CHAPITRE III

liNTRODUCTIOX DES RAPPORTS TRIGONO-MÉTRIQUES DANS LES EXPRESSIONS IMAGINAIRES. — CONSÉQUENCES.

Forme nouvelle donnée à l'expression imaginaire a -^ bi.

836. Soil l'expression imaginaire a -i- bi. r étant un nombre positif et a un certain angle, on peut toujours poser

(i) a = /'COS«, b^rsiny..

En élevant ces deux relations au carré et en les ajoutant membre à membre, il vient {Trigon., 3i)

a- H- b-= /'-(sin-a + cos-a) =^ r-, d'où

r étant connu, les relations (i) donnent

(3) cosa = -=: ; ■. sma=:- = ;

En remplaçant a et b par leurs valeurs, il vient

(4) rt 4- 6«'= /'(cosa + « sina).

Telle est la forme nouvelle qu'on peut donner à toute imaginaire du second degré.

Le nombre positif /■ = -+- \/a- + b- est le module de la quantité imaginaire (820), l'angle a est son argument.

Il est essentiel de remarquer que le module /' a une seule valeur, parfaitement définie; mais que l'argument a est susceptible d'une infinité de valeurs.

2() ALGEBRE SUPERIEURE.

En effet, l'angle a. est, d'après les relations (3), déterminé par son sinus et par son cosinus. Il a donc, en le supposant mesuré sur le cercle Irigonométrique, une valeur, et une seule, de o à 271 (voir la Trigon.). Mais on peut ensuite, sans modifier l'expression imaginaire, faire varier a d'un multiple quelconque de 27: ( Trigon., 12, 18). En désignant par a, la l)remière valeur de a entre o et 27:, et par k un entier quelconque positif, négatif ou nul, on aura, par conséquent,

837. Pour que deux imaginaires sous forme trigonomé- Irique soient égales, il faut et il suffit qu'elles aient même module et des arguments qui soient égaux ou qui diffèrent d'un nombre entier de circonférences 2 A- (810, 836).

Pour qu'une imaginaire Irigonométrique soit nulle, il faut et il suffit que son module soit nul (820, 822).

Deux imaginaires Irigonométriques sont égales et de signes contraires, lorsqu'elles ont même module et que leurs arguments diffèrent de t. ou d'un nombre impair quelconque de demi-circonférences ( Trigon.. 11, 17).

Deux imaginaires Irigonométriques conjuguées (809) ont même module et leurs arguments ont une somme égale à 271 ou à un nombre entier quelconque de circonférences (7^/7gon., 13, 19).

838. Les imaginaires Irigonométriques par lesquelles nous venons de remplacer les imaginaires complexes renferment les quantités réelles et les imaginaires simples (803).

En effet, si l'on désigne par A un module quelconque (836), on a successivement

H- A = A (coso -+-

« sine).

— A =A(cos7:-i-

« sinTï),

+ A i = A ( cos -

-^ isin- ) 2/

— Af = A (cos —

-r- i sin

839. Nous allons reprendre, au point de vue de la nouvelle notation adoptée, les quatre opérations supérieures sur les

ALGEBRE SUPEFiIEURE. l'j

imaginaires. Quant à l'addition et à la soustraction, nous n'avons rien à ajouter à ce qui précède (811), et nous nous contenterons de démontrer le théorème suivant, qui se rattache à ces opérations.

Module d'une somme ou d'une différence.

840. Le module de la somme ou de la différence de deux expressions imaginaires est compris entre la somme et la différence des modules de ces expressions.

Soient les deux expressions imaginaires

;■ (cosa H- /sin a), /•'(cosa'+ / sina').

La somme ou la différence de deux expressions imaginaires étant une expression de même forme (811), on peut poser

/■(cosa 4- / sina) ± /'(cosa'-f- « sina') =: R(cosA + /sinA).

On en déduit immédiatement (810)

/• cosa ± /■' cosa'=: R cosA, /• sina ± /•' sina' =: R sin A.

