Quand on supposer — o dans la fonction complexe

on obtient la fonction réelle o^^c). Il faut donc que la fonction complexe ne soit que la généralisation de cette fonction réelle et qu'elle jouisse de ses propriétés caractéristiques. Les définitions adoptées devront donc nécessairement se prêter à cette généralisation, de manière que les propriétés générales des fonctions réelles appartiennent également aux fonctions complexes correspondantes. C'est là une remarque qu'il ne faut jamais perdre de vue.

Pour pouvoir passer commodément des fonctions réelles élémentaires aux fonctions complexes de même espèce, nous étudierons d'abord les séries dont les termes sont imaginaires.

Des séries à termes imaginaires.

890. Nous ferons observer en premier lieu que la fonction représentée ou définie par une série convergente ordonnée suivant les puissances de la variable, réelle ou imaginaire, est véritablement une fonction transcendante, puisque la définition d'une fonction entière exige que le polynôme correspondant ait un nombre limité de termes (350).

Cela posé, voici comment on définit la convergence d'une série à termes imaginaires.

Admettons que les termes d'une série soient de la forme générale u + vi, u et r étant des quantités réelles. Si les deux

séries à termes réels

sont convergentes et ont respectivement pour sommes S etT, on dit que la série à termes imaginaires

est convergente et qu'elle a une somme égale à Fexpression imaginaire Sh- T/.

Si les séries (i) et (2) ne sont pas toutes deux convergentes, la série (3) est considérée comme divergente (ou indéterminée).

On voit que l'étude d'une série imaginaire est ainsi ramenée à celle de deux séries réelles.

Le théorème suivant permet souvent, en revenant à la forme trigonomélrique, de se borner à l'examen d'une seule série à termes réels.

Il est entendu d'ailleurs (889) que les théorèmes relatifs aux séries imaginaires s'appliquent aux séries réelles.

891. 1. Lorsque les modii/es des ternies d'une série forment une série convergente, la série proposée est elle-même convergente.

On peut toujours mettre le terme général u^ de la série donnée sous la forme

/■„ ( cos y.a ^ i sin a„ ),

de sorte que cette série devient

/■«(cos^oH- « sin^o) -^ /'[(cosp^i-^ « sinaj) -T- /^(cosajH- < sin^o)

-i-/-„(cosa„4- «sin:z„)

Or, si la série des modules

(l) /■„+ /'i^- /-oH-. • .4- /•« + •• •

est convergente, il est clair que les deux séries

2) /'o cosao-f- Ticosai-H /'scosai-i-. . .-;-/•„ cos a„ (3) /'o sinao4- '1 sinzi-r- r, sina.2 + . . -H- /"/i sina^

7<J ALGKBRE SUPrilRIEURE.

\e soni a fortiori {3G7, V, VI). Par suite, la série proposée Test aussi (890).

892. II. Lorsque la série des modules est divergente, on reste dans le doute sur la convergence de la série correspondante.

En effet, la série (i) [891] étant divergente, ses termes peuvent ou non tendre indéfiniment vers zéro (363).

Dans le premier cas, il n'est pas impossible que les séries (2) et (3) [891] soient convergentes, puisque leurs termes peuvent n'être pas de même signe et que ces termes tendent d'ailleurs indéfiniment vers zéro (362). On reste donc dans le doute à l'égard de la série proposée.

Dans le second cas, les séries (2) et (3) ne peuvent être toutes deux convergentes (362); cai-, si /■„ ne tend pas vers zéro, il est impossible {Trigon.) que les termes /'«cosan et /•„sina„ y tendent à la fois. La série proposée est donc alors divergente (ou indéterminée) [890].