jMultiplicatiox des séries. — Soient

(0 «0. "I5 «2, •• -, ll„-\, l'n,

(2) Co, Tj, Co, . . ., (•„,, (■„, ....

deux séries convergentes, réelles ou imaginaires, ayant respectivement pour sommes U et V. Si les deux séries sont réelles, on suppose qu'elles demeurent convergentes lorsqu'on ne considère que les valeurs absolues de leurs termes. Si les deux séries sont quelconques, on admet que les modules de leurs termes forment des séries convergentes. Cela posé, la série

yo) Cq, *[, tj, . . . , c,i—\, lui • • • >

dont le ternie général tu a pour expression

(4) f„= //o*"«+ "1 <'«-!+ "2t'«-2 + - • •+ ««-ifi ^ l'ni'oy

est alors convergente et a pour somme T le produit UV des sommes des deux séries considérées.

1° Supposons d'abord réelles les séries (i) et (2) et admettons que leurs termes soient tous positifs.

ReprésentonsparU„,V„,T„, comme à l'ordinaire, les sommes

ALGÈBRE SXJPÉRIEL'RK. yl

respectives des n premiers termes dans chacune des séries (0' (2)7 (3). Nous aurons

U„= Uo-^ Ui— ilo-^. . .-i- Hn-2-'r- "«-1. Y„ — t'o -1- <', — (^2 + • - • ^ <'/<-2 + <'/.-! . T„ i^ ^0 ^- ^1 -^ ^2 — ■ • • — t„-2 -h ^„-i,

OU, d'après la condition (4 >,

Le produit U„ V„ renferme évidemment tous les termes de ï„, plus d'autres termes positifs. On a donc

D'autre pari, si l'on désigne par A le plus grand entier contenu dans - (lequel sera - si n est pair et — ^ si n est im-

pair), il est clair que tous les termes du produit UaYa sont contenus à leur tom% avec d'autres termes positifs, dans T„ ('), de sorte qu'on a aussi

iMais A- tend vers l'intini en même temps que n. Par suite, si l'on fait tendre n vers l'infini, U„ et Ua tendront vers leur limite commune U, de même que V„ et V^. vers leur limite commune V. La somme T„ demeure donc comprise entre deux produits qui convergent l'un et l'autre vers la même limite UV, lorsqu'on fait croître n indéfiniment. Il en résulte

nécessairement

T = limï„ = UV.

2» Les séries (i) et (2) étant toujours réelles et convergentes, admettons qu'elles aient des termes positifs et des Termes négatifs, mais qu'elles restent convergentes quand on prend tous leurs termes positivement.

(.) Pour ,1 - 5, par exemple, il faut faire /: = 2, et l'on a, à la fois,

72 ALGKBUE SIPÉRIEUIIK.

On a, d'après ce qui précède (i°),

car on peut remarquer que, dans la valeur de T„, les différents produits sont tous ceux otî les indices de « et de p ont une somme variant de o à /i— i, tandis que, dans la valeur de U„V„, les différents produiis sont tous ceux où les indices do M et de t' ont une somme variant de o à 2/z — 2.

Nous venons d'ailleurs de démontrer (x») que, lorsque les séries (i) et (2) ont tous leurs termes positifs, la différence U„V„ — T„tend vers zéro à mesure que n croît indéfiniment. La limite du second membre de l'égalité (5) étant ainsi zéro lorsqu'on prend positivement tous les termes des séries (i) et (2), cette limite restera telle (389), lorsqu'on rendra aux termes négatifs des deux séries le signe wom^ qu'ils possèdent en réalité. De plus, les séries (i) et (2) étant toujours convergentes, U„ et V„ présenteront toujours, pour /? = 00, des limites déterminées U et V, de sorte que de

lim(U„V„-T„)==o

on déduira encore

T = UV.

11 ne faut pas oublier que la démonstration que nous venons de donner repose expressément sur la condition que les séries (i) et (2) demeurent convergentes, lorsqu'on prend tous leurs termes posiiivement.

3» Supposons, enfin, les séries (i) et (2) imaginaires et convergentes, et admettons que les séries formées par les modules de leurs termes soient aussi convergentes.