On tire facilement de ces égalités, en les élevant au carré, en les ajoutant ensuite membre à membre et en extrayant la racine carrée du résultat ( Trigon., 53),

R = \//--=: 2/7-' cos(a — • a') + /■'-.

On a donc, pour le module R du résultat, quantité essentiellement positive (820, 836), dans le cas de l'addition comme dans celui de la soustraction, et les limites supérieure et inférieure de cos(cx — a') étant h- i et — i,

R5 v\/- H- /•')- ou R S /■ + /•'

et

R>vV'- '-')- ou R>± (/• — /■').

Il résulte de ce théorème que le module de la somme d'un nombre quelconque d'expressions imaginaires ne peut être supérieur à la somme des modules de ces expressions.

' ALGÈBRE SUPÉniEURE.

Multiplication 8il. Soit à multiplier les deux expressions

/•(cosa + isina), r'{cosy.' -h isinx'). Nous obtiendrons, en remplaçant toujours /^ par - i,

/•/•'[( cos«cos«'-sin5fsina')^,-(sinacos=.'+cosasiny)], c'est-à-dire {Triton., 53)

/•/■'[ cos ( a -(- a') 4- <'sin( a + a')].

Pour muUipUer l'une par Vautre deux expressions imaginaires sous forme trigonométrique, il suffit donc de multiplier leurs modules et d'ajouter leurs arguments.

Cette règle s'étend sans peine à un nombre quelconque de acteurs. Amsi, le produit d'un nombre quelconque de facteurs imaginaires s'obtient en multipliant leurs modules et en ajoutant leurs arguments.

Il en résulte immédiatement que :

1° Un produit de facteurs imaginaires ne change pas, lorsqu on change d'une manière quelconque l'ordre des facleurs (817); -^

2'> Le module d'un produit de facteurs imaginaires est és>al au produit des modules des facteurs (821 ).

Division.

8i2. La division étant l'opération inverse de la multiplicat.on, s. 1 on a à diviser l'une par l'autre les deux expressions

'(cosx-i-ismx), /-'(cosa'+Zsina'), le quotient est évidemment égal à

p Lcos(a — a') -H/sin(a — a')].

En effet, en multipliant, suivant la règle précédente (8il) ce résultat par le diviseur, on retrouve bien le dividende. ' Le quotient de deux imaginaires trigonométriques s'ob-

ALGEBRE SUPERIEURE. 29

lient donc en divisant le module du dividende par celui du diviseur et en retranchant V argument du diviseur de celui du dividende.

Puissances, formule de Moivre.

8i3. m étant entier el positif, on veut élever à la puissance m l'expression imaginaire

/•(cosa -+- /sina).

Si l'on applique alors la règle trouvée pour la multiplica tion (8il) au cas de m facteurs égaux entre eux, il vient

[/•(cosa -i- «sin «)]'"= /-'"(cosma -\- i sinm a).

On voit que, pour élever une imaginaire trigonométrique à une puissance entière, on élève le module à cette puissance et Von multiplie l'argument par l'exposant de la puissance.

Si l'on suppose, en particulier, le module r égal à l'unité, on a

( cos y. -r- i sin y.)'" := cos m y. -\- i sin m y..

Cette égalité remarquable constitue la formule de Moivre, du nom du géomètre français qui l'a découverte (1667-1704). Il est utile de remarquer que le développement de

(cosa — f sina)'"

ne peut différer de celui de

(cosa -h ? sina)'"

que par les signes des termes qui renferment les puissances impaires de / (827). On a donc aussi

(cosa — i sin a)'" := cos m a — i sin/« a.

8i4-. Quand on suppose le module égal à l'unité dans une imaginaire trigonométrique, on la qualitie {{'expression réduite.

Le produit de deux imaginaires conjuguées étant toujours égal au carré de leur module commun (820), si l'on divise r unité par une expression réduite, on a pour quotient la conjuguée de cette expression'réduite. Ainsi

r—. — =: cosa — i sma.

cosa + L sma

3o ALGÈURF, SUPÉRIEURE.

