D'après la formule

e=' = cos; -h i sin;,

ALGEBRE SUPÉRIEURE. bO

toute imaginaire trigonomélrique (836) /•(cosa -T- i sina) peut être mise sous la forme très simple

r étant son module et a son argument.

k étant un entier quelconque et le module étant l'unité, on a, en particulier,

g2/v7t' :^ COS 2 /v- 71 + / Sin 2 A- TT 3= + I ,

e'^' = COSTT -f- < SinTT =:— l,

g- =: COS hiSin— =+/.

/ -TT N / JP

e 2 = COS — - ) + / sin — -

Ces résultats permettent de généraliser immédiatement d'importantes formules.

Dans la valeur de sins (904), remplaçons^ par z. Nous

aurons successivement (901)

sini -

cosr.

On trouvera de la même manière {Trigon.. 8)

sins, tang( :;j=:coti

cosi . , . . ^

Dans la valeur de sine (90V), remplaçons encore :; parTr [1 viendra

sin(7r — ^)=- '.

jTii £>— Ci ^—71; z^;;

g-iLl g-< — g-

sm:;.

3n trouvera de la même manière {Trigon., 11, 17, 22)

cos(7r — ^) =— cosc, tang(7r — x;) =— tangc

AJ,i;hBllK srPERlEUUE.

90G. Les fondions générales, considérées justjn'ici. sont périodiques.

On a, en effci, d'abord, d'après la |)i'opi'iélé caraclérislique de la fonclion exponentielle (901) et d'après la remarque qui précède (905),

Ainsi la fonclion exponentielle générale est périodique, cl sa période est ir.i.

D'après la même propriété caraclérislique et les relations établies au n° 90i, on a ensuite

ces (s + 2 7r)

sin(c H- 2 7:) lang(^ + -)

Q{z^i'iz)i

{z+ir.)i

(z-hr.)i

i[e(;;-i-ii;i( e-(2+7t «j /[ gzi g-zq

Les fonctions circulaires directes générales sont donc aussi périodiques : la période est 2- pour le cosinus et le sinus, et elle est tt pour la tangente.