Si l'on pose

« et c étant des quantités quelconques, z est le logarithme 1 népérien de l'imaginaire u ou la fonction inverse de la fonction exponentielle (Ul). C'est ce qu'on peut indiquer, d'après Cauchy, par la notation

la double parenthèse servant à distinguer les logarithmes des quantités complexes.

L'imaginaire u, mise sous la forme trigonométrique

/•(cos^H- <sin9), équivaut (905) à

re^',

tandis que, si l'on a z = x + yi, l'expression e= équivaut (901) à

e'^ey'.

On peut donc écrire Tégalilé

Il en résulte (810, 837, 90i)

e*=/- et cosj + /sinj=rcos6 + /sin5, c'est-à-dire (505)

x^rzlr et y — /5-i 2X-7r.

On a finalement

On voit que, à chaque valeur de u, répondent une infinité de valeurs de :; formant une progression arithmétique dont la raison est ir.i, et chacune de ces valeurs est un logarithme népérien de u.

Une quantité imaginaire a, par conséquent, une infinité de logarithmes népériens imaginaires, et la fonction logarithmique n'est pas complètement déterminée.

VLGÈBIIF. SUPÉlUErilE. 8()

910, Cauchy a appelé xaiem' />/i/icipalede /((«)) celle qu'on

ol)tient en faisant /. =zo dans la formule (A). Celte valeur

principale,

lu — h-^Oi,

est parfaitement iléterminée, puis(|ue 9 représente la plujietite valeur absolue de l'argument (836 ).

911. Lorsque u est une f|uantilé réelle et positive, on a ^ r=: o et « = /■. Il vient alors

(A') z = l{{r)}-^lr-\-il-.i.

Si II est une quantité réelle et négaUA-e. on a 9 =^ - et // =— /• (838). On a, dans ce cas,

(A") c — /(( — /•)) = Ir ^ ('î/.- ^ 1)-/.

Une quantité positive n'a donc qu'un seul Logarithme réel "- (qui est, pour k = o, son logarithme ordinaire) et une infinité de logarithmes imaginaires.

Une quantité négative (comme une quantité imaginaire) n'a aucun logarithme réel{kdi), et elle a une infinité de lo- Liaritli mes im a gin aires.

Si l'on suppose /-^^ I, il vient (496,905), d'après les formules (A') et (A"),