845. La formule de Moivre, établie seulement dans le cas d'un exposant entier et positif (8'i3), subsiste pour toutes les valeurs réelles et commensurablcs de cet exposant, qu'il soit entier ou fractionnaire, positif ou négatif. C'est ce que nous allons montrer.

Puisque, par définition (129), la racine />''™'' d'une expression imaginaire est une autre expression imaginaire qui, élevée à la puissance p, reproduit la première, on a bien (IVO, liSj

Cf. .Cf.

(i) (cosa 4-< sina)'' ;= cos — h < sm - •

En effet, en élevant les deux membres de cette relation à la puissance entière /:», ce qui se fera pour le second membre en

multipliant, d'après la règle précédente (84^3), l'argument -

par p, on trouvera des deux parts cosa + i sina.

De même, si l'on élève à la puissance entière m les deux membres de la relation (i), on aura encore (143, 843)

(2) (cosa 4- i sina)' = cos — a -+- i sin — a.

Enfin, on a aussi (145), en supposant m positif, mais entier ou fractionnaire d'après la relation (2),

(cosa -h i sina)~

(cosa -H i sma)'" cos/«aH-« sinma

ou (844)

(cosa + i sina)~"' = cos;?ia — i?>'\nin a,

résultat qui revient évidemment {Trigononi., 13, 19) à (3) (cosa H- « sina)~'" = cos( — m y.) -^ i sin(^ — ma).

La formule de Moivre subsiste donc bien pour toutes les valeurs réelles et commensurahles de l'exposant, en remarquant que, dans le cas où la puissance quelconque indiquée dans le premier membre de la formule serait susceptible de plusieurs valeurs, notre démonstration prouve seulement que le second membre de la formule est l'une de ces valeurs.

Nous allons revenir sur ce point essentiel, en cbercbant à obtenir directement la racine d'ordre quelconque d'une imaginaire trigonométrique (835).

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3l

Racines.

8i6. Proposons-nous d'extraire la racine m'^"^" de la quantité imaginaire a — bi, ramenée à la forme trigonométrique /•(cosa -i- i sin^:), où a est la plus petite valeur de l'argument, comprise entre o et 2- (836).

Admettons que celte racine 7?î'^'"« soit une imaginaire de même forme, que nous représenterons par

p(cosç.j 4- i sinoj).

Si l'on élève cette dernière expression à la puissance /??, on devra reproduire la première. On aura donc, d'après la formule de Moivre (8i3),

/■(cosa -1- / sina) ^ p"'(cos7??oj -+- is\nm w).

Pour que ces deux imaginaires soient, en effet, égales, il faut et il suffit que leurs modules soient égaux et que leurs arguments soient égaux ou, d'une manière générale, diffèrent d'un nombre exact de circonférences (836). Nous poserons, par suite,

(i) p'" = r ou p = "\/7-

et

. , , aH-2A-7:

( 2 ) ni oj = a -i- 2 A - ou OJ zz: •

II en résulte que, pour extraire la racine /?i'^™'= d'une imaginaire trigonométrique, il faut extraire la racine nV^"^^ du module et diviser par m la valeur générale de l'argument. Ainsi, nous écrirons, ce qui n'est qu'une transformation de la formule de Moivre,

ik- . . y- -^ '->.!(-

o ) \ /(cos X -h i sin y.) = \' ri cos '- i sin

et c'est bien encore une imaginaire de même forme.

Il faut maintenant démontrer que le second membre de la formule (3) a exactement m valeurs distinctes et n'en a pas davantage.

D'abord, le module r est une quantité essentiellement positive, et il doit en être de même du module "\^- qui n'aura ainsi qu'une seule valeur.

