dy

et

dV dy

dQ

" dx

Les conditions nécessaires el suffisantes (926, 927) pour que z"^ soit une fonction de z sont donc remplies, et sa dérivée est mz'"-'^ comme dans le cas où z est réel (578). En effet, la dérivée de z'" est, par définition, la limite du rapport

(2 -i- As)'" — 5'"

lorsque A^ ou son module tend vers zéro. Or, le développement de {z -h As)'" s'effectue de la même manière, qu'il s'agisse de quantités réelles ou imaginaires (827). On a, par

ALGEBRE SUPERIEURE.

conséquent,

(z. -^Az)'"— z'" , m(m — i)

Az.

et, à la limite, pour A; — o (822 1, 7>i étant entier et positif, ï)z"' =mz"'-K

935. D'après celte règle et les remarques précédentes (933), on obtiendra immédiatement la dérivée d'une fonction entière quelconque de z (582, i" t, de la forme connue (886)

Celle dérivée sera

o'{z) = mAo5'"^'-T- (m — i)Ai-"'--

On peut étendre le môme résultat aux séries convergentes, ordonnées suivant les puissances croissantes de la variable. Cette extension repose sur l'important théorème que nous allons démontrer.

936. Lorsqu'on prend les dérivées des différents termes d'une série convergente, ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable (895), on obtient une nouvelle série qu'on regarde comme la dérii-ée de la première. Cela posé :

Toute série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes delà variable et la série dérivée ont le même cercle de convergence (896).

Soient la série ( I ) «9 H- a, ; — «2 ^- -f- . . . -f- «„ c" — . . .

et la série dérivée (2) «, -f- 2 «2 ; -h 3 «3 :;2 -T- . . . -r- /ia,iZ"-^ —-....

Désignons par R le rayon du cercle de convergence de la série (i ;. Pour toute valeur de z dont le module surpasse R,

KxS \L(;kBRK SUPKRIEURE.

colle série est divergente (SOV), et les modules de ses termes croissent indéfiniment.

Si l'on attribue à z une valeur dont le module [î, soit supérieur à 1\ et si l'on représente par .\„ le module de a„, le terme général o„z"- de la série (i ) a pour module (821 )

(pianlité (|ui croît indéfiniment avec /i. Le terme correspondant de la série dérivée (-2) a pour module

«A„Rr'= j^a„r;',

et ce module croît indéfiniment comme le précédent, puisque le facteur — croît aussi indéfiniment avec n.

II en résulte que la séiie (2) est du'ergente (892) à l'extérieur du cercle de couver i^eiice R.

Attribuons, au contraire, à z une valeur dont le module R^ soit inférieur à R. La série (i) restera convergente, et le module de son terme général sera

A^jRj;

d'après la convergence de la série (800, 362), ce module devra tendre vers zéro.

D'autre part, le module du terme correspondant de la série dérivée ( 2) sera

/iA„Rr'=.^A,R«.

Le facteur — tend vers l'infini avec n\ mais le facteur

A^Rj tend vers zéro d'après ce qu'on vient de dire. Pour ne pas rester dans le doute, on peut mettre le produit considéré sous la forme