partie Ox sert de point de départ aux arguments

(') Mourey appelait verseur l'angle que nous appelons argument.

ALGEBRE SUPEPilECRE. OD

Enfin, si l'on a a = — ou a =: — -i- ikr., la quantité ima2:i- 2 2 ^

naire se réduit à — /v', imaginaire simple négative^ représentée par le segment OB', compté à partir de l'origine sur la partie négative de l'axe tj'.

En résumé, on peut dire que l'axe xx' étant l'axe des quantités réelles, l'axe yy' est celui des quantités imaginaires simples positives ou négatives, tandis que les quantités imaginaires complexes sont représentées par les rayons intermédiaires de tous les cercles qu'on peut tracer dans le plan des axes autour de l'origine 0. Et il apparaît ainsi que la forme générale des quantités est, au point de vue où nous nous plaçons, la forme imaginaire.

870. Le segment OM, transporté parallèlement à lui-même en 6j,(jt. {fig. 22), ù) étant la nouvelle origine, représente la même expression imaginaire, puisque ce transport n'altère ni le module ni l'argument.

Deux segments rectilignes de même longueur, de même direction et de même sens, c'esl-à-dire deux segments parallèles, égaux et de même sens, représentent donc deux imaginaires égales; et réciproquement. (Les modules sont alors égaux; les arguments sont égaux ou diffèrent d'un nombre exact de circonférences.)

871. Si l'on prolonge OM en sens inverse suivant OM' [fig. 22), on augmente de r. l'argument a, et l'expression imaginaire représentée par OM' est

/• [cos {t. — y.) -;- < sin (- -f- a)] in; /• ( — cosa — « sin a),

c'est-à-dire qu'elle est égale et de signe contraire à celle représentée par OM.

D'une manière générale, deux imaginaires égales et de signes contraires sont donc représentées par deux segments parallèles, égaux et de sens contraires.

872. Si l'on considère {fig- 22) le raj'on OM,, symétrique du rayon OM par rapport à l'axe xx' , l'argument a change de signe, et l'expression imaginaire représentée par OMi est

/■ [cos ( — y.) -f- /sin ( — a)] = /" (cosa ^ /sina),

c'est-à-dire qu'elle est la conjuguée de celle représentée par OM.

"*" ALGÈBRE SUPÉIUEURE.

Deux imaginaires conjuguées sont donc représentées d'une manière générale, par deux segments égaux, également inclinés de part et d'autre de l'axe ara-'.

873. La grandeur d'une quantité imaginaire s'estime par la longueur absolue de la droite OM qui la représente, c'està-dire par la grandeur même de son module, -^ v/«^+^ (820).

Lorsque le module s'annule, il en est de même de la quantité miaginaire, qui se réduit à l'origine 0 dont les coordonnées sont nulles. La nullité de la quanti té imaginaire correspond donc -d a = o,b = o (867).

874. Calchy a appelé gaanlité géométrique toute droite donnée en grandeur d'abord, et en direction ensuite, en partant de l'une de ses extrémités dite extrémité initiale, et en marchant vers l'autre extrémité dite extrémité finale, de sorte que la direction ainsi entendue comprend à la fois la direction et le sens.

D'après le mode de représentation que nous venons d'indiquer (869), on voit que les quantités géométriques comprennent, dans leur ensemble, les quantités réelles et les quantités imaginaires.

Une quantité géométrique étant déterminée par son module /■ et par son argument a, on peut la représenter commodément par la notation

à laquelle correspond la dénomination souvent employée do vecteur.

Les quantités géométriques jouissent de propriétés importantes qu'on peut démontrer facilement {Géom., Questions proposées, n° 233), dont on retrouve l'emploi dans toutes les branches concrètes des Sciences mathématiques, et que nous allons appliquer aux opérations sur les quantités imaginaires figurées géométriquement.

Addition et soustraction.

873. Soient les deux quantités imaginaires r/ + bi, «'+ b' i, représentées géométriquement (//>. 23) par OA et OB. Transportons le segment Olî parallèlement à lui-même en AD, il représentera toujours la même quantité imaginaire (870).

Considérons maintenant le segment OD, résultante des segments OA et OB qui sont, réciproquement, ses composantes {loc. cit.). D'après un théorème connu {Trigon., i8), la projection de OD sur chacun des axes xx', yy' est la somme

Fiff. 23.

des projections de OA et de AD ou de OA et de OB ( Trigon., io) sur les mêmes axes. La projection de OD étant ainsi égale à a — a' sur l'axe xx' et à 6 — 6' sur l'axe >■>', OD représente (868) la quantité imaginaire

( rt -f- a' ) -T- ( h -h h') i,

c"est-à-dire (,811) \a somme des imaginaires proposées.

Pour ajouter géométriquement deux quantités imaginaires, on n'a donc qu'à former le triangle OAD ou le parallélogramme OADB de ces imaginaires: leur somme est alors représentée parle côté OD du triangle ou par la diagonale OD du parallélogramme. (C'est le théorème du triangle ou du parallélogramme des imaginaires, analogue au théorème du triangle ou du parallélogramme des vitesses ou des forces en Mécanique."^

Si Ton remarque que, dans le triangle OAD, le côté OD est plus petit que la somme des deux autres et plus grand que leur différence, on arrive immédiatement à ce résultat, déjà connu : le modale de la somme de deux quantités imaginaires est compris entre la somme et la différence des modules des parties (8i0).

