BC ^ B

On peut donc écrire immédiatement, en multipliant les deux

De c. — Cours. IV. 2

l8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

termes de la fraction par l'imaginaire conjuguée c — di du dénominateur c -i- di. (814),

a -\- bi (a -h bi) {c — di) ac ■+- bd bc — ad .

c H- di c^ H- d- c- H- d'^ c- + d^

825. Si l'on considère une équation du premier degré à une inconnues, où les coefficients soient quelconques, c'est-à-dire réels ou imaginaires, on peut la ramener à la forme habituelle Aa^=:B, A et B étant des quantités imaginaires. 11 résulte de ce qui précède que cette équation admettra pour ^ une valeur imaginaire, et une seule; ce qui suffit pour montrer que la théorie des équations linéaires n'est pas modifiée par l'existence des coefficients imaginaires.

Puissances.

826. Examinons d'abord les puissances successives de \^ — i ou de i.

On a d'abord (803)

On a ensuite

i* = i- iz= — i, i^ z^i^iz= — /- ^ -f- 1 ,

et, en continuant,

La quatrième puissance ï* étant égale à 4-i, il est clair que les résultats obtenus pour les quatre premières puissances de i vont se reproduire ainsi périodiquement et indéfiniment, de sorte qu'on peut écrire d'une manière générale, p étant un entier quelconque (150),

On voit que les puissances paires de i sont réelles et égales à ± i, suivant que l'exposant est de la forme .\p ou 4p-\-2, tandis que les puissances impaires sont imaginaires et égales à ±. i, suivant que l'exposant est delà forme ^p-\-i ou 4/^ + 3.

ALGÈBRE SUPÉRlEUnE. ig

827. m étant un nombre entier positif, passons maintenant à la recherche de la w'"^™" puissance de l'imaginaire a + bi.

Il est évident qu'on obtiendra comme résultat une imaginaire de même forme, puisqu'on a à multiplier entre eux m facteurs égaux k a + bi (813).

On peut d'ailleurs elfectuer le développement de (a-hbi)'" à l'aide de la formule du binôme (255); il vient

((7+ bt)'" = a'" -f- — a"'-i bi

Si nous remplaçons les puissances successives de i par les valeurs trouvées au numéro précédent, c'est-à-dire les puissances paires par — i et +1, et les puissances impaires par 4- < et — /, nous aurons

,, fit M -M • tu \ lit- 1 I

(r/ 4-60'"= «'"H a"'-^bi ^ a'"-^- b-

bi-

ni [ni —

lUw

^bH

On remarque alors que les termes du développement sont alternativement réels et imaginaires et que, à deux termes positifs, succèdent régulièrement deux termes négatifs. Si l'on sépare les termes réels et les termes imaginaires, en mettant dans ces derniers / en facteur commun, les signes + et — alterneront dans chaque parenthèse, et nous pourrons écrire finalement

bi)'" = \a"' ■a"'-^ù^--. ^-i ' ax'-'^b''-

['" , , 7/1 ( 771 — i)ini — •?, ) , ,

Les parenthèses représentant deux quantités essenliellement réelles A et B, on a donc bien

(a -h biy" = k -f-B«.

no ALCEBRE SUPERIEUnE.

Le développement de (« — bi)'" ne diffère du précédent que par le changement de b en — b ou, si l'on veul, de i en — i (261). Par suite, on a égalenienl

{a — biy"r^\ — V>i.

En rapprochant ces deux résultats, on peut énoncer cette remarque importante : les puissances semblables de deujc imaginaires conjuguées sont elles-mêmes des imaginaires conjuguées.

En multipliant memhre à membre les deux relations précédentes, on trouve encore

828. Considérons une fonction entière de jo (iW) ou un polynôme entier en x de la forme

Y{x) =AoJ?"' + A,.r'"-' + A2j:'"-- + . . . + A,„i.-r + A„,,

à coefficients quelconques, réels ou imaginaires.

On a souvent à remplacer x dans un pareil polynôme par une valeur imaginaire a + bi. 11 est clair que le résultat de cette substitution sera encore une imaginaire de même forme. En effet, d'après ce qu'on vient de voir (827), toute puissance entière de a + bi est une imaginaire de même forme et, si on la multiplie par une quantité imaginaire, le produit satisfera encore à la même condition (813). En réunissant les résultats obtenus pour chaque terme, on aura donc finalement (811)

Y{a-^bi) = P -hQi.

829. On peut se demander si, en substituant à la place de d\ dans F(.r), l'imaginaire conjuguée de la première substitution, c'est-à-dire a — bi, on trouvera un résultat conjugué du précédent. 11 y a alors deux cas à distinguer.

Si tous les coefficients du polynôme considéré sont réels, le terme \„x", par exemple, devient simplement

A„(a — bi)" au lieu de A„(a+ bi)",

et les deux résultats partiels correspondant à chaque terme sont évidemment conjugués, de sorte qu'il en est de même de leurs ensembles.

ALGÈBRE SUPÉRIEUUE. 2 1

Mais, si le polynôme proposé renferme des coejjlcients imaginaires, si l'on a, par exemple, A„ = a„ + (3,,/, les deux résultais partiels à comparer sont

( a„ + (3„ 0 ( « + biy et ( a„ + |3„ /) ( a — hi) '' ,

et ils ne sont plus conjugués, puisque i ne change de signe que dans l'un des facteurs des deux produits. Par suite, les ensembles des résultats obtenus ne sont pas eux-mêmes conjugués. Ce n'est donc que dans le cas oà tous les coefficients du polynôme proposé sont réels que les valeurs conjuguées de x donnent des résultats conjugués et qu'on peut écrire

F(a4-Z^0=P + Q'. l^{a — bi)^V — qi. Cette observation nous sera utile plus tard.