32 ALGÈBUE SUPÉRIEURE.

Cela posé, attribuons à l'entier indéterminé k les m valeurs

successives o, \, ■?.,..., m — i. Nous obtiendrons, pour l'argu-

y.-^ikr.. ,

ment ? les m valeurs

y. a 271 y. /jt: a 2(//î — 1)7:

m m m m m ni m

Toutes ces valeurs sont distinctes et moindres que la circonférence 2 71. 11 suffit de le prouver pour la plus grande d'entre elles. Or on a bien

a 2 (m — 1)7: a 2 ti

- H — ou ■ \- 2K <2 7:,

m fil m m

puisque, par hypothèse, a est moindre que 27:.

Les m premières valeurs de l'argument étant ainsi distinctes et moindres que la circonférence 27:, aucun de ces arcs ne pourra avoir à la/ois le même sinus et le même cosinus qu'un autre d'entre eux, et les m valeurs correspondantes du second membre de la formule (3) seront elles-mêmes distinctes.

Si l'on donne à k, en continuant, les valeurs m, m + i, /?i H- 2, . . ., on obtient des arguments qui ne peuvent différer des précédents que d'un nombre exact de circonférences. On retrouve donc, indéfiniment et périodiquement, les mêmes valeurs pour le second membre de la formule (3).

Par exemple, pour k = m, on a

a -+- ikn a imii a

On trouvera donc, pour cette valeur de l'argument, les mêmes

valeurs du suius et du cosinus que pour —-, et ainsi de suite.

' tn

Enfin, si k prend les valeurs négatives — i, — 2, — 3, . . . , on retrouve encore, pour le second membre de la formule (3), les mêmes valeurs, mais en ordre inverse.

Par exemple, pour A= — i , on a

qui diffère de 27: de l'arc

m ni

ALGÈBRE SUPÉRlEURi:. 33

Ainsi, il revient au même de faire A=:— i ou /i^m — i, A- = — 2 ou k = /n — 9., ....

On peut donc, si l'on veut, à partir de A =z o, donner à A des valeurs successives, deux à deux égales et de signes contraires, jusqu'à ce qu'on ait obtenu ni racines distinctes, puisqu'il n'y en a pas davantage.

En résumé, la racine d'une quantité imaginaire présente autant de valeurs di£[érentes qu'il y a d'unités dans son indice ; et, comme les quantités imaginaires comprennent les quantités réelles (838), cette propriété fondamentale se trouve établie pour les quantités réelles (129), auxquelles la formule de Moivre est également applicable. On peut juger par là des conséquences fécondes de l'introduction des imaginaires dans la Science.

Il est évident que si, p étant un autre entier, on avait à extraire la racine m'^'""^" de l'expression

[/•(cosa -h / sina: )]/' = rP{cospy. -+- is'inpx),

on aurait de même

V'[/'(cosa-i- isina)y'=- [/-(cosa -h < sina )]'

py. + o.k- . . ny. ^-y.kTz cos \- i sin

et que l'on obtiendrait toutes les valeurs distinctes du second membre en substituant encore à l'entier indéterminé k les m valeurs o, i, 2, 3, . . ., w ^ i.

Racines imaginaires de l'unité.

8W. La formule de Moivre, sous la forme qui convient à l'extraction des racines (8i6), est

, , /«/— —. m/-f y.-^ikT^ . . a-H2A7-\

(1) \J r {icQ% y. -^ l i,\\\ y.) zzz ^/- coS r-fSin •

Si l'on suppose dans cette relation /• = i et a = o, c'est-à-dire cosa ^ I et sina = o, elle devient

, , m/- lk- . . ik-K

(2) y/i^zcos h i sin ,

et elle fait connaître les m racines m'''^"" de Vanité positive, De C. — Cours. IV. 3

3 /( ALGÈBRE SUPÉKIEUUE.

quand on donne h k les valeurs o, i, 2, 3, . . ., m — \ , ou, ce qui revient au même (8V6), les valeurs o, h- i , — i, — 2, — 2, + 3, — 3, ..., jusqu'à ce qu'on ail obtenu m racines dislincles.

