III. Puissances des rapports trigoxométriques d'un arc

Comme dernière application, proposons-nous, m étant un entier positif, de calculer cos-a et sin'«a, connaissant les cosmus et les sinus de a et des arcs multiples de oc.

Prenons les deux expressions imaginaires conjuguées qui correspondent à a, et posons

cos a -}- i;sina= u, cos a — ismx=.v.

Il en résulte, par addition et soustraction,

Nous aurons donc, en élevant ces deux relations à la puissance m,

2'" cos'" a =: ( « 4- (^ )'", 2'" «■'« sin '« a = ( << — v)'".

Si l'on développe les seconds membres par la formule du binôme, il vient (255, 261)

■2'" cos'" a = a'" + — «'"-' (

m 2'" L'" sm'" a =; «'" — - u'

fin l'ii cin'« (2)

ni

/Ai ( /?i —

-h nm

Mais, dans ces développements, les termes à égale distance des extrêmes ont des coefficients égaux en valeur absolue et peuvent être groupés deux à deux.

Considérons la relation (i).

En supposant d'abord ni pair, on pourra l'écrire

l 2'" cos'" a := («'"+ ("") A uv{ii"'--+ V'"---)

et le dernier terme du second membre, qui sera alorsle terme du milieu dans le second membre de la relation (i), se présentera sous la forme (262)

ni{m — i) [m — 2). . . (~ -h i] m ,n

Si Ton remarque maintenant que l'on a d'abord ui> = i, puisqu'il s'agit d'imaginaires conjuguées, et ensuite, d'après la formule de Moivre (843),

«^-+- v'-' = 2 cos A" a,

48 ALGÈBEE SUPÉRIEUHE.

il vient, dans le cas de m pair, en divisant tout par >.,

m s'"-' cos"'a r= cos/?«a -f cos(m — 2) a

m (ni — I ) 1 .2

cos(/?« --- 4)3:

Si l'on suppose m impair, la seule différence, c'est que le dernier terme du second membre de la relation (3) est alors la somme des deux termes du milieu dans le second membre de la relation (i). Ce dernier terme se présente donc sous la forme (262)

ni{m — }){m — 2) . . . \^ — ~ — 1 m-i ;»-i

Comme a + c = 2 cosa, on peut alors diviser tous les termes par 2, et il vient, dans le cas de m impair,

2'"-^' cos'"a = cos//za M cos(//i — 2) a.

1 H cos(/// — 4)a -{-. . .

cosa.

Considérons à présent la relation (2).

En lui appliquant la même analyse et en supposant d'abord m pair, on pourra l'écrire

î 2'" i'" sin'" a = ( u'" + v'" ) — ~ in-{u"'---{- t''«-2)

et le dernier terme du second membre, qui sera alors le terme

du milieu dans le second membre de la relation (2), se présentera sous la forme

Le signe — correspond évidemment a — pair et le signe — a

— impaii'.

Ainsi, dans le cas de m pair, on a, en divisant tout par 2,

2"!-i i>n sm'" y ^r: cos m 7. cos (/n — 2 ) a (B) i +^--cos(m-4)a-...

I /7l{7)l — i) {ni — 2 ) . . . ( i- I

Si l'on suppose m impair, les coefficients des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de signes contraires, au lieu d'être égaux et de même signe, de sorte que la relation (2) peut s'écrire

i 2'" i"' s'nV" y. — ( II'" — V'") — '- «('(«'"-- — ("■•—-)

i^bis) < '

et le dernier terme du second membre, qui est alors la somme des deux termes du milieu dans le second membre de la relation (2), se présente sous la forme

Le signe -^ correspond évidemment a — - — pair et le

. ffi — ^ I .

signe — a impair.

Dii C. — Cours. IV.

5o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

D'ailleurs, d'après les valeurs de a et de c cl la formule de

Moivrc, ou a

II'' — v'' =^ 2 i sin/i a.

Par suite, u — v=^ii ?,\ny., et l'on peut diviser tous les termes par 2 i. 11 vient donc, dans le cas de m impair,

2'"-'{'"-' sin"'a — sin/«a sin(/« — '.i)y.

•sina.

Dans le premier membre de la formule (B), /n élant pair,

on peut remplacer /'" luu- (/'-)- ou t)ar ( — i)-. De même, dans le premier membre de la formule (B'), m — 1 éini^t pair, on

in-\

peut remplacer «'"-' par {i-) - ou par (—1) - . Toule trace des expressions imaginaires employées disparait donc.