8T6. On peut étendre immédiatement les considérations précédentes à l'addition d'un nombre quelconque de quantités imaginaires.

ALGÈBRE SUPÉRIEURK.

Si Ton a à ajouter des quaniités imaginaires représentées géométriquement par OA, OA', OA", OA'" {fig. 24), on n'a qu'à former le contour polygonal OABCD, dont les côtés leur sont respectivement égaux, parallèles cl de même sens. La

droite 01) qui ferme ce contour, résultante des quantités géomélriciues proposées, représentera géométriquement la somme des imaginaires correspondantes. (C'est le théorème du polygone des imaginaires.)

La droite OD étant au plus égale à la somme des cùlés du contour OABCD, on voit que le module d'une somme ne peut jamais surpasser la somme des modules des parties (840).

877. La soustraction étant lopéralion inverse de raddilioii, il est facile de construire géométriquement la dilTérence de deux ([uanlités imaginaires.

l'ijî. 10.

Soient ces quantités représentées {fig- 25) par OD et par OD : on veut relranclier la seconde de la première.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. DC)

Si l'on ajoute à OD, d'après la règle précédente (875), la quantité imaginaire — OB, en prenant le segment DA égal et parallèle à OB, mais de sens contraire (871), la résultante OA représentera la différence cherchée; car, si l'on ajoute à OA la quantité soustraite OB, en prenant AD égal et parallèle à OB, et de même sens, on retrouve OD comme résultante ou comme somme.

Multiplication et division.

878. Nous avons vu (841, 8i2) que le produit ou le quotient de deux quantités imaginaires a pour module le produit ou le quotient de leurs modules et, pour argument, la somme ou la différence de leurs arguments.

Supposons d'abord que OA et OB {/îg. 26) représentent géométriquement deux quantités imaginaires à multiplier lune par l'autre. Voici quelle sera la représentation géométrique de leur produit.

Fig. 2G.

ÛC'

Le multiplicateur devant toujours être considéré comme abstrait, on multipliera la longueur OA par le nombre abstrait qui mesure la longueur OB. On obtiendra ainsi une longueur OC, comptée sur OA à partir du point 0. Il restera à faire tourner la longueur OC d'un angle COD égal à l'angle j:OB, et OD représentera géométriquement le produit OA.OB.

Celte construction s'étend évidemment au cas d'un nombre quelconque de facteurs.

Si l'on emploie la notation indiquée (87i) et si l'on pose

OA = r,., OB = /-a ,

on a, évidemment,

OD = (/v')^+a.

879. Si Ion a à multiplier les deux imaginaires conjuguées représentées {fig. 27) par OB et OB, (872), comme leurs modules sont égaux, on obtient d'abord sur OB une longueur OC correspondant au carré du nombre qui mesure OB. Puis,

ig. 27.

il s'agit de faire tourner OC de l'angle négatif j"OB,; ce qui ramène cette longueur sur Ox. Le produit de deux imaginaires conjuguées est donc le carré positif de leur module commun (820).

880. La division étant l'opération inverse de la multiplication, si l'on a à diviser l'imaginaire représentée par OD par l'imaginaire représentée par OB {fig. 26), on divisera d'abord la longueur OD par le nombre abstrait qui mesure la longueur OB, et l'on obtiendra comme quotient une certaine longueur (qui sera égale à OA), comptée sur OD à partir du point 0. Il restera à faire tourner cette longueur, dans le sens négatif, d'un angle égal à l'angle .rOB, et l'on retombera sur OA comme représentation géométrique du quotient de OD par OB.

Puissances et racines.

881. Ce qu'on vient de dire pour la multiplication d'un nombre quelconque de facteurs (878) s'applique nécessairement à toute puissance entière et positive d'une quantité imaginaire. On arrive ainsi, dans cette hypothèse, à la représentation géométrique de la formule de Moivre (8i3)

[/•(cosa + i sin3{)]"'= /'"(coswîa -^ iixwmy.).

882. Si l'on veut, en particulier, former les juiissances de ?', on sait (869), en supposant le module /• égal à l'unité, que i est représenté par une longueur OB {fig. 28), égale à l'unité,

et portée sur la. partie positive de l'axe j/', puisque l'argument correspondant est - •

Pour multiplier ipav i, il faut alors porter la même longueur égale à l'unité perpendiculairement à OB, afin d'ajouter les arguments; ce qui donne i-=:zOX' = — i.

Fifî. 28.

On obtient de même «-^ == OB ' = — « et r=OA==+i.Et ces résultats se reproduisent indéfiniment, d'une manière périodique (826).

883. m étant entier et positif, pour obtenir géométriquement la puissance m de l'imaginaire représentée par OAi:= /r^, on peut opérer comme il suil.

Soit {/ïi;-. 29) 01 l'unité positive mesurée sur 0^ . Con-

struisons sur OAi un triangle OAjA,, semblable au triangle

OIA,, les cotés homologues dans les deux triangles étant OA, et ()1. Construisons successivement, dans les mêmes conditions, les triangles OA2A3, OA3A., ..., tous semblables au premier triangle OlAj. Il est clair, pour OA; par exemple, que l'argument ^OA^ est égal à ^y.. On a, de plus,