Représentons par

les séries convergentes et de sommes R et S, formées par les modules des termes des séries (i) et (2), et par

(^ bis) de 6. 9. 9 f)

la série dont le lerme général a pour expression

(f^bcs) On — /'o'^/j + /'i^^-i + /•2^«—2 -h . . . + /-«-i^i + /■«•^o-

D'après ce qui précède (i°), la série ( 3 bis) est aussi convergente, et elle a pour somme 0 le produit RS des sommes des séries (i bis) et (2 bis).

Désignons respectivement par U„, V„, T„, les sommes des n premiers termes des séries (i), (2), (3), et parR„, S„, 0„, les sommes des n premiers termes des séries (i bis), (2 bis), {S bis).

Nous aurons, à la fois, en appliquant l'égalité (5) [2°] aux deux groupes de séries considérés,

-l- («<„.-! Ti -h «„2C2+ . . . +«2'', R«S„ — 0„ = /■„!. î„, + (/•„!. Ç„2 -H /■,,o5„,)

i -l- («<„.iri -h «„2C2+ . . . +«2l'„o -h i/it-^-i),

5 bis)

Comme le module d'un produit est égal au produit des modules des facteurs (821, 84^1), le second membre de l'égalité (5 bis) est la somme des modules des termes qui composent le second membre de l'égalité (5). Or, le module d'une somme étant inférieur ou au plus égal à la somme des modules des parties (8*0), et le second membre de l'égalité (5 bis) tendant vers zéro par hypothèse quand n croît indéfiniment, le module du second membre de l'égalité (5) tend aussi nécessairement vers zéro; ce qui entraîne, à la limite, la nullité du premier membre de cette égalité (820,873). On a donc encore

T=zUV.

894. IV. Des séries ordonnées suivant les plissances entières, POSITIVES ET croissantes DE LA VARIABLE. — Etant dounéc une série ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes d'une variable imaginaire, on peut s'assurer de sa convergence comme il suit :

Il est évident d'abord que,.«' l'on mulliplie les termes d'une série imaginaire con\'ergente, à termes positifs, par des nombres positifs inférieurs à un nombre déterminé A, on obtient une nouvelle série convergente.

Car, soit

7/| ALGEBltE SUPEIUEURF..

la série proposée, dont la somme des n premiers termes est S„ et dont la limite est S. Si l'on désigne par a„. a^^a^, ■ . ■ , a„, . . . , des nombres positifs moindres que A, la nouvelle série sera

si l'on repi'ésente par S^, la somme de ses n premiers termes, on a

S'„ < ÂS„ ou S„ < AS,

quel que soit n. La seconde série a donc une limite et est convergenle.

Cela posé, si, pour une valeur de la variable^ dont le module est r, les modules des termes d'une série ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de cette variable, demeurent inférieurs à un nombre déterminé A, la série est convergente pour toutes les valeurs de la variable dont le module est moindre que r.

En effet, soit la série

( I ) <7o + «1 :; -(- «2 ^^ -i- «3 ^^ -+- . . . H- Un ;" + ...,

oii z est la variable imaginaire et où «o^ ^i» '^'■ly ■ ■ ■■> ^n^ • ••' sont des constantes réelles ou imaginaires. Appelons /q, 'L /•,, . . . /•„, . . ., les modules de ces constantes. On suppose que, le module de la valeur donnée à z étant /•, les modules des termes de la série (i), qui forment (821) la série

sont moindres que A. Donnons maintenant à la variable z une valeur dont le module r' soit moindre que /•. La série

progression géométrique indéfiniment décroissante, sera convergente. Si l'on multiplie alors respectivement les termes de la série (3) par les termes de la série (2), moindres que A par hypothèse, on obtiendra, d'après la remarque préliminaire, une nouvelle série convergente

qui sera précisément la série des modules des termes de la série (i), pour la valeur de z dont le module est /'. La série (i)

ALGEBRE SUPERIEURE. ^ .)

sera donc elle-même convergente pour celle valeur de z (891) et le théorème est établi.

