à membre et simplifiant,
mod ( aj3yô ) =^ mod a. . mod ,3 . mod y . mod ô.
Ce résultat prouve évidemmenl que le produit d'cmtant de sommes de deux carrés qu'on voudra est encore égal à la somme de deux carrés. C'est la généralisalion du llicorèmc démontré au u"8l9.
822. IL Pour qu'an produit de facteurs imaginaires soit nul, il faut et il suffit cjue l'un des facteurs soit nul.
Le théorème est évident pour un produit de facteurs réels. Il s'agit de l'étendre au cas de facteurs imaginaires.
Or, si un produit de facteurs imaginaires est nul, son module l'est également (820). Ce module, étant le produit des modules des facteurs (821), est un produit de facteurs réels, et même positifs. Il ne peut donc être nul que si l'un de ses facteurs, c'est-à-dire le module de l'un des facteurs imaginaires, est nul. Mais alors ce facteur imaginaire est nul luimême, et la condition indiquée est nécessaire. Elle est d'ailleurs suffisante; car, si l'un des facteurs imaginaires est nul, son module est nul, ce qui entraîne la nullité du module du produit cl, par conséquent, celle du produit.
ALGEBllE SUrERIEURi:.
Division.
823. Diviser l'expression imaginaire a+ bi par l'expression imaginaire c + cli, c'est trouver une expression de même forme qui, multipliant c -{- dl, reproduise a + bi {Alg. élém., 40).
Représentons le quotient cherché par x -^ri, x et y étant deux quantités réelles à déterminer. Nous devrons avoir
a H- 6f= (c + di) {x -+-/0 ^= (ex — dy) + {dx 4- cy)i; le comme conséquences (810) 1
ex — dy = a, dx + cy =r b.
ce qui entraîne comme conséquences (810) les deux équations
On en déduit
de sorte que l'on a
bd ^^ — ^^
a -+- bi ac 4- bd bc — ad . c + di c^ -h d'^ c- -H d'^
On voit que le prohième est toujours possible, qu'il n'admet qu'une seule solution et que le quotient de deux imaginaires du second degré est une imaginaire de môme forme.
82i. On peut arriver plus rapidement au résultat, en remar-
\ quant qu'on ne change pas la valeur d'une fraction =r à termes
imaginaires, lorsqu'on multiplie ses deux termes par une même quantité réelle ou imaginaire, telle que C. Et, en effet, si l'on représente par Q le quotient imaginaire qu'on vient de trouver, on a
A = BQ.
En multipliant les deux membres de cette égalité par C, on a (817)
AG = BQC = BCQ
ou, en divisant de part et d'autre par BC,
