Reprenons la formule

Si l'on y remplace successivement z-i et z.,, d'abord par Zii et z^i, et ensuite par — Zfi et — z-^i, il viendra, d'après les relations du n" 90i,

g(c,+;^)/__ cos(ci-f- r,) + « sin(::iH- z,) — e->'e-^' =z ( cos^i-f- i s\n 3j)(cosr2-f- ii'sinc,), g-(;,-4-;,)i-- cos(siH- Z,) — «sin(^, + z,) =z (?-^.'e-~.« = (cos-i — «■sin::i)(cos::2 — /sin?,).

En ajoutant et en relranclianl ces deux égalités membre à membre, en laissant de côté les exponentielles, on Irouv après réduction,

cos(:;i+ z-i) = cos^i cos^a— sin^, sin:?,, sin(^i + ^2) = sin^i cos^2 + cos-i sin;,-

ALGEBRE SUPÉKIEURE. O'J

Ce sont là les formules fondamentales de la Trigonométrie générale. Elles ont lieu quelles que soient les quantités ^i et z-i, et toutes les relations qui peuvent en découler en Trigonométrie, lorsqu'on considère une variable réelle, se trouvent par cela même généralisées et sont également applicables au cas d'une variable imaginaire.

Supposons, par exemple, dans la première de ces formules, 5-2 = — z^. Le premier membre se réduira à cosoou à l'unité et le second membre (90i) à cos^^, + sin'-::i. On a donc, comme en Trigonométrie,

sin-^i + cos^^i^ I.

On retrouverait aussi facilement toutes les autres formules usuelles.

908. La formule de Moivre (8i3 et suiv.) a été établie en supposant l'argument réel. Ce qui précède permet de l'étendre à tous les cas.

On a, en effet (901, 905), en désignant par/» et »i deux entiers positifs,

{e^'-)P = \e~'"'J —ye"^') \e^~^) =\e'^^"'-"^^^'\ .

Si l'on remplace z par -g/ dans les deux membres extrêmes, on a (905)

ie--')P—(cosz±isinz)'' = le ^'" '" ^J

/ 1) 2kr.\ , . . /p a/i-âX

CCS { — z -^, ±: i sin ( — r h

\m m J \ni ni J

ou, en extrayant la racine m'''"<^ de la deuxième et de la quatrième expression,

— fp 2kr,\ , . . /p aA'T

(cos; it: i sin^)"'= cos — ■; + ■ ± ; sm ^- z -\

^ \ni ni J \ni >n

C'est la formule de Moivre, dans le cas d'un exposant fractionnaire quelconque — et d'une variable ou d'un argument >n

quelconque z. Le second membre admet toujours ?n valeurs distinctes qu'on obtient en donnant à l'entier indéterminé Ales /n valeurs o, i , 2, 3, . . . , /?i — i .

De la fonction logarithmique dans le cas d'une variable imaginaire.