On n'aura donc qu'à attribuer à la variable :; des valeurs dont le module aille en croissant à partir de zéro, et à vérifier si les modules des termes de la série conservent alors des valeurs finies, c'est-à-dire moindres qu'un certain nombre déterminé. Si cette dernière condition reste toujours remplie, la série est convergente pour toutes les valeurs de z. Si celte condition n'est remplie que jusquà une certaine valeur de z, celte valeur est une limite au delà de laquelle la convergence de la série n'exisle plus.

Nous allons préciser celte notion si importante, en démontrant dans tous ses détails le théorème extrêmement remarquable dû à Abel.

893. y. Théorème d'Abel. — Une série étant ordonnée suivant tes puissances entières, positives et croissantes d'une variable imaginaire z, si cette série est convergente {ou divergente) pour une valeur de z dont le module soit égal à r, elle demeure convergente (ou divergente) pour toute valeur de z dont le module est inférieur (ou supérieur) à r.

Soit la série

( 1 ) a^-h aiZ -^ aoz- -\- «3 z^ -{- .... + «„ .c" -i- . . . ,

où z est une variable imaginaire et où a^, «i, a., a„, . . . ,

sont des constantes réelles ou imaginaires.

1" Cette série étant convergente, par hypothèse, lorsque le module de z est égal à /•, ses termes, à mesure que n augmente indéfiniment, devront tendre vers zéro (362,890). Il en sera donc de môme (820, 873) de leurs modules

Po» pi' p-21 ■ ■ ■■> P'M • • • •

Désignons par M le plus grand de ces modules, quantité finie. Attribuons maintenant à la variable z une valeur c, dont le module /'i satisfasse à la condition

Nous obtiendrons une nouvelle série

{■i) «u + «1.3, -h a,zi -H a^z] 4- . . . + a„ c^4-. . .,

~C) ALGÈBUE SLPÉRIEUllE.

qui pourra s'écrire

Si nous représentons par ;j. le module du rapport ^, égal à

-f (8i2) et moindre que l'unité, les modules des termes de la série ('2) ou (2 bis) formeront (8V1) une série

(3) po+p,/^-f-p,f/-+p3f^.' + .. . + p„,a" + . . . ,

dont les termes seront respectivement inférieurs à ceux de la progression indéfinie décroissante

(4) M + M;ji + M;jl2 + M.a^ + . . . -ï- M'j." h- . . . .

La série (3) est donc convergente (367, V), et il en est de même, par conséquent, de la série (2) [891].

2° La série (i) étant divergente, par hypothèse, lorsque le module de z est égal à r, elle est divergente pour toute valeur ^i de la variable z, dont le module /i satisfait à la condition

En eiîel, si la nouvelle série était alors convergente, elle le resterait pour toutes les valeurs de la variable ayant un module inférieur à r\ (i"), et en particulier pour la valeur de :; dont le module est r, ce qui est contre l'hypothèse admise. Le théorème est donc démontré.

Si l'on considère, par exemple, la série

on voit qu'elle est convergente pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à i, et divergente pour toutes les valeurs de z dont le module est supérieur à i (3o3, 891, 892). Pour les valeurs de z dont le module est égal à l'unité, c'est-à-dire qui correspondent à des imaginaires réduites de la forme

C03 3C + « sina,

il est clair que la série proposée est divergente (ou indéter-

ALGEBRE SUPERIEURE. n'J

minée), puisque les termes de la série des modules de ses termes ne peuvent pas tendre vers zéro quand n croît indéfiniment (892).

896. Cercle de convergence. — Chaque valeur imaginaire de z répond à un certain point dans le plan des axes rectangulaires choisis (867, 868).

Soit R une valeur du module de z telle que, pour toute valeur moindre de ce module, la série (i) [895] soit convergente, et que, pour toute valeur plus grande, elle soit divergente.

Si l'on décrit un cercle, de l'origine des a\es comme centre avec R pour rayon, tous les points situés à l'intérieur de ce cercle répondent à des valeurs de la variahle imaginaire rendant la série proposée convergente, tandis que tous les points situés à l'extérieur répondent à des valeurs de la variahle imaginaire rendant la série proposée divergente (89o). On peut donc dire que la circonférence R partage le plan xO y en deux régions de convergence et de non-convergence de la série. C'est pour cette raison que le cercle R a reçu le nom de cercle de convergence de la série.

