I. Rapports trigonométriques de la somme dx.n nombre
QUELCONQUE d'aRCS.
Nous avons vn{Trigon., 6Ï) comment on pouvait calculer de proche en proche les rapports trigonométriques de la somme d un nombre quelconque d'arcs, quand on connaissait les rapports trigonométriques de chacun d'eux. Nous nous proposons ICI de trouver directement, à l'aide des imaginaires, les formules générales qui résolvent cette question.
Considérons n imaginaires réduites (8H), d'arguments a, «2, oc„ ..., a„. D'après la règle connue (841), leur produit aura pour expression
(0 C0S(a,-|-a,+ a3 + ... + aJ + .sin(a, + a,-4-a3 4-...+ a„).
On peut l'obtenir sous une autre forme en employant, pour chaque facteur imaginaire, la transformation
cosaj + i sinai = cosa,(i -i- nangai).
Le produit a alors, pour seconde expression,
^^^ j cosa,cosa,cosa3...cosa«(i-f-Manga,)
) X (, + ,• tanga,) (, + i tangua) ...(, + / tanga„).
Mais, si l'on désigne par P, la somme des produits k à k des tangentes des arguments considérés, k variant de i à /î le produit des facteurs binômes de la forme i + ùanga. poJrra s'écrire (826 et ^/^-.c7e,«., -29) .louiia
Par conséquent, en substituant ce résultat dans l'expression (o) et en égalant ensuite celte expression à l'expression (i), on
aura
C0S(«. + oc,+ ^3-^. . . + a„) + / sin(a,+ a,+ «3 + . . .+ a,) =::cosa,cosa,cosa3...cosa„[,-P,4-P^...^,-(P^p ^p
Il en résulte immédiatement (810)
i cos ( ai -+- a, 4- aj + . . . — a,, ) (o) \
I = cos y-i cos a., cos Xj . . . cos a„ ( i — P., 4- Pi — ... )>
sin(ai-i- 7.2-1- y.3 + - . .— a„)
= cos a, cosa, cosaj . . . cosa„(Pi — Pj-h P5 — . . .).
Si, dans les seconds membres des formules (3) et (4) qui résolvent la question pour le cosinus et le sinus d'une somme, on fait passer le produit des cosinus dans la parenthèse qui renferme les tangentes, ces dernières disparaissent, et le cosinus ou le sinus d'une somme d'arcs se trouve exprimé en fonction des sinus et des cosinus de ces arcs.
En divisant les formules (4) et (3) membre à membre, il vient, pour la tangente d'une somme d'arcs, exprimée en fonction des tangentes de ces arcs,
(a) tang(a, — a2^a3 + ...+ a„) =
Pj+Pi-...
86i. II. Rapports trigo>'03iétriques d'un multiple quelconque d'un arc.
Nous avons montré également [Ti-igon., 61, 62) comment on pouvait calculer de proche en proche les rapports trigonométriques d'un multiple quelconque d'un arc, quand on connaissait les rapports trigonométriques de cet arc. Nous allons trouver directement, à l'aide des imaginaires, les formules générales qui résolvent cette question.
La formule de Moivre (8i3) nous donne
(cosa — i sin a)'" := cos/?? a -i- « imm y..
Or, si l'on développe le premier membre comme on a développé {a H- 6«)'"[827], on pourra ensuite (810) égaler la partie réelle de ce développement à cos/?« a et le coefficient de «dans ce même développement à sin ma. On aura ainsi immédiatement, en se reportant au n° 827,
Im{m — i) ., . ,
cos m a = cos'" y. cos'"-- y. sin- y. 1 .2
/ -^ ^ — — 7^—r cos'"-*a sm-a — . . .
et
m (,n — I ) (m — o.) (,„ 3) (;>j /j) l + ^^37475 cos— ^asiira-,
Les formules (i) et (2) font connaître le cosinus et le sinus d'un multiple quelconque d'un arc, en fonction du sinus et du cosinus de cet arc. Il est utile de remarquer que cosma peut toujours s'exprimer rationnellement en fonction de cosa, tandis que sinma ne le peut jamais. D'autre part, pour que cos m a puisse s'exprimer rationnellement en fonction de sin a, il faut que m soit pair; et, pour que sinwa puisse s'exprimer rationnellement en fonction de sin a, il faut que m soit impair (Trlgon., 3'0. ^
En divisant les formules (2) et(i) membre à membre, puis en divisant par cos'"a les deux termes de la fraction trouvée, il vient
I "^ , inim -~ i)(m — o\
- lang a ^ '±^ 1} tang» a
J >n{m--iMin — '?.)i?7i — r){ni—^) î
-. ; „ •> — 7~^ tangua — ... 1
(3) langmoL= ^.-i.i.j.^ ^ !^
I 'Ji(!!izz^ tana2a '^'^'" ^ ' ' ^'" - 2) i>n - 3) ^ ^
Ldug a -, ^ tangua — ..
On voit que tang «i a s'exprime toujours rationnellement en fonction de tangsc.
