Prenons, par exemple, l'expression très simple
u -- x^ 4- r ^ ^- 2 xy i\
Cette expression n'est pas une fonction de x -r- yi. En effet,
on a ici
P:=x-— y- et Q=:2xy,
c'est-à-dire dP dO dV dQ
-~^2X, -~ ^r^lX, -—=2 y, — -j— ^ — 2V.
dx ' dy ' dy •^' dx -^
Une seule des équations (i) est donc satisfaite, sauf pour le point X -h ji -— o.
On a, en outre,
d^P ^ dr^ dH)
dx- ~ ' dy'^ ' dx'- ' dy'
et une seule des équations (2; est vérifiée.
ALGÈBRE SUPltRIKURE. I o3
930. La variable ^—^ — ji pouvant être mise sous la forme trigonométrique
/■( cosa H- « sina ).
il est utile de chercher à exprimer, d'après celle notation, les conditions nécessaires pour que
U = (p(z)=rP ^iU,
où P et Q représentent alors des lonctions réelles de /• et de a, puisse être regardée comme une fonction de
- A- (cosa
-H / sina
On a
évidemment
[P-^Qi
dP
^ dr
dr -r
dP da
da - /(
—. dr -i — ,— da, dr da
et
-QO
/dP \dr
(dP \da
-^'da)
«■//•(cosa -!- i sina) (cosa ^ isina)dr-+- r( — sina -^ i cosa)da
En laissant a constant et en faisant varier seulement /', on
aurait donc
dP , .dQ
, . . , du dr dr
«G rrr: 1 cosa -~ « sma )ar et -r
cosa -h i sma
D'autre part, en laissant /• constant et en faisant varier seulement a, on aurait
dz = ri — sin a -r- i cos a ) da
Ce
dP .dQ du doc ' da
dz ri — sina 4- «cosa)
r. • du ... . , , , , dr .
Puisque -r: doit demeurer mdependant du rapport -j^ -, il
faut que les deux valeurs trouvées ainsi pour -7^ = cp'(s) soient égales. On a donc
d^ .dQ dP^ .dÇl
, , dr dr da da
cosa -r-< sina /( — sin a -t- i cos a ;
Kn multipliant par ri les deux termes de la première fraction, les dénominateurs de ces deux fractions égales deviennent égaux, et l'on peut écrire simplement
dr dr da doL
équation qui se partage immédiatement dans les deux suivantes :
dr da dot. dr
Ce sont les équations de condition cherchées.
931. Ce qui précède permet d'étendre facilement aux fonctions imaginaires ce théorème fondamental, démontré pour les fonctions réelles (543 ) :
Lorsque deux fondions imaginaires ont des dérivées égaies, leur différence est une quantité constante.
Soient les deux fondions imaginaires
M — P -h Q f. M, = P, -h Qi i. Leurs dérivées étant égales, on a (926)
du du^
du dui
dz^ dz
^ dx ~~ d.x
et
.du .du, dz dz
du dui
~ dy ~~ dy '
c'est-à-dire
dP ^ .dQ dx ' dx dP .dQ
dy dy
dP, ^.dQ,
dx ' " dx
dP, .dO, dy dy
[1 en résulte
immédiatement
dP dV,
dx ~^ dx '
dP dP,
dy dy
dQ dQ, dx d.x
dQ
'dy
dQ,
" dy
Les dérivées des différences P - - Pi et Q - Q, par rapport hx et par rapport à y sont donc nulles. l*ar conséquent, ces différences, à la fois indépendantes de x et de/, sontdesquan-
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. I o5
îilés constantes. La différence u — «, est donc elle-même une quantité constante.
932. La dérivée -z-z=zo'{z) d'une fonction u^=o' z'\ étant dz ' ' ' '
déterminée, on a, pour sa dilïérentielle (549),
du^= o'{z)dz ou du -— — - dz .
Application aux fonctions simples.
933. Il est clair que les règles obtenues dans le cas des f'iiictions réelles pour la dérivée ou la différentielle d'une somme (568), d'un produit (570, 572), d'un quotient (574), d'une fonction de fonctions (564), s'appliquent sans changement aux quantités imaginaires, lorsque celles-ci admettent des dérivées ou des ditïérentielles. Il en est de même du théorème des fonctions composées (567).
Soit, en effet, la fonction z>{u,i'), où u et v représentent des fonctions de z = j: -T-fi- On admet que m et p ont des dérivées bien déterminées, et que les dérivées partielles (566;
, do(u,v) doiii, v)
oAu,i')^-^-j^ et oAu,v)=.-^^^
sont également déterminées. Faisons varier a; el y en les regardant comme des fonctions réelles d'une variable auxiliaire t (927). On a alors, d'après un théorème connu (552),
do{u,v) (?'({(', r) dz z'i
Mais, la variable t étant réelle et i étant regardé comme une constante, on peut écrire (567)
, ^ d (^l 1/, v) du d '^( u, v) dv