Pour les valeurs de z qui répondent au module R ou pour les points de la circonférence R elle-même, ily a doute. Si, z ayant pour module R, les modules des termes de la série ne tendent pas vers zéro, elle est divergente pour tous les points situés sur la circonférence R ou pour toutes les valeurs imaginaires correspondantes de z (892). Si, z ayant pour module R, les modules des termes de la série tendent vers zéro, on ne peut rien affirmer (892), et la série proposée peut être convergente ou divergente pour tous les points de la circonférence R, ou pour certaines parties de cette circonférence.

Il ne faut pas ouhlier que, pour les points situés à l'intérieur du cercle de convergence, la série formée par les modules des termes de la série proposée est convergente comme cette série elle-même (895, i").

897. On voit que, 5?' R est nul, la série considérée ne peut être convergente que pour cette valeur spéciale de R, et que, si R est itifini, la série considérée ne peut jamais être divergente.

Prenons, par exemple, la série indiquée au n° 895,

7" ALGKBRE SUPÉRIEURE.

Elle est convergente dans le cercle de rayon i, divergente hors de ce cercle et sur sa circonférence. Soit la série

Elle est évidemment divergente, lorsqu'on donne à z une valeur quelconque différente de zéro, la suite des modules des termes tendant vers l'infini (8-20). La série n'est donc convergente que pour la valeur z = o, et son cercle de convergence a un rayon nul.

Au contraire, la série

est toujours convergente, quel que soit,-, la série des modules des termes demeurant évidemment toujours convergente, pourvu que le module de :; ne soit pas infini (366, 399, 891). On peut donc regarder le rayon du cercle de convergence comme égal lui-même à l'infini, et la série comme convergente dans toute l'étendue du plan des axes.

898. Co.MixuiTÉ DE LA FoxcTiox. — La fonction /(z) représentée par la série

reste continue dans le cercle de comergence de cette série, c est-à-dire pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur au rayon R de ce cercle.

En considérant une valeur quelconque de z située dans le cercle de convergence R, nous désignerons par 9(5) la somme des n premiers termes de la série (i) et par ■]/(;') le reste correspondant de la série. On aura, en même temps,

Il faut prouver (887) que, z ou son module prenant un accroissement infiniment petit, l'accroissement ûcfiz) ouïe module de cet accroissement (820) est lui-même "infiniment petit.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 'jg

De l'origine des axes comme centre, avec un rayon r moindre que R, décrivons un cercle : a étant une quantité aussi petite qu'on voudra, on peut toujours prendre n assez grand pour que le module du reste 4^(5) soit moindre que a pour toute valeur de z non extérieure au cercle /■. II suffît pour cela que n satisfasse à la condition

/•" moûa,i H- /•"■^' mod c(„^.^ + . . . < a,

toujours réalisable, puisque la série (i) demeure convergente par hypothèse dans le cercle de rayon r et sur ce cercle. Le module du reste '^{z) étant, d'après un théorème connu (8i0), moindre que la somme des modules de ses parties, sera a fovLiori moindre que a.

Si l'on donne alors à z deux valeurs suffisamment voisines, :;, et z=,, situées à l'intérieur du cercle r, on aura à la fois

/(~n) = 9(-i) + 4>(-.)' /(-2) = 9(-.)-+-'K-2); d'où l'on déduit

9(^) étant un polynôme entier en z, de degré n — i, est une fonction continue de la variable z (886, 887). On peut donc choisir un nombre p assez petit pour que, quelle que soit la position du point (sj) à l'intérieur du cercle décrit du point (^i) comme centre avec p pour rayon, le module de la différence <p(;;,) — 9(^1) soit aussi moindre que a. Comme les modules des restes 'K^,) et "K^i) sont eux-mêmes, pour n assez grand, comme on vient de l'établir, moindres que a, le module de leur ditTérence est moindre que 2a (840).

Finalement, le module du premier membre f{z^) —/(zi) de l'égalité précédente sera moindre que 3a ou aussi petit qu'on voudra, pour toutes les positions du point (:;2) à l'intérieur du cercle p, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de ^2 suffisamment rapprochées de ^i. C'est en cela que consiste précisément, comme nous l'avons rappelé, la continuité de la fonction/(:;) dans le cercle de convergence R.

