DES FON'CTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

Définitions et notions préliminaires.

886. Les définitions données précédemment relativement aux fonctions (439 et suiv., 446 et siiiv.) s'appliquent aux cas où la variable indépendante reçoit des valeurs ityiag inaires.

Si z est la variable indépendante, réelle ou imaginaire, toute fonction entière de z est un polynôme de la forme

F(^) = Ao^'" + A,^'"-' + A2^'«--^ + . . . + A,„, :; ^ A,„,

jn représentant un entier positif et Ao, Ai, A,, . . ., A,,,, des nombres constants, réels ou imaginaires, mais indépendants de^.

Le quotient de deux pareilles expressions est une fonction rationnelle de z, à laquelle on donne souvent le nom de fraction rationnelle.

Toute racine d'une fonction rationnelle de -; constitue une fonction irrationnelle de la même variable.

Ces différentes fonctions sont dites algébriques.

Toutes celles qui ne rentrent pas dans les définitions précédentes sont qualifiées de transcendantes.

887. Lorsqu'on remplace, dans une fonction algébrique u —. o{z), la variable z par une expression imaginaire

^ -\- vi,

nous avons démontré (811 et suiv.) qu'on obtient toujours jiour résultat une expression de même forme. On ])eut donc écrire

u-=:o{jc-\-yi)=:P -+- Qi,

P et Q étant deux fonctions réelles de j? et de v.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 6'j

On peut mettre l'imaginaire ^4-7^ sous la forme trigonométrique (836), en posant

jr=/'C0sa, j"=:/'sina,

de manière à avoir

z ■= r(cosa -t- isina).

Dans cette hypothèse, P et Q sont des fonctions réelles des variables /• et y.. On peut d'ailleurs écrire aussi

Il := P -f- Q / = p ( cos w + « sin w ) ,

le module p et l'argument w dépendant de /■ et de a.

D'après le double mode de représentation géométrique indiqué précédemment (867, 868), à chaque valeur de z répond un certain point du plan où l'on a tracé les axes rectangulaires 0:0;' et jj'; et les coordonnées de ce point déterminent les valeurs correspondantes de P et Q, c'est-à-dire, en général, la valeur de la fonction 9 pour la valeur attribuée à z.

Si ^ et j' ou /• et a varient d'une manière continue (4-36), le point déterminé par chaque valeur de z décrit une certaine courbe dans le plan ^Oy, et l'on dit que :: varie d'une manière continue.

Si, dans ce cas, les valeurs de la fonction u varient également d'une manière continue (et sans ambiguïté), ce qui exige que cette même condition soit remplie parles quantités P et Q ou p et m, la fonction u est continue dans l'intervalle considéré. Le point {z) décrivant une courbe dans le plan JcOy, le point (u) décrit alors une autre courbe dans le même plan ou dans tout autre plan auquel on veuille rapporter ses coordonnées P et Q.

888. Il est nécessaire d'examiner spécialement le cas où, la fonction proposée étant z'"-, m est un exposant fractionnaire

à termes entiers de la forme - •

On a, dans cette hypothèse, en désignant par k un entier quelconque,

; = /-(cosa-i- i sina) = /-[cos (a -^ ikr.) ^ tsin(a 4- 2A•7^)]; puis, par la formule de Moivre (843 et suiv.) et ^7 pouvant ton-

jours être supposé positif,

p{y.-^2/:-) , ,^./>{(X-h2kT:y

zi — Uzi' = \JrP cos '— 4- i sin

Pour cliaque système de valeurs attribuées à /et à a, c'esl-

n à-dire pour cliaque valeur de z, la fonction ô'" ou -'/ sera susceptible de q valeurs distinctes qu'on obtiendra en donnant g' valeurs successives à l'entier A (846), par exemple, les valeurs G, I, 2, ..., 7—1. Il en résulte que, à une valeur déterminée delà variable, ne répond pas une valeur déterminée de la fonction. La fonction complexe z'" n'est donc pas complètement définie, lorsque m est fractionnaire.