La variable z-=LX-^yi décrivant dans le plan des axes

une courbe arbitraire, le rapport -^ (549), qui représente la

tangente trigonométrique de l'angle formé par la tangente à cette courbe avec l'axe des x (535), est lui-même arbitraire.

Pour que la dérivée

ci coi X -^ ri)

d{x -h ri )

soit déterminée, il est donc nécessaire qu'elle soit indépen-

dv dante du rapport -j--

Or, pour avoir un sens, l'expression o{x-\-yi) doit être telle que, pour toutes les valeurs réelles données arbitrairement à .27 et à y, on puisse indiquer sa partie réelle et sa partie imaginaire, et écrire

en désignant par P et Q deux fonctions connues et réelles de X et de r.

Or, dx et dy étant les accroissements infiniiruent petits attribués à .37 et à j, on a évidemment (568), i devant toujours être traité comme un nombre constant (808),

du = d( P -t-Qi)z^dP^idQ,

Al.C.KBlΠSliPKlllEURE.

c'csl-à-(liie, P et Q étant des fonctions réelles de x et de 7

^/(P + QO __ \dx dx ) \dy dy ) ■

d{x -^ y i) ~ dx -T- i dy

Or, si on laissait/ constant en faisant varier seulement x, on aurait dz -= dx et

dM d^ .dQ dz dx dx '

du , , , . , . , , »

ce qui montre que, -7- étant déterminée, 1! en sera de même

. ,,dV dq des dérivées partielles -y^ et -7- •

Dautre part, si on laissait x constant en faisant varier seulement j; oi^ aurait dz-r-idy et d? .dQ du dy ~^'^K ^/Q -^P.

dz i dy dy '

dj dz

du . , , . , ., ,

ce qui montre que, --r^ étant déterminée, il en sera de même

. „ dV dQ des dérivées partielles -r-, ^^ ~i~"

Puisque la dérivée de l'expression proposée doit demeurer indépendante de -y- 5 il faut que les valeurs ainsi trouvées

pour -r = cû'i g) soient égales. On a donc ' dz '

, dV .dQ ___ dQ .(TP

^ ' dx dx dy dy

relation qui se partage immédiatement dans les deux suivantes :

^'^ dx ^ dy' dy dx

On voit en même temps que

ALGEBRE SUPERIEURE. lOl

927. Les conditions (i) sont nécessaires pour que la dérivée de u=^o{:-) soit déterminée; elles sont aussi sutTi- -ontes.

En effet, supposons-les satisfaites, et faisons parcourir à lu variable z^^x—yi une certaine courbe tracée dans le plan des axes et telle, que x et y soient des fonctions, réelles et admettant des dérivées, d'une variable auxiliaire i. On aura alors (o67)

dz dx . dv

dt dt ' dt

D'ailleurs, en appliquant également aux fonctions réelles P et Q, qui admettent des dérivées partielles déterminées par rapport k x et h y, le tbéorème des fonctions composées, il viendra, pour tous les points de la courbe décrite par la variable z,

dP dP dx clP dv

dt dx dt ' dv dt dQ dQ dx dQ dy dt dx dt dy dt

11 en résulte

du dP .dQ dt ~ dt ^ dt ~

fdP dx ' dx'dt

dP dy dv dt

./dQ dx dQ dy\ \ dx dt ~^ dy dt j

ou, d'après les équations de condition (r) du numéro précédent.

du/dP .dQ,dx dyx/'cW , .dQ\dz dt \dx dx J \ dt dt j \ dx dx ) dt

ou, enfin (926),

du dP . dQ lia dz dx dx dx

La fonction a-=.oiz) admet donc une dérivée indépen-

dy dante du rapport -r- ou de la direction de la tangente à la

courbe tracée par le point {z .

928. Admettons que les fonctions réelles P et Q aient des dérivées partielles du deuxième ordre par rapport à j? et à j, et reprenons les équations (0

dx dy^ <^(7 ~ ^^

ALGEBKE SUPKRIEURE.

En les tlifférenliant successivement par rapport à x et par rapport à j, on trouve, pour la première,

dx^ dx dy

dx dy t/j^

et, pour la seconde,

^^P r/2Q dx dy dx'-

d-P d'-Q dy'^ dx d

11 en résulte immédiatement, en ajoutant et en retranchant en croix les résultats obtenus,

d^V dy9 d^ d^

^^^ 5^ "^ ^7^ ~"°' dx' ^ dy' "'''

On ne peut donc pas prendre arbitrairement les deux fonctions réelles P et Q, lorsqu'on veut que l'expression imaginaire u^^-o{z) puisse être considérée comme une fonction de z; il faut que ces fonctions satisfassent aux équations (i) et, par suite, isolément, aux équations (2).