899. La fonction /(^) ne peut d'ailleurs, dans ces mêmes limites, correspondre qu'à un seul développement en série ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de z (^22).

8o ALGÈBRE StPÉRIEL'KE.

En ciïol, si un secoiul développenienl

élail possible, il devrait èlre égal au premier pour toutes les valeurs de z comprises dans le cercle de convergence et, par conséquent, pour ci= o, d'où l'on conclurait ao= b^,.

En supprimant ces deux termes égaux et en divisant par z, il resterait

«1 + a^z H- ajs'-H . . . -i- r/„x;"~' -l- . . .

z=zb^^b.,z^ b^z:--\-. . .-\- b„ z"-' ^ . . . ,

égalité qui devrait être encore vérifiée par toutes les valeurs convenables de z et, par conséquent, par ^ =: o, d'oîi l'on déduirait «1 =: 6,, et ainsi de suite.

De la fonction exponentielle dans le cas d une variable imaginaire. 900. Nous venons de voir (897, 898) que la série

est convergente et continue dans toute l'étendue du plan des axes, quelle que soit la valeur attribuée à ;. Elle tend donc vers une limite qui est une fonction /(;j) de la variable z, et qu'on peut désigner par e=. En effet (889), lorsque z reçoit une valeur réelle œ, la série (i) représente le développement de la fonction exponentielle e^, telle que nous l'avons considérée dans la première partie (418, 693).

Nous poserons donc

et e= sera \a fonction exponentielle gêné/ aie.

901. La propriété caractéristique de la fonction exponentielle e^ consiste dans la relation (i86)

On doit pouvoir l'étendre (889) à la fonction complexe e'.

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 8l

En donnanl à la variable les valeurs :;, et Zo, on a

Os deux séries demeurant convergentes quand on remplace chaque terme par son module, on peut leur appliquer le théorème relatif à la multiplication des séries (893, 3'^). La nouvelle série obtenue, dont le premier terme est i et dont le terme général ou de rang /? -r- i a pour expression

sera elle-même convergente, et elle aura pour somme le produit/(...)/(c,).

Mais le terme général de cette nouvelle série revient évidemment {'2oo) à

de sorte qu'elle représente /{--i — z.^), et qu'on a bien

V» /(-t)/(^2)=/(^i^-2) OU e=.e^. = .^.-^.

Il en résulte que toutes les règles de calcul relatives aux exposants (loO) s'appliqueront également aux quantités complexes de la forme e- et aux quantités réelles de la forme e^.

902. Réciproquement, en partant de la relation (2) qu'on vient d'établir, on peut prouver que, dans le cas où la variable imaginaire devient une quantité réelle, la fonction /{z) se réduit bien à la fonction exponentielle réelle.

En donnant à z les valeurs successives quelconques ^^i, z.,, ~-z, ■ ■ ■■, ~-m, celte relation (2) permet évidemment d'écrire

J\z,)f{z,)J\z,)...f{z„,) = f{z,^z,^z,^...^z,„); De C. — Cours. IV. 6

Sa ALGKBIIE SLPKRIEVRE.

puis, en supposant :;i r= c, = ^3 = • • • == ^m ^ Z,

(3) [/(Z)]"'=/(mZ),

m étant un entier positif quelconque.

Si Z devient une fraction positive ou négative représentée

par ± — ) on aura donc, d'après (3),

D ailleurs, si, dans la formule (2) [901], on suppose ^1=^1 et52 = — I' on trouve, d'après la relation (t) [900],

c'est-à-dire

d'où

yv ) j^^^ yw [/(-O]' = [/(!)]-'.

La relation (4) devient ainsi, en prenant ensemble les signes supérieurs et les signes inférieurs,

Or (900, 401),

On a donc enfin

et, en extrayant la racine z;?''^™» arithmétique des deux membres.

ou

ce quijusiifie complètement l'interprétation adoptée au n°900.

ALGÈBRE SUPÉKIELKE. 83

Des fonctions circulaires directes dans le cas d'une variable imaginaire.