OA. OA, OA3 OA, ~ OA2 ~ OA3 " OA

et il en résulte

OA3=OA2.0Ai= (/•«)% 0A,= 0A3.0A,^ (/•«)%

88i. Nous avons vu (84-6) que l'extraction delà racine /«'^"^ d'une quantité imaginaire correspond à la formule

V//-(cos3c -i- i sina) r=: \//-l cos

i sin

oA-

et que cette racine m'''='^'' présente m valeurs distinctes qu'on obtient en donnant à l'entier k les fu valeurs o, 1,2, . . , w — j .

Il est facile de figurer géométriquement ces /n valeurs de la racine ;«''"=".

On n'a qu'à décrire un cercle, de l'origine 0 comme centre, avec "v'7- comme rayon (.Ai?. 3o); puis, à prendre d'abord, à

partir de son point d'intersection A avec O.r, un premier arc

AAo égale à — • m

Cela fait, on divise, à partir de Ao, la circonférence en ni

ALGEBRE SUPERIEURE.

parties égales AoAi, AjA.,, A2A3, . . ., A,„iAo. 11 est évident, d'après ce qui précède, que les rayons qui aboutissent aux m points de division Aq, Ai, A,, A3, . . . , A„;,, représentent respectivement les m racines de même module "{fr et d'arguments successifs (8i6)

Cf. 2 (m — I ) :

7« ' ni

Interprétation des solutions imaginaires.

880. Nous terminerons ce sujet en remarquant que le mode de représentation géométrique des quantités imaginaires permet de les interpréter comme solutions des problèmes, en entendant l'énoncé primitif dans un sens plus général, comme on l'a fait d'ailleurs dans le cas des solutions négatives.

Pour en donner un exemple simple, reportons-nous au problème de la /nojenne et extrême raison {Alg. étém., 256).

Lorsqu'on place, sur la droite donnée AB =: « qu'on veut partager en moyenne et extrême raison, le point de division C

entre les points A et B {fig. 3i), en posant AC = j;-, l'équation du problème est

x-=: a{a — jc) et l'on trouve pour racines

x- -k- ax — rt-zzz o,

^4 ALGÈBRE SUPÉniEURK.

L'une csl positive et répond au point C; l'autre est néffaiive, elle s'intei-prète comme à l'ordinaire et répond à un point C situé à gauche de BA ou du point A.

Si l'on essaye de placer le point de division en C", à droite de AB ou du point B, l'équation du problème devient

cr-=rt(a— rt) ou ^-—ajc-ha- = o,

et l'on trouve pour racines les deux imai^inaires conjuguées

^= ~ :jzi- v/3.

Ce résultat indique l'impossibilité de répondre à la question telle qu'elle a été posée, impossibilité évidente a priori, puisque C'A surpasse à la fois AB et C"B.

Pour aller plus loin, construisons les deux racines imaginaires (867, 868), en prenant le point A pour origine et la droite AB pour axe xx'. Cette construction sera facile, puisque

-V^ est le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle de rayon - •

Par le point I, milieu de AB, élevons donc à l'axe xx' une perpendiculaire, sur laquelle nous marquerons, de part et

d'autre du point I, des longueurs ly = iy,= ^\/3, et les deux

imaginaires conjuguées seront représentées par les longueurs

Il en résulte que les points symétriques y el y, sont les sommets des deux triangles équilatéraux symétriques, que l'on peut construire sur AB, dans le plan considéré.

Pour pouvoir accepter les solutions ou les points imaginaires, y et y„ il suffit donc de modifier l'énoncé primitif, en disant que l'on veut trouver, dans un plan passant par AB, soit sur cette droite, soit en dehors de cette droite, un point dont la distance au point A soit moyenne proportionnelle entre sa distance au point B et la droite AB.

On a bien, en effet, puisque ky — yB = a,

ly'^AB.yB.

On peut mettre les deux racines imaginaires sous la forme trigonomélrique (836)

iv=i a\ - ± i- — =a cos-, ± i sin -;

et l'on \oit que, si l'on fait tourner le plan de la figure autour de la droite AB, le problème de la moyenne et extrême raison n'a que les deux solutions réelles répondant aux points C et C, tandis qu'il admet un nombre illimité de solutions imaginaires. Ces solutions imaginaires sont représentées par les génératrices d'un cône de révolution de sommet A, dont Taxe est la droite AB et dont la base est le cercle décrit sur yyi comme diamètre, dans un plan perpendiculaire à AB.

De C. — Cours. IV.

66 ALGÈBRE SUPKUIEURK.