VA
No^S supposerons d'abord jh et p premiers entre eux. /a a m valeurs, et il faut prouver que, en élevant chacune d'elles à la puissance/), on obtiendra les m valeurs de "\/Xp. êoit
A = /"(cosa -1- /sina i.
On aura, successivement ( 8i6, 130, 8i3),
cos H- i sin -
u; (7X/ = 7^' (cos ^^ ~ ^^^'" 1- i sin g^ - ■'■P^'^l], \ "i m )
A/' = /"^(cos/ja -^^ /sinyja),
(2) 7X^ ^'yvpUo^Pi±2à}± ^/sin^^^^ti^V
Le diviseur m étant le même de part et d'autre et les entiers A- et A-,, complètement indéterminés, les relations (i) et (2) justifient l'identité à démontrer.
856. Si m et p ne sont pas premiers e/itre eux, tu peut être multiple de p ou présenter avec p un plus grand commun diviseur inférieur a p.
Dans la première hypothèse, ou peut poser m = np, et l'on a
En effet, toute valeur x de "v^, élevée à la puissance np, doit reproduire A. On a donc .r"P = A ou, ce qui revient au même (ISO), {xpY— a. Les valeurs de xp ou de ("v^A)^ ne sont donc autre chose que les valeurs de "\/x.
Dans la deuxième hypothèse, en désignant par /i le plus grand commun diviseur de m et de /?, on peut poser m = kn et p =^ In^ et l'on a, d'après ce qui précède et d'après le n° 800,
Cviy"= [C'VÂ)"]'= Ci/iy= t/r'.
Ainsi, on a le droit de rendre premiers entre eux l'indice du radical et l'exposant de la puissance (138), et il ne reste plus ensuite qu'à appliquer la règle du n° 8oo.
857. IV. Pour extraire une racine d'un radical, on extrait cette racine delà quantité' placée sous le radical, ou l'on multiplie l'un par l'autre les deux indices conside're's (137).
Il faut démontrer la double identité
771= 7^= 'Ta.
Or. si X est l'une quelconque des racines n'"'^"^ de l'une quelconque des racines w'*^"""^ de A, on a x" = "s/ X. Par suite,
(.r« )'« = (,r'« )" = x'nn = A.
Il en résulte que x ou y y^A est Tune quelconque des racines mn'""""^ de A. D'autre part (800, 836),
x'«= ( VVaJ'"= y(Wr-= "/Â.
X est donc aussi l'une quelconque des racines w"'"" de l'une quelconque des racines n''""" de A, et l'identité posée est complètement justifiée.
808. V. Pour multiplier oit diviser des radicaux d'indices différents, il faut d'abord les ramener au même indice: puis, appliquer les règles que nous venons de généraliser ( 139).
Mais il faut bien remarquer que cette transformation aug-
iiiciile les indices des radicaux et, par conséquent, le nombre de leurs valeurs distinctes. Elle est donc, en général, défectueuse. Cependant, si Ton a soin de réduire toujours au plus petit indice commun {Alg. élém., 77), les résultats obtenus sont exacts.
839. Soit, par exemple, à nitiliiplier les deux radicaux d'indices différents
Nous supposerons d'abord les indices m et // premiers entre eux. Il s'agit de démontrer l'identité
Admettons qu'on ait
A = /•i(cosai-4- /sinai), B = r., ( cos a2 -r- i sina*). On en déduit successivement
S'r^ ces
-f- i Sin ■ )
y/U — v//"2 ( COS
a-i -!- 2/i.)TT
-t- « sni —
ai -f- aA-i
t>-i- a/coTi"^
l Va y/B = "7^^(005
« a I —- m ao -(- 2 rt Al TT -f- 2 m A^ ir
// ai -;- 7?z ao -^ 2 « A I TT ^- 2 m Ao t:'
D'autre part, on a
A" = /''/ ( COS // ai -+- / sin n a, ), B'" — r'.i' ( cos m oc^ -j- i sin /n x-, ), A«B"' = /■'//*;,"[ cos (// a i-î- wa2 )-^ zsiii(«ai-t- mai)].
1 ""^.v^B^=."";/,-'77f /cos
. . «ai -4- moi.=>-\- iItz i sin =
Les expressions (i) et (2), en raison du diviseur commun m/i et de
l'indétermination des entiers Ai, /i-î et /, sont bien équivalentes, et l'identité est justifiée.
On a, par exemple, exactement,
v/I y/ii = v/Â^.
860. Si les indices m et ii ne sont pas premiers entre eux, ils admettent un plus grand commun diviseur d, et l'on peut poserm=/)rf, n — qd, p el q étant premiers entre eux. Il faut démontrer l'identité
Or on peut écrire (8j7)
Il en résulte, l'indice d étant commun et p et <y étant premiers entre eux (8o3, 859, 8o7),
L'identité posée est donc encore justifiée. On a, par exemple, exactement.
v/Âv/b= Vâ^bï,
et les vingt-quatre déterminations du premier membre se réduisent aux douze déterminations du second.
861. S'il s'agissait de diviser des radicaux d'indices difierents, on emploierait le môme mode de démonstration, en réduisant toujours au plus petit indice commun.
862. Dans la pratique, on peut avoir à considérer tantôt les valeurs arithmétiques des radicaux, tantôt leurs valeurs générales, c'est-à-dire l'ensemble de leurs déterminations, tantôt une seule de ces déterminations. Quelques auteurs ont proposé d'adopter pour chaque cas une notation spéciale.
Mais cela nous semble inutile, à la condition que le lecteur soit prévenu et prenne lui-même les précautions nécessaires pour éviter toute confusion.
Application des imaginaires à la généralisation et à la démonstration des formules trigonométriques.
