En terminant ce paragraphe, il n'est pas inutile de
remarquer que les Tahlesusuellesdeslogarithmesdesnombres et des rapports trigonométriques, réunies, constituent pour ainsi dire une Tahle des valeurs de la fonction exponentielle simple et du logarithme népérien. Elles permettent donc de calculer les valeurs numériques de ces éléments et de toutes les fonctions qui en dépendent.
S'il s'agit, par exemple, de trouver le logarithme népérien z de l'imagmaire u = a + bi, on aura recours à la formule (A,) (912). La Table des logarithmes des nombres conduira (306) à
/ ,—, r; 'og \/a- s- b-
loge
puis, à l'aide de la même Table, on obtiendra le lo-arithme
au rapport-, et les Tables trigonométriques feront connaître
l'arc dont ce rapport représente la tangente. Si l'on veut, au contraire, calculer la fonction exponentielle
e- = e^^y', on écrira (903)
e~ -~ e*er' z= e^ cos >■ -h «e-^sin r ;
X étant le logarithme népérien de e\ le logarithme vulgaire de cette quantité sera ^loge (506). Quant au logarithme de cosr, on le trouvera à l'aide des Tables trigonométriques en prenant les précautions nécessaires, c'est-à-dire qu'on convertira y en secondes en le rapportant à ^.j^ comme unité,
040000 et qu'on aura soin ensuite de ramener l'arc correspondant à
être positif et moindre que \{Trigon.. 33, 120). En ajoutant
les deux logarithmes obtenus, on aura celui de e^cosr, et il ne restera plus qu'à remonter au nombre et à donner au
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. q3
résultai le signe convenable d'après celui de cosj-. On opérera de même pour déterminer le second terme de e-.
Des fonctions circulaires inverses dans le cas d'une variable
imaginaire.
917. On sait {Trigon., W) que les fonctions circulaires inverses
sin
cos
tang arc °
arc , z,
arc , z,
cosec
sec
cot
sont susceptibles d'une infinité de valeurs pour toute valeur de z. Il en est de même lorsque z, au lieu d'être une quantité réelle, est une quantité complexe.
Nous conserverons les mêmes noms à ces nouvelles fonctions, et nous considérerons spécialement les trois fonctions générales arc cos ::^, arcsin^, arctang^.
918. 1. FoKcrio.N arc cos ^. — Désignons par a la fonction dont il s'agit. Nous entendons par là que la série qui représente cos u (^903) a z pour limite, de sorte qu'on peut poser
cos a := z ou, par les formules d'Euler (90i),
cos a
On déduit de celte équation, en tenant compte de l'exposant
négatif,
c'est-à-dire d'où
Il en résulte inz=l (( ; ±: v'c-- i)) cl 11 = -. [ (( z zz ^'z- — i ) ) .
Le logarithme d'une quantité imaginaire ayant une infinité de valeurs (909), ii en est de même de la fonction a. Les so-
(J'î ALGÈBRE SUPKRIKUUK.
lulioMS se partagent en deux groupes :
Mais les deux quantités
^ + v^^^ — I et -3 — \/z- — 1
ayant pour produit l'unité, leurs logarithmes correspondants sont égaux et de signes contraires, et l'on peut écrire plus simplement
expression que l'on pourra transformer d'après les indications du n" 912.
II. Fonction arc sin^. — En se servant également des formules d'Euler (90i), on a
e"'-—e-"' sin u := = z.
On en déduit
e-"^' — 2 ize"' — I = G,
c'est-à-dire
f< == - l((iz±\Ji — •=■'))•
Mais il est plus simple de remarquer que (905) l'arc dont le sinus est :■ est complémentaire de l'arc dont le cosinus est z, de sorte que, si l'on a sin u = z, on a aussi
u =- arc cos s = -' ni - / (( s -i- \/z'^ — i)).
III. Fonction arctang;. — La fonction considérée étant désignée par u, on a [90'*)
tang«
On en déduil, en tenant compte des exposants négatifs,
ALGEBRE SUPÉRIEURE. QO
11 en résulte
i -- zi g2ui — — : —
c'est-à-dire (91i)
expression qu'on pourra transformer d'après le n" 912. On voit que la fonction u est encore susceptible d'une infinité de valeurs (909).
919. En prenant de même l'une des trois équations ;/=zarcséc;, « =: arccoséc;, « = arccot^, qui signifient
séc«^;, coséc« = ;, COil(=:Z-,
el en se rappelant qu'on a par définition (903)
SeC»=:: -7 COSeC 11=1— — •■. cot«
cos« sin« tang«
il suffira de remplacer :; par - dans les résultats du numéro
précédent, pour obtenir successivement les valeurs des trois fonctions arcséc:;, arccoséc:?, arccots. On aura ainsi
1/^1=^/1 i( =r arc sec - = - /( '
u = arccosec:; =: - /l ( ^— 1 |
u := arc col ^ = — . /
Résumé.
920. D'après ce qui précède, les fonctions :;'" (lorsque m est entier), e', s\nz, cosz, tang.:, sont des fonctions parfaitement déterminées, c'est-à-dire ne prenant qu'une seule valeur bien définie, lorsqu'on remplace z par une quantité connue, réelle
()G ALGÈBRE SUPÉRIEtnE.
OU imaginaire. Les fonctions de cette espèce sont des fonctions uniformes.
Au contraire, les fonctions z'" (lorsque m n'est pas entier), Iz-, arcsin-, arccos-, arctang:;, arccosée:;, arcsécs, arccotr, prennent plusieurs et même line infinité de valeurs distinctes, pour chaque valeur réelle ou imaginaire de z. Ce sont des fonctions multiformes. Il faut alors, dans la plupart des cas, indiquer la valeur de la fonction qu'on veut considérer spécialement parmi toutes celles qui répondent à une certaine valeur de la variable z.
A partir de cette valeur de ; et de la valeur correspondante choisie pour la fonction, le point -a (ou x h- j<') décrit dans le plan des axes une courbe arbitraire, lorsqu'on fait varier X et/ d'une manière continue et arbitraire. En même temps, les valeurs correspondantes de la fonction sont, en général, déterminées sans ambiguïté, par sa définition même et par la condition de différer successivement infiniment peu, lorsque les coordonnées ^ et / varient elles-mêmes infiniment peu. En d'autres termes (887), la fonction étant désignée par u, à chaque courbe {z) répondent une infinité de courbes ( «) ; mais le choix fait d'un point de l'une d'elles pour être associé à un point de la courbe {z) maintient les valeurs de la fonction sur la même courbe («) d'après la condition de continuité.
Ce n'est que lorsqu'on arrive sur la courbe décrite par le point 3 à des points singuliers ou critiques, pour lesquels la condition imposée à la fonction u ne peut plus être remplie, que l'ambiguïté reparaît. Si l'on a, par exemple, la fonction
on parvient à un point critique en siqiposant c — — i ou .r =: — I et/==o, puisque toutes les valeurs de la fonction u sont alors infinies (911, 914, 496).
On voit par là que l'étude des fonctions d'une variable imaginaire est liée intimement à celle des points critiques des courbes arbitraires décrites par le point-variable. Nous nous bornerons à cette observation, que nous ne pourrions développer ici sans sortir de notre cadre.
ALGEBRE SUPERIEURE.
