ET DES OPÉRATIONS SUR CES QUANTITÉS

Notions préliminaires.

866. Comme nous l'avons rappelé (800), les quantités négatives ont été d'abord regardées comme de purs symboles. Ce n'est que par une interprétation concrète qu'on a pu leur restituer la réalité qui leur appartient et leur faire dans la Science leur véritable place. 11 en a été de même des quantités imaginaires, qui n'ont pu acquérir un sens réel que lorsqu'on est arrivé à les représenter géométriquement.

Il convient de dire ici que la théorie algébrique des imaginaires a été fondée surtout par les travaux de d'Alembert, d'EuLER et, en dernier lieu, de Cauchy.

Quant à leur interprétation concrète, on doit sans doute en faire remonter l'honneur à K. Arga>d ('), à C.-V. Mourey (-), et à Cauchy (^) lui-même, qui, en adoptant les vues de ses devanciers, leur a donné la consécration de son génie.

La règle relative aux solutions négatives (800) ne peut être directement démontrée, mais elle se vérifie d'une manière

(') R. Argand, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques (i8o6). 2= édition, 187:^; Gaulhier-Villars.

{-) C.-V. Mourey, La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires (1828). 2= édition, 1861; Mallet-Baclielier.

(^) Cauchy-, Anciens Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, t. IV (voir les Œuvres complètes de Cauchy, publiées sous la direction scientifique de TAcadémie des Sciences et sous les auspices du Ministre de lIxstruction publique. — Gaulhier-Villars.)

conslanle clans toutes les branches des Sciences mathématiques. Nous croyons qu'il en est de même de la règle que nous allons faire connaître et qui sert de fondement à la représentation géométrique des quantités imaginaires.

867. Reportons-nous aux premières notions établies en Algèbre élémentaire {Alg. éiéni., 312 et suiv.) sur la représentation graphique des variations correspondantes d'une fonction et de la variable dont elle dépend. Ces notions nous ont déjà permis de définir les rapports trigonométriques d'une façon complètement générale {Trigon., k, o, 6 et suiv.).

Traçons dans un plan {fig. 21) deux axes rectangulaires

xx' , yy', formant un système d'axes coordonnés dont le point 0 est l'origine.

Si l'on donne une expression imaginaire de la forme a -r- bi. il est facile de construire le point M dont l'abscisse OP représente la partie réelle a de l'imaginaire et dont l'ordonnée PM représente la quantité réelle b associée à i.

Toutes les fois qu'on connaîtra l'imaginaire par ses éléments a et b, le point M correspondant sera ainsi déterminé dans le plan; et, réciproquement, toutes les fois qu'on marquera le point M dans le plan, une certaine expression imaginaire, et une seule, lui correspondra, cette imaginaire ayant pour partie réelle la valeur de l'abscisse OP et, pour coefficient de /, la valeur de l'ordonnée PM.

Pour identifier entièrement le point M (qualifié alors de point imaginaire) et l'expression imaginaire a-\-bi, il suffit de convenir que l'expression imaginaire est la somme de

l'abscisse et de l'ordonnée du point, cette dernière étant multipliée par i.

Mais, l'ordonnée étant perpendiculaire à l'abscisse, cette assimilation exige que le signe d'opération i ou \/ — i soit l'équivalent algébrique de la perpendicularité géométrique. C'est ce que l'on admet aujourd'hui.

868. Si l'on joint l'origine 0 au point M {Jig. 21), on a, dans le triangle rectangle OPM, en désignant par a l'angle ^OM de OM avec Ox,

OM=v'«'+/>-, cosa=: > sina^r ,

\Ja^+ b^ \/a'^+ b-

On voit (836) que OM représente le module ûq l'expression imaginaire dont il s'agit et que l'angle a est son argument.

Considérer OM au lieu de considérer le point M, c'est donc, pour l'imaginaire a-i-bi, passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique.

On parvient de la sorte à un second mode de représentation géométrique, qui est celui que nous adopterons ici.

a est la projection de OM sur l'axe a^x', b est la projection de OM sur l'axe yy', et cette dernière projection doit être affectée du signe ou du facteur i, l'axe jj' étant perpendiculaire à l'axe cco''. .L'expression imaginaire, représentée trigonométriquement par OM, est donc, algébriquement, la somme des projections de OM sur les deux axes.

Mode de représentation géométrique des quantités imaginaires.