On a

e~ =z e^^y' := e^ e^' -^ e'^ {cosy -h i s'm y ) .

On a également

u = re'^' -zi r'j ( cos — < sin Ô ; =; « -;- bi,

en posant (836)

r zoi9 z^ a el r i'inO ^^ h.

Si l'on identifie la valeur de e- et celle de u, on trouve

e^cosj' :^ a.

C)0 ALGKBIîE SUrKUIEUlîr.

Cl l'on en déduil

iangr=- ou y = arctang-,

en même temps que

e^ r=L \lcC- -^ b- on X = /\ «-H- b-,

X élanl le logarithme réel (911 ) du nombre positif ou du njo-

dule \jd--x- b-.

Les arcs qui ont pour langente ~ eî dont le sinus el le

cosinus ont respectivement les signes de b et de a sont en nombre infini, et leur période est ikr.. En prenant, parmi tous ces arcs, le plus jtetit arc positif pour représenter

arc lani;- , on peut donc écrire d'une manière générale

'' y =r arc lang — i- 2 At:.

Tar suite, le logarithme z de l'imaginaire ;< = a -^ bi admet encore la forme (909)

(Al) z = l{{a -H bi)) = l\fâ--{- b- -^ ( arc tang — 1-2/1-7: ji.

Pour un nombre réel, on a b ---. o el

z:^ la+ (arc tango -i- il;T.)i.

Si a est i)osilil', arc tango =1:0; si a est négatif, arc tango in- r. On retombe ainsi sur les formules (A') et (A") du n» 911.

913. Nous avons considéré précédemment la fonction j)uissance ;'", dans le cas où ; est quelconque el, l'exposant ///, une fraction réelle à termes entiers (888). Ce qui précède permet de définir celte même fonction lorsque l'exposant m devient lui-même une quantité complexe.

Si l'on a, par exemple, z = a-\- bi, on peut poser = = e^+y', X (i\ y ayant les valeurs (912)

X ■=z l\Jcâ-^ b-, y = arc tang ~ 4- 2/. r.

ALGEBRE SUPÉRIEURE. C) I

Si l'on met x -^ yi sous la forme trigoiiomélrique

/•(coso -;- i sino),

9 dépendant de r aura une infinité de valeurs. L'exposant m étant alors l'imaginaire

p -i- qi ■=- p ( cos 0) -I- i sin oj ) ,

il viendra (901, 8il)

/-/« - rgr(cos!p-HJ"sin(5)lp(cosa)+/sinW)

grp[ros{9-l-W)-(-z sin(O-i-O))] — — g/'pcos{y-i-fO)+/;-p sinc;p-l-ti))

C'est ce qu'on peut encore écrire (901, 905)

-;;; — grp cos{S-!-oj) g>/cp .si!i(ç;-i-(jO)

- e'-p cos 1. '34-0) [cos/'û sin(9 -h m) ^ i sin /'o sin (o h- o))].

La fonction puissance générale est donc une quantité complexe susceptible d'une infinité de valeurs, puisque son module et son argument dépendent tous deux de o.

On voit que la fonction z'" n'est complètement déterminée que lorsque m est entier.

9U. Si l'on a on a aussi (901 j

e-^ --= Uo,

Il en résulte immédiatement (909)

C'est la i)ropriélé fondamentale des logarithmes (i93), et toutes les auties en découlent.

Il est entendu que, dans les deux membres de l'égalité précédente, les arguments doivent être choisis convenablement.

915. \ous n'avons considéré jusqu'à présent que les exponentielles et les logarithmes relatifs à la base e.

Si l'on adoptait, au lieu de e, une base positive quelconque a, on aurait d'abord par définition (909)

et, ensuite (901),

9"^' ALGÈBRE SLPKniEt'UK.

Le logarithme de rimaginaire u clans la nouvelle hase « est donc égal à son logarithme dans l'ancienne hase e, divisé par le nomhic constant la, c'est-à-dire par le logarithme de la nouvelle base dans l'ancien système (500).

Si l'on prend a = lo, on passe des logarithmes népériens aux logarithmes vulgaires (306).