Mais la seule différence, lorsqu'on fait k ^^ p ou kz^ — p, c'est le changement de signe du second terme du second membre dans la formule (2). On peut donc encore écrire

,„. m,- ikn . . . 2k~

(3) v/i = cos = i sm ,

et donner simplement à k, en tenant compte du double signe du second membre, les valeurs positives successives o, i, 2> 3, . . ., jusqu'à ce qu'on ait obtenu m racines distinctes. On peut distinguer entre m pair et m impair.

i" m est pair.

On pose m = ip, et l'on a

//v "'/- kr. ^ . . kr.

(4) vi=cos — dz < sm

m 11 sul'tit alors de donner à k les valeurs o, i, 2, 3, . . . , /^ ;= — •

On obtient ainsi, à cause du double signe, 2/? + 2 ou /?« + 2 résultats; mais les deux résultats trouvés en faisant />• ^ o ou en faisant k=.p n'en font qu'un seul à cause de la nullité du sinus, de sorte qu'on n'a en tout que ni racines. Les résultats extrêmes (pour k^o et k^=zp) sont d'ailleurs -t- i et — i. Toutes les autres racines sont imaginaires et conjuguées deux à deux, par suite réciproques (8iV).

2"^ ni est impair.

On pose /?î r= 2/j ^ 1 , et l'on a

mr 2 A- 7: ... "ik-F.

(o) v'i=cos in ; sin

Il suffit alors de donner à A- les valeurs o, i, 2, 3, ..., p z=

On obtient ainsi, à cause du double signe, 2/^-1-2 ou m -h i résultats; mais les deux résultats trouvés en faisant A =0 n'en font qu'un seul à cause de la nullité du sinus, de sorte qu'on n'a en tout que m racines. Le premier résultat (pour A = o)

ALGEBRE SUPERIEURE.

est d'ailleurs -i-i. Toutes les autres racines sont imaginaires et conjuguées deux à deux, c'est-à-dire réciproques.

8i8. Si l'on suppose, dans la relation (i) du numéro précédent, z'^:! et a =: 7T, c'est-à-dire cos a := — ietsina = o, elle devient

il bui) V — i = cos^ i-isin-^ ^— ,

et elle fait connaître les m racines m'^'^*'* de l'unité négative quand on donne à k les valeurs o, i, 2, . . ., m — i ou, ce qui revient au même (846), les valeurs o, + i, — i, + 2, — 2, + 3, — 3, . . ., jusqu'à ce qu'on ait obtenu m racines distinctes.

Mais la seule différence, lorsqu'on fait/: =/? ou A-^— (/> + i), c'est le changement de signe du second ternie du second membre dans la formule (2 bis). On peut donc encore écrire

(3 bis) V— I = cos ^^ — ± i sm ■

et donner simplement à A", en tenant compte du double signe du second membre, les valeurs positives successives o, 1,2, 3, . . ., jusqu'à ce qu'on ait obtenu m racines distinctes. On peut encore distinguer entre m pair et m impair.

i" m est pair.

On pose m = 2/?, et l'on a

11 suffit alors de donner à A les valeurs o, i, 2, 3, ..., PI

p — I =: I. On obtient ainsi, à cause du double signe, ip

ou m résultats qui sont tous imaginaires, et d'ailleurs conjugués deux à deux ou réciproques.

2" m est impair.

On pose m = 2/? + I, et l'on a

,.,., m, (2A--f- Or , . . (2A--[-i)-

(0 bis) v'— ' = cos ±: f sin

m ■ — I Il suffit alors de donner à A- les valeurs o, i, 2, 3, ..., p =: •

(3n obtient ainsi, à cause du double signe, 2/; + 2 ou ni + i résultats; mais les deux résultats trouvés en faisant /.=/> n'en font qu'un seul à cause de la nullité du sinus, de sorte qu'on n'a en tout que m racines. Le dernier résultat (pour k=zp) est d'ailleurs — i. Toutes les autres racines sont imaginaires et conjuguées deux à deux ou réciprociues.

