DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE IMAGINAIRE

Continuité.

921. La détinitiou de la continuité, telle que nous l'avons exprimée au n° 460 pour les fonctions réelles, est applicable aux fonctions d'une variable imaginaire. C'est ce qui a été déjà indiqué aux n°^ 887, 898, 920. 11 faut seulement remplacer la notion de Vinten-alle dans lequel se meut la variable réelle par celle du contour fermé dans lequel se déplace la variable imaginaire ou le point qui la représente (867).

Ainsi, \di fonction i/ = cp {z) de la variable imaginaire z est continue pour toutes les valeur s de z renfermées dans un certain contour tracé sur le plan des axes, lorsque, pour chacune de ces valeurs, le module de la dijférence

tend vers zéro ou devient infirdmeat petit en même temps cjue le module de As (820).

Lorsque cette condition n'est pas remplie dans le voisinage ou autour du point qui correspondu une certaine valeur de s, la fonction u est discontinue en ce point ou pour cette valeur (472).

922. Il résulte de la définition précédente que les fonctions entières sont continues dans le plan des axes ou pour toutes les valeurs de la variable (462).

Quant aux fonctions rationnelles, (dles restent continues, tant qu'elles ne passent pas par l'infini (464).

La fonction exponentielle e= est continue pour toutes les valeurs de z (482, 900), et il en est de même des fonctions

Di: C. — Cours. IV. 7

q8 VLOÉBKE SU l'KKIELItK.

sinz et cosz (903), qui sont d'ailleurs des sommes algébriques de fondions exponentielles (904).

Les fonctions tang^, cote, séc3, cosécs (903, 90V) ne deviennent discontinues qu'en passant par l'infini.

923. Nous avons trouvé, pour la fonction logarithmique z (909), la variable u étant représentée par r {cosS -\- isinS),

^A) z=l({u)) = lr^{9^-2kr.)i.

Admettons que l'on fasse partir la variable a de la valeur i, en supposant d'abord /• = i et ^ o, et qu'on adopte, en prenant A^ =: o, la détermination

-; = /(«) rrz //• -I- 9i.

On voit que, le point représentatif («) se mouvant alors dans le plan des axes sans passer par l'origine, c'est-à-dire par le point zéro, la fonction :: partira de la valeur o, en variant d'une manière continue et en n'ayant qu'une seule détermination pour chaque valeur de u (507).

Mais si, pour chaque valeur de u, on décrit un cercle autour de l'origine, l'argument 9 augmente de 271 et la fonction z s'accroît de 2 7:<. Par suite, pour chaque valeur de u, et en effectuant une infinité de révolutions autour de l'origine (ce qui répond aux différentes valeurs de k), on obtient une infinité de valeurs de la jonction z comprises dans la formule générale (A) et constituant une progression par différence de raison 27:/. La fonction - ne pourra donc être regardée comme continue que si l'on fait correspondre d'avance une certaine valeur de ^ a une certaine valeur de u (920).

Pour u = o, la fonction z devient infinie, c'est-à-dire absolument discontinue, et l'origine est un point critique lo^arithmique (920).

92i. On peut présenter des remarques analogues pour les fonctions circulaires inverses, puisqu'elles dépendent de la fonction logarithmique. Si l'on considère, par exemple, la fonction u = arc tang:; (918), on a

2 1 \\ 1 — Zl

et l'on constate immédiatement deux points critiques logarithmiques pour lesquels la fonction est absolument discon-

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 99

tinue, et qui répondent (914, 496) à 1-4- ;« :=:o et à i — zc=:o, c'est-à-dire a z:=zz i.

Dérivée et différentielle d'une fonction d'une variable imaginaire.

925. Comme nous l'avons déjà dit (889), les propriétés générales des fonctions réelles doivent s'appliquer aussi aux fonctions imaginaires qui les renferment nécessairement. On étend de la manière suivante, aux fonctions d'une variable imaginaire, les définitions de la dérivée et de la différentielle adoptées pour les fonctions d'une variable réelle.

Une expression o{a; -^ yi) ou ©(-s) peut bien être déterminée lorsque z est donnée ; mais elle n'est, à proprement parler, une fonction de z que si elle a, par rapport à :;, une dérivée également déterminée (33i et suiv.i. 11 faut, pour cela, qu'elle remplisse certaines conditions que nous allons développer.