Racines des quantités réelles.

84-9. D'après ce qui précède (8i6), la racine m'^"'" d'une quantité réelle a m valeurs, puisque les quantités réelles ne sont qu'un cas particulier des quantités imaginaires (838).

A étant une quantité réelle, nous avons vu (130) que, dans le cas de m impair, "y^A a toujours une valeur réelle, et une seule, de même signe que A. Toutes les autres valeurs de y/A sont imaginaires. Dans le cas de m pair, '^X admet deux valeurs réelles ou n'en admet aucune, suivant que A est une quantité positive ou négative. Toutes les autres valeurs de "s/a sont imaginaires.

Nous allons montrer que, les racines imaginaires d'ordre 771 de l'unité positive ou négative étant connues (847, 8i8), on peut en déduire immédiatement toutes les racines imaginaires de "\/A.

A étant une quantité positàe. posons

j sera l'une quelconque des racines /n'^'"*'^ de + A ou de —A. En élevant à la puissance 771 les deux membres de la relation ci-dessus, il vient

Si a est la racine /7i'^"^'= arithmétique de A, on peut poser

et remplacer A par a'". L'équation (i) devient alors

a"' a;'" =z ± a'" , c'est-à-dire

( 2 ) JC"'=:±l.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ÔJ

On voit que ^ n'est pas autre chose que l'une quelconque des m racines nv^""^^ de -i- 1 ou de — i (8i7, 8i8), suivant qu il s agit de y + Aoude \J — A.

On est ainsi conduit à ce théorème :

Toutes les racines m"^""^^ d'une quantité positu-e s'obtiennent en multipliant sa racine ni^^'"^ arithmétique par les m racines jjiiimcs cle -\- i ; toutes les racines m'^'"" d'une quantité 7iégative s'obtiennent en multipliant la racine m'^""^ arithmétique de la quantité positive correspondante par les m racines fft'é'nes ^^ — i {Alg- élém., équations binômes, 267 et suiv.).

850. On peut dire d'une manière plus générale que, dans tous les ordres, les racines d'une quantité quelconque s'obtiennent en multipliant l'une d'elles par les racines correspondantes de l'unité.

Soit a l'une quelconque des valeurs de "\/A, A étant une quantité quelconque, réelle ou imaginaire. Soient i, a, (3, y, ô, ..., les m valeurs de \/i. Formons les m produits différents

« X 1, a'X oi, <? X (3, « X y, a ~xo, ....

Ils représentent les m valeurs de "\^\ car, si on les élève à la puissance m, on obtient m résultats

«'", a'" a'", rt"'j3'", (7'"y'", «"'ô'", ...,

tous égaux à A. On a, en effet, par hypothèse,

«'«—A et «'«= ;3'"=y'« = â'» = . . . = 1.

831. Cette règle s'appliquant à l'unité elle-même, on peut dire que, lorsqu'on multiplie successivement toutes les racines jj^iemes ^g l'unité par V une quelconque d'entre elles, on ne fait que les reproduire dans un ordre différent.

C'est ce que nous allons vérifier, par exemple, pour les racines cubiques de l'unité.

En désignant l'une d'elles par x, on a

Il faut donc résoudre l'équation

Le binôme x'^ — i étant exactement divisible par le binôme

j — I f l'O, elle se partage immédiatement en deux autres,

jc- — i = o, a-- -h r -}- i z= o ; d'où les trois racines

j — I -h i\/T\ — 1 — fy/â

Les deux racines imaginaires sont bien conjuguées et réciproques (847).

Si l'on multiplie les trois racines par la dernière, on trouve

-i-W^ (- I 4- /\/3) (-1- iJs)

On voit en même temps, et cette remarque est importante, que chacune des racines cubiques imaginaires de l'unité est le carré de l'autre, de sorte que, si l'une de ces racines est représentée par a, l'autre pourra l'être par a^

Calcul des radicaux, lorsqu'on tient compte de leurs déterminations

multiples.

852. Nous n'avons considéré précédemment que ce qu'on appelle les valeurs arithmétiques des radicaux (131), et nous avons donné (132etsuiv.) toutes les règles relatives au c<7/c«/ de ces valeurs arithmétiques. Mais un radical possédant (lorsqu'on le prend dans toute sa généralité) autant de valeurs distinctes qu'il y a d'unités dans son indice, il est essentiel de revenir ici sur le calcul des radicaux entendus de celle manière, et de montrer que les règles connues demeurent, en général, applicables, les indices et les exposants restant des entiers positifs quelconques.

833. I. Pour multiplier deiLv (ou plusieurs) radicaux de même indice, on multiplie les quantités placées sou.1 ces radicaux, et l'on affecte leur produit du radical commun ( 133 ).

Il s'agit de démontrer l'identité

On peut dire simplement que, en élevant le premier membre de celte

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 3c)

relation, quel qu'il soit, à la puissance m, ou obtient toujours AB (818). Ce premier membre représente, par conséquent, l'une quelconque des racines m'""*' de AB ou des valeurs du second membre. D'ailleurs, chacun des facteurs "\/k et V^ ^ "^ valeurs différentes, comme "i/X^. Il en résulte que, si l'on multiplie les m valeurs de "s/ k par l'une quelconque des valeurs de "\/^^ on obtiendra les tn valeurs distinctes de y/AB. El, si l'on emploie de la même façon les autres valeurs de "s/^. on reproduira nécessairement, dans un autre ordre, les m valeurs de

On voit que l'identité posée est bien vérifiée; mais que, si l'on veut ne pas laisser à son premier membre m- valeurs, qui n'en font en réalité que «2, il faut spécifier qu'on fera correspondre à chaque valeur de y/A une valeur spéciale de "i/^, par exemple, la première à la première, la deuxième à la deuxième, . . . , la m'"°<' à la m'''""".

On peut aussi, pour vérifier l'identité posée, revenir à la forme trigonométrique.

Soient

A = A-] ( cos ai -i- i sin aj ) ,

B = /'s ( cos a, -h- J sin aj ) .

On aura, d'après la formule de Moivre (846), et Ai et Ao étant des entiers quelconques,

Par suite (Sil,i33), v/A y/B = \/rxi'i cos -r- ' Sin ■

D'autre part, on a (8 il )

AB = /■ir2[cos(ai -f- ao) — i" sin(ai-f- a,;]

et (8i6)

/ "'/TÏ7 '"/ / ai--a.2^2/- , •„-„^i-^ =^2-'^ 2^"\

(2) v^AB= //-ir-Wces ^^ nisin -^^ j,

/ étant un entier quelconque.

Si l'on rapproche les résultats (i) et (2). on a évidemment, en raison de l'indétermination complète des entiers Ai, A^ et /, et le diviseur m restant le même (846),

717b = VÂB.

40 ALOi.BRE SUPÉRIEURE.

8o4. II. Pour dwiser deux radicaux de même indice, on divise les quantités placées sous ces radicaux, et l'on affecte leur quotient du. radical commun (133).

Il s'agit (le démontrer ridcntitc

En élevant le premier membre de cette relation, quel qu'il soit, à la puissance /«, on obtient toujours ^ (823, 824). Ce premier membre

représente, par conséquent, l'une quelconque des racines w''"" de ou l'une quelconque des valeurs du second membre.

U suffit de diviser les m valeurs de 7Â par l'une quelconque des valeurs de Vb pour obtenir, sans répétition, les m valeurs distinctes

On peut aussi présenter la démonstration en revenant à la forme trigonométrique (833). Nous ne nous y arrêterons pas.

833. 111. Four élever un radical à une puissance, il suffit d'élever à cette puissance la quantité placée sous le radical (136).

Il s'agit de